《毕业论文 关于最小多项式的性质研究及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《毕业论文 关于最小多项式的性质研究及其应用（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、关于最小多项式的性质研究及其应用何小燕 摘要 本文利用矩阵多项式讨论了最小多项式的某些性质，得到计算最小多项式的一种可行方法，并以最小多项式为工具解决一些有关矩阵和线性变换的问题，其方法简单易懂.关键词 最小多项式 零化多项式 矩阵函数 矩阵多项式 0 引 言矩阵的最小多项式在矩阵相似、若当标准型、矩阵函数和矩阵方程中都有很重要的应用，于是最小多项式的性质也极其重要，但在文献4中，对最小多项式的性质讨论较少，对它的应用也较少的介绍，丘维声在文献1中讨论了线性变换的最小多项式及应用，而史荣昌、魏丰编在文献2中讨论的是在复数域上矩阵最小多项式的性质，这些文献都只讨论了最小多项式的一小部分性质，对它
2、的应用也是较为模糊.为了更好的理解最小多项式以及它的应用，本文较系统的讨论了矩阵的最小多项式在数域F上的一些性质，并将它在矩阵对角化及矩阵函数方面的应用例举出来，具有很好的使用性，且使它的性质及应用更加易懂而明了.本文约定，以下讨论的矩阵A都是数域上的n阶矩阵.1 预备知识 在文献1中定义了域F上线性空间V的一个线性变换的最小多项式，它是线性变换的所有零化多项式中次数最低且首相系数为1的那个零化多项式是线性变换的最小多项式，记为. 定理 线性空间V上的线性变换的最小多项式是唯一的. 定理 设是域F上线性空间V的线性变换，中的多项式是A的零化多项式当且仅当是的最小多项式的倍式. 定理 设是域F上
3、有线维线性空间V上的线性变换，则的最小多项式与特征在F中有相同的根（重数可以不同）. 引理1 是维线性空间V上的线性变换. (1)若在V的某基下的矩阵是某多项式的伴侣阵，则的最小多项式是； (2)设的最高次的不变因子是，则的最小多项式是.2 最小多项式的定义及其性质由上述线性变换最小多项式的定义及性质可以类似的定义矩阵A的最小多项式，为了引出矩阵A的最小多项式的定义，首先给出数域上矩阵A的多项式定义.定义 已知和变量的多项式则称是A的矩阵多项式.和A同为数域上的n阶方阵.定义 给定矩阵，如果多项式满足,则称是A的零化多项式.定义3 矩阵A的次数最低的首项系数为1的零化多项式称为A的最小多项式，
4、记为.定理 设，则 (3) A的任一零化多项式都能被整除； (4) A的最小多项式是唯一的；(5) 相似矩阵的最小多项式相同. 引理2 相似矩阵有相同的最小多项式，但最小多项式相同的矩阵不一定相似. 如 A与B的最小多项式都等于，但是它们的特征多项式不同，因此和不是相似的. 定理 复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根.引理3 数域F上级矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式是F上互素的一次因式的乘积.定理 设A是一个准对角矩阵 并设的最小多项式为，的最小多项式为,那么A的最小多项式为，的最小公倍式. 引理4 设,分别是的最小多项式，则A的最小多项式是的最低
5、公倍式.证明：设是A的最小多项式，则于是，即是的零化多项式，因此是的公倍式. 另一方面，若是的最小公倍式，则，若不是的公倍式，则.证毕 引理5 级若尔当块的最小多项式是.定理7 矩阵的最后一个不变因子即为其最小多项式.推论1 域F上n阶矩阵A的最小多项式与A的特征多项式在F中有相同的根（重数可以不同）.注：虽然，最小多项式和特征多项式的根相同，但由于重数不一定相同，所以最小多项式不一定就是特征多项式推论2 设A是域F上的阶矩阵，域E包含F.则A的最小多项式与A的特证多项式在E中有相同的根（重数可以不同）.推论3 设A是F域上的矩阵，域E包含域F，则如果是F域上的矩阵A的最小多项式，那么把A看成
6、E域上的矩阵，它的最小多项式仍然是. 引理6 设A是上的n阶矩阵. (6) 若矩阵A是某多项式的伴侣阵，则A的最小多项式是； (7) 设A的最高次的不变因子是，则A的最小多项式是. 证明：(6)设则A的不变因子为，.将分解为：则A的初等因子为，于是A的若尔当标准形为，其中由于相似矩阵有相同的最小多项式，故得A最小多项式为从而A的最小多项式为. (7)A的最高次的不变因子就是A的第个不变因子，于是，由不变因子的性质可知，又根据非常数不变因子可以得到矩阵A的有理标准形，由(6)的结果知A的最小多项式为，故A的最高次的不变因子就是A的最小多项式. 由引理6可得到计算n阶矩阵A的最小多项式的一种计算方
7、法，即计算以矩阵A为伴侣阵的多项式，则就是矩阵A的最小多项式，还可以得出另一种计算方法就是计算A的最高次的不变因子，此不变因子就是矩阵A的最小多项式。3 最小多项式的一些应用 3.1 用最小多项式研究线性变换的矩阵表示线性变换的最小多项式在研究线性变换的最简单形式的矩阵表示起着十分重要的作用.下面的例题就利用了这一性质来解决矩阵的问题.例1 设都是域上维线性空间上的线性变换，证明：如果都可以对角化，且它们两两可交换，那么中存在一个基，使得在此基下的矩阵都是对角矩阵.证明：对线性空间的维数作第二数学归纳法.时，在的基下的矩阵为级矩阵，从而是对角矩阵，.因此命题为真.假设对于维数小于的线性空间命题
8、为真，现在来维线性空间的情形.由于可以对角化，因此 其中是的所有不同的特征值，若，则，从而是的数乘变换，它在的任何一个基下的矩阵都是数量矩阵，从而可以不必考虑，转而去考虑.因此不妨设.任给，由于与可交换，因此是的不变子空间，从而是上的线性变换，.由于两两可交换，因此两两可交换.设的最小多项式是.由式得，的的最小多项式为.由于可对角化，因此的最小多项式在中可分解成不同的一次因式的乘积，从而在中可分解成不同的一次因式的乘积，于是可对角化，.由于，因此对于上的线性变换在此基下的矩阵都为对角矩阵，于是在的基下的矩阵分别为.由此看出都是对角矩阵.由第二数学归纳法原理，对一切正整数，命题成立.3.2 求解
9、最小多项式及用其讨论矩阵的相似对角化情况 例2 求矩阵的最小多项式.解：矩阵的特征多项式为 又 ， ， 而 所以 A的最小多项式为例3 求下述数域F上的级矩阵的最小多项式，并且判断A是否可对角化.分析：利用最小多项式的定义就可求出的最小多项式，判断一个矩阵A是否可对角化，一般是利用矩阵A的特征多项式求特征根，再计算A的每个特征值的几何重数是否等于它的代数重数，若等于则可对角化，反之就不可.也可利用初等变换化成最简单形式进行判断，在这我们利用矩阵的最小多项式来进行求解.解：先求A的特征多项式：因此A的最小多项式为，由引理3知A不可对角化. 3.3 最小多项式在矩阵函数中的应用用最小多项式讨论了矩
10、阵函数在A的影谱上有定义，从而利用在A的影谱上有定义来讨论矩阵函数的性质，使讨论矩阵函数的性质更为简便.为了研究这个问题及引进矩阵函数的需要，我们首先给出关于函数在矩阵的谱上的定义.定义 设,为的互不相等的特征值，A的最小多项式若函数具有足够多阶的导数值，且下列个值（称在影谱上的值）都有确定的值，便称函数在矩阵A的影谱上有定义.定理 设与为两个不同的多项式，为阶矩阵，则的充分必要条件是与在影谱上的值对应相等，即为了探讨最小多项式在矩阵函数中的应用，下面给出矩阵函数的概念.定义 设函数在阶矩阵的影谱上有定义，即是确定的值.若为一多项式，且满足则矩阵函数定义为： 注意：由定理5知满足上述定义的是不
11、唯一的.矩阵函数是与相同阶数的矩阵.下面利用最小多项式来讨论矩阵函数的内插多项式表示的性质.根据矩阵函数定义知道，函数的矩阵函数是用一个多项式的矩阵多项式来定义的，只要与在A的影谱上的值全相同，而根据数值计算课程知道，在诸多满足要求的多项式中有一个次数最低的称为拉格朗日西勒维斯特内插多项式.设n阶矩阵 A的最小多项式为 若函数在A的影谱上的值有定义，则的拉格朗日西勒维斯特内插多项式是 其中 容易验证，多项式的次数为，且与在A的影谱上的值全相同.因此根据矩阵函数定义便有 称式是矩阵的拉格朗日西勒维斯特内插多项式表示.例4 设 试求矩阵函数的拉格郎日西勒维斯特内插多项式表示并计算，.解：的最小多项
12、式 ： 由式得 由式得，代入式得因此的拉格朗日西勒维斯特内插多项式表示为当时，代入式得当时，代入式得总结：最小多项式具有广泛的用途，除了以上利用最小多项式为工具讨论矩阵对角化、矩阵函数等之外，还可以用它来探讨伴随阵及Jordan标准形等的性质，在矩阵中具有很重要的作用，值得我们认真深入的研究最小多项式的性质，使其更好的运用于对矩阵的探讨.本文在写作过程中曾得到指导老师吴炎教授的悉心指导，在此对吴教授表示衷心的感谢.参考文献1丘维声编著.高等代数学习指导书M.下册,出版社：清华大学出版社，2009.54252矩阵分析（第二版）M.史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2005.92533矩阵理论及其应用M.黄有度，朱士信编著，合肥工业大学出版社，2005.8974高等代数(第三版)M.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，王鄂芳，石明声修订，高等教育出版社2003.9323 5高等代数解题精粹M.钱吉林编著，中央民族大学出版社，2002.10407
