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1、Graduate Engineering Mathematics 同济大学数学系同济大学数学系 20092009- -3 3- -2222 工科研究生数学工科研究生数学 -矩阵论矩阵论 第第 2 章章 矩阵的标准形矩阵的标准形 吴吴 群群 同济大学数学系同济大学数学系 wuqun G G E ME M 2.1 一元多项式一元多项式 定义定义. .设设 F 是一个是一个含有非零数的数集，含有非零数的数集，若若F 中的中的 2 任意两个数的和、差、积、商任意两个数的和、差、积、商 (零不为除数零不为除数) 仍在仍在F中，则中，则称称F 为数域为数域. Q: : 有理数全体构成有理数域；有理数全体构
2、成有理数域； R: : 实数全体构成实数域；实数全体构成实数域； C: : 复数全体构成复数域。复数全体构成复数域。 G G E ME M 定义定义. .设设 n 是一个非负整数，表达式是一个非负整数，表达式 01 1 1 axaxaxa n n n n + 3 上的一元多项式，称为数域 上的一元多项式，称为数域F Faaa n , 10 ，其中，其中 .0 称为零多项式特别地， 称为零多项式特别地， )(| )(上的一元多项式是数域上的一元多项式是数域FxfxfxF= = G G E ME M 1 110 ( ) nn nn f xa xaxa xa =+=+ 4 则称则称 f(x)与与 g
3、(x)相等相等，记作，记作 f(x)= g(x)。 为首项系数，的首项，为则称若为首项系数，的首项，为则称若 n n nn axfxaa)( , 0 1 110 ( ) mm mm g xb xbxb xb =+=+ 若其同次项的系数都相等，即若其同次项的系数都相等，即 ,0 ii ab i= ).()(deg)(xfxfxfn或记作的次数，称为或记作的次数，称为 定义定义. . )(, )(xFxgxf设设 G G E ME M 5 多项式加法多项式加法 为了方便起见，设为了方便起见，设 0, 1 = + +mn bbmn 1 111100 ()()()() nn nnnn abxabxab
4、 xab =+=+ ( )( )f xg x+ + 0 () n i ii i ab x = = =+=+ deg ( )( )ma x deg( ),deg ( )f xg xf xg x G G E ME M 6 运算规律运算规律: )()()()() 1 (xfxgxgxf+=+交换律：+=+交换律： 0)()(:)4(=+=+xfxf负元素负元素 (3)( )0( )f xf x+=零元素：+=零元素： )()()()()()( :)2(xhxgxfxhxgxf+=+结合律+=+结合律 G G E ME M 7 数乘多项式数乘多项式 1 110 ( ) nn nn kf xka xka
5、xka xka =+=+ 0 n i i i ka x = = = = 运算规律运算规律: )()()() 1 (xfxf=结合律：=结合律： )()(1:)4(xfxf=单位元=单位元 (3)( ( )( )( )( )f xg xf xg x+=+：+=+： )()()()( :)2(xfxfxf+=+分配律+=+分配律 G G E ME M 8 ( ) ( )f x g x 多项式乘法多项式乘法 1 11100100 ()() n mn m nmnmnm a b xa babxa ba b xa b + + =+=+ 其中其中k 次项的系数是次项的系数是 011110kkkkij ij
6、k a baba ba ba b + = + = +=+= m n k ij k oij k a bx + =+ = + =+ = = = deg ( ) ( )deg( )deg ( )f x g xf xg x=+=+ G G E ME M 9 运算规律运算规律: )()()()() 1 (xfxgxgxf=交换律：=交换律： )()(1:)5(xfxf=单位元=单位元 (4)( ) ( )( ) ( ), ( )0f x h xg x h xh x=消去律：若=消去律：若 )()()()()()( :)2(xhxgxfxhxgxf=结合律=结合律 )()()()()()()(:)3(xh
7、xfxgxfxhxgxf+=+分配律+=+分配律 )()(xgxf=则=则 G G E ME M )()()()(xrxgxqxf+=+= 10 0)()(deg)(deg=的因式 定理：等价的定理：等价的 矩阵矩阵有相同的初等有相同的初等因子因子。 G G E ME M 39 例例2 设设 求矩阵求矩阵 E- -A 的的行列式因子行列式因子, , 不变因子不变因子, , 和和 初等因子初等因子。 110 241 003 A = = G G E ME M 110 241 003 EA = = 12 110 421 003 cc 21 21 (4) 2 (1) 100 0561 003 rr c
8、c + + 解：解： )( A= = G G E ME M 23 2 100 0156 030 cc + + 32 (3) 2 100 010 00(2)(3) rr 2 321 )3)(2()(, 1)(, 1)(=ddd )( A G G E ME M 引理：引理：设设 2 2 阶阶 矩阵矩阵 = = )()( )()( 20 10 1 0 0 ga ga A n m = = )()( )()( 20 10 2 0 0 ga ga A m n 其中其中 21 0 ,),(|= / = / iga i 则则 1 A 与 与 2 A 等价。等价。 G G E ME M )(),()( 21 g
9、gd= = 则则 1 A 与 与 2 A 的行列式因子的行列式因子 )()()(daD m 01 = )()()()( 2102 ggaD nm+ + = 证明：证明：设设 nm 且且 )(),( 21 gg的最大公因式是的最大公因式是 G G E ME M 定理定理 设设 A( )为分块对角阵为分块对角阵 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s A A A A = = 则每个子块则每个子块 的初等因子都是的初等因子都是 A( ) 的的 初等因子，并且初等因子，并且 A( ) 的每个初等因子必是的每个初等因子必是 某个子块某个子块 的初等因子。的初等因子。 ( ) i A ( ) i A
10、G G E ME M )( )( )( r f f A 1 )( )( r d d 1 G G E ME M 46 例例2 设设 求矩阵求矩阵 E- -A 的的行列式因子行列式因子, , 不变因子不变因子, , 和和 初等因子初等因子。 110 241 003 A = = G G E ME M 110 241 003 EA = = 12 110 421 003 cc 21 21 (4) 2 (1) 100 0561 003 rr cc + + 解：解： )( A= = G G E ME M 行列式因子行列式因子: ()()()() 2 12 ( )1,( )23DD= 不变因子不变因子: ()()()() 2 12 ( )1,( )23dd= 2 2, (3)故故 EA初等因子初等因子: 右下子块右下子块 2 561 03 + + )( A 2 321 )3)(2()(, 1)(, 1)(=ddd G G E ME M 49 求矩阵求矩阵 E- -A 的的行列式因子，不变因子和行列式因子，不变因子和 初等因子初等因子。 = = 211 121 221 A 例例3 设设 G G E ME M + = + = 211 121 221 AE 110 10 001 2 + + 211 221 121 2 )1(00 010 001
