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1、综合检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.已知m,n是两条不同直线,、是三个不同平面.下列命题中正确的是(D)(A)若m,n,则mn(B)若,则(C)若m,m,则(D)若m,n,则mn解析:举反例,如图所示.D是线面垂直的一个性质,故选D.2.直线2x-y+3=0的倾斜角所在区间是(B)(A)0,4(B)4,2(C)2,34(D)34,解析:由直线方程得其斜率k=2,又k1,倾斜角的范围为4,2.故选B.3.在圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中,若D2=E24F,则圆的位置满足(A)(A)截两坐标轴所得弦的长度相等(B)与两坐标
2、轴都相切(C)与两坐标轴相离(D)上述情况都有可能解析:在圆的方程中令y=0得x2+Dx+F=0.圆被x轴截得的弦长为|x1-x2|=D2-4F.同理得圆被y轴截得的弦长为E2-4F=D2-4F.故选A.4.(2013吉林一中高一月考)过点A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是(C)(A)x+y=5 (B)x-y=5(C)x+y=5或x-4y=0(D)x-y=5或x+4y=0解析:设该直线在两坐标轴的截距为a,(1)当a=0时,直线过点(0,0)和(4,1),故所求直线方程为y=14x,即x-4y=0.(2)当a0时,设所求直线方程为xa+ya=1.又点A(4,1)在所求直线上,故4
3、a+1a=1,所以a=5.所以所求直线方程为x5+y5=1,即x+y=5.综上可知,所求直线方程为x-4y=0或x+y=5.故选C.5.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm),则该几何体的表面积为(C)(A)12 cm2(B)15 cm2(C)24 cm2(D)36 cm2解析:由三视图可知该几何体是圆锥,S表=S侧+S底=rl+r2=35+32=24(cm2),故选C.6.(2013山东省实验中学高一月考)已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,则a等于(A)(A)1或-3(B)-1或3(C)1或3(D)-1或-3解析:因为直线y=ax-2的斜率存在且为a,所以
4、-(a+2)0,所以3x-(a+2)y+1=0的斜截式方程为y=3a+2x+1a+2,因为两直线平行,所以3a+2=a且1a+2-2,解得a=1或a=-3.故选A.7.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有(C)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:圆x2+y2+2x+4y-3=0的圆心坐标是(-1,-2),半径是22,圆心到直线x+y+1=0的距离为2,过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点,另一条与直线x+y+1=0的距离为2的平行线与圆相切,只有一个交点,共有3个交点,故选C.8.已知点A(1,3)、B(-2,-1),若直线l:y=k
5、(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是(D)(A)k12 (B)k-2(C)k12或k-2(D)-2k12解析:由已知直线l恒过定点P(2,1),如图.若l与线段AB相交,则kPAkkPB,kPA=-2,kPB=12,-2k12.故选D.9.如图(1)所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,如图(2)所示,那么,在四面体AEFH中必有(A)(A)AHEFH所在平面(B)AGEFH所在平面(C)HFAEF所在平面(D)HGEFH所在平面解析:折成的四面体有AHEH,A
6、HFH,AH面HEF.故选A.10.(2013山东省实验中学高一月考)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为(D)(A)3(B)212 (C)22 (D)2解析:由圆的方程得x2+(y-1)2=1,所以圆心为(0,1),半径r=1,四边形PACB的面积S=2SPBC,所以若四边形PACB的最小面积是2,所以SPBC的最小值为1,而SPBC=12r|PB|,即|PB|的最小值为2,此时|PC|最小为圆心到直线的距离,此时d=|5|k2+1=12+22=5,即k2=4,因为k
7、0,所以k=2.故选D.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.在空间直角坐标系Oxyz中,设点M是点N(2,-3,5)关于坐标平面xOy的对称点,则线段MN的长度等于.解析:点N(2,-3,5)关于坐标平面xOy的对称点为M(2,-3,-5),|MN|=5-(-5)=10.答案:1012.已知正方体不在同一表面上的两顶点(-1,2,-1)、(3,-2,3),则正方体的棱长为.解析:正方体的体对角线长为(3+1)2+(-2-2)2+(3+1)2=43,正方体的棱长为4.答案:413.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(侧棱与底面垂直且底面为正方形的棱柱)的高为2,这个球的表面积
8、为12,则这个正四棱柱的体积为.解析:设正四棱柱的底面边长为a(a0),则球的直径2R=22+2a2,所以S表=4R2=422+2a24=12,解得a=2,所以正四棱柱的体积V=2a2=8.答案:814.已知m、l是直线,是平面,给出下列命题:若l垂直于内的两条相交直线,则l;若l平行于,则l平行内所有直线;若m,l,且lm,则;若l,且l,则;若m,l,且,则 ml.其中正确命题的序号是(把你认为正确的命题的序号都填上).解析:用正方体模型来验证,可知正确.答案:15.(2013西华高一月考)求经过两条直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,并且与直线2x+3y+5=0垂直的直线方程
9、是.解析:由已知,2x-y-3=0,4x-3y-5=0,解得x=2,y=1.则两直线交点为(2,1),直线2x+3y+5=0的斜率为-23,则所求直线的斜率为32.故所求直线的方程为y-1=32(x-2),即3x-2y-4=0.答案:3x-2y-4=0三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本小题满分11分)如图是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和三视图.(单位:cm)(1)求该多面体的体积;(2)在所给直观图中连接BC,证明:BC面EFG.(1)解:所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=446-1312222=2843(cm3).(2)证明:在长方体ABCDABCD中,连接AD
10、,则ADBC.因为E,G分别为AA,AD中点,所以ADEG,从而EGBC.又BC平面EFG,所以BC面EFG.17.(本小题满分11分)已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且|AB|=23,求直线l的方程.解:(1)当直线l存在斜率时,设直线l的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.作示意图如图所示,作MCAB于点C.在RtMBC中,|BC|=3,|MB|=2,M(1,1),故|MC|=|MB|2-|BC|2=1,由点到直线的距离公式得|MC|=|k-1+3-2k|k2+1=1,解得k=34.所以直线l的方程为3x-4y+6=
11、0.(2)当直线l的斜率不存在时,其方程为x=2.且|AB|=23,所以适合题意.综上所述,直线l的方程为3x-4y+6=0或x=2.18.(本小题满分12分)已知直线l1过点A(1,1),B(3,a),直线l2过点M(2,2),N(3+a,4).(1)若l1l2,求a的值;(2)若l1l2,求a的值.解:(1)设直线l1的斜率为k1,l2的斜率为k2,k1=a-13-1=a-12,k2存在且k2=4-23+a-2=2a+1.由于l1l2,k1=k2,即a-12=2a+1,解得a=5.又当a=5时,kAMkBM,A、B、M、N不共线.a=5适合题意.(2)由(1)知k1=a-12,k2=2a+
12、1,a=1时,k1=0,k2=1,k1k2=0不合题意,a1时,k10,l1l2,k2存在,则k2=2a+1(a-1),k1k2=-1,即a-122a+1=-1,a=0.19.(本小题满分13分)(2013江门市高一月考)如图所示,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,E为BC的中点,BAD=ADC=90,AB=3,CD=1,PA=AD=2.(1)求证:DE平面PAC;(2)求PA与平面PDE所成角的正弦值.解:(1)因为PA底面ABCD,DE平面ABCD,所以PADE.取AD的中点F,连接EF,则EF是梯形ABCD的中位线,所以EFAB.且EF=AB+CD2=2,在
13、RtADC和RtDEF中,EFD=ADC=90,EFDF=ADDC=2,所以EFDADC,FED=DAC,所以ACDE.因为PAAC=A,所以DE平面PAC.(2)法一由(1)知平面PDE平面PAC,设DEAC=G,连接PG,在RtPAG中作AHPG,垂足为H,则AH平面PDE,所以APH是PA与平面PDE所成的角.由(1)知,在RtADG中,AD=2,tanCAD=CDAD=12,cosCAD=25.所以AG=ADcosCAD=45,所以在RtPAG中,PG=65,sinAPH=sinAPG=AGPG=23,即为PA与平面PDE所成角的正弦值.20.(本小题满分14分)已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(00),圆心C到直线l的距离为d,m=4时,直线l:x-y+4=0,圆心C到直线l的距离d=|-a-a+4|2=2|a-2|,t2=(2a)2-2(a-2)2=-2a2+12a-8=-2(a-3)2+10,又0a4,当a=3时,直线l被圆C所截得弦长的值最大,其最大值为210.(2)圆心C到直线l的距离d=|-a-a+m|2=22|2a-m|,直线l是圆C的切线,d=r
