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1、2018年秋季第二期高等数学资料 姓名： 第18讲 巧求周长（一）【专题简析】一个图形的周长是指围成它的所有线段的长度和。我们已经学会了求长方形、正方形这些标准图形的周长，那么怎样运用长方形、正方形的周长计算公式，巧妙地求一些复杂图形的周长呢？对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就会增加几个长或宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正方形，图形周长就会减少几个长或宽。【例题1】下图是一个楼梯的侧面图，求此图形的周长。【思
2、路导航】如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方，把每层台阶的高度向右移到和最下层的台阶长度一致的地方（如下图），这样楼梯侧面图就转化为一个长方形，然后我们利用长方形周长计算公式求出此图形的周长。（23）2=10米。练习一1， 下图是一个楼梯的侧面，如果在阶梯上铺地毯，要计算地毯的长度，可以怎样测量？2， 如下图所示，小明和小玲同时从学校到少儿书店，小明沿A路线行走，小玲沿B路线行走。如果两人速度一样，谁先到少儿书店？为什么？ 3，下图是一个“凹”字形的花园，求花园的周长。（单位：米） 【例题2】下图是由6个边长2厘米的正方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？【思路导航】这题我们可
3、以用平移的方法将它转化为一个长方形，如下图：这个长方形的长含有4个小正方形的边长，长为24=8厘米；宽含有2个小正方形的边长，宽为22=4厘米。这个长方形的周长为：（2422）2=24厘米。练习二1， 下图是由5个边长为3厘为的正方形组成的图形，求此图形的周长。2，下图是由6个边长为2厘米的正方形组成的，求此图形的周长。3，用24个边长是1厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少厘米？【例题3】两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形周长的和减少了6厘米。原来一个正方形的周长是多少厘米？【思路导航】根据题意，画出下图。当两个正方形拼成一个长方形时，组成两个正方形的8
4、条边就减少了2条，而已知两条边的和是6厘米，那么一条边长就是62=3厘米。所以，原来正方形的周长是：34=12厘米。练习三 1，把两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形的周长和减少10厘米。原来一个正方形的周长是多少？2， 把一个正方形剪成两个大小相同的长方形后，两个长方形的周长和比原来正方形的周长增加28分米。原来正方形的周长是多少？3，把边长是48厘米的正方形剪成三个同样大小的长方形，算一算，每个长方形的周长是多少厘米？【例题4】一个正方形，边长是5厘米，将9个这样的正方形如下图一样拼成一个大正方形，问：拼成的大正方形的周长是多少？ 【思路导航】从图上可以看出，9个小正
5、方形拼成的大正方形共有3排，每排由3个小正方形组成。已知小正方形的边长是5厘米，所以大正方形的边长就是53=15厘米，大正方形的周长就是154=60厘米。练习四1，把16个边长为3厘米的小正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的周长是多少厘米？2，把6个边长为4厘米的小正方形如下图拼成一个长方形，这个长方形的周长为多少厘米？3，把6个长为3厘米、宽为2厘米的小长方形拼成一个大正方形，这个大正方形的周长是多少？【例题5】将一张边长为36厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形纸片，这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了多少厘米？【思路导航】将边长36厘米的正方形，沿竖直方向剪一刀，周长的
6、和就比原来大正方形周长增加2个边长；再沿水平方向剪一刀，又增加2个边长，一共增加22个边长。所以这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了364=144厘米。练习五1，将一张边长为12厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形，那么这4个小正方形周长之和比原来的大正方形的周长增加了多少厘米？2，把一个边长为20厘米的正方形，如下图剪成6个完全一样的小长方形，这6个小长方形周长的和与原来的正方形相比，增加了多少厘米？ 3， 将一个长为8分米，宽为6分米的长方形如下图剪成6个完全一样的小长方形，这6个小长方形周长之和比原来的正方形周长增加了多少分米？第19讲 巧求周长（二）【专题简析】在解答比
7、较复杂的关于长方形、正方形周长计算的问题时，生搬硬套公式往往行不通，这时灵活地运用所学知识在解题中显得相当的重要。解答稍复杂的有关长方形、正方形周长的问题，首先要仔细观察，认真思考，想想已知条件和要求问题之间有什么联系，应该先求什么，再求什么，然后灵活运用长方形、正方形周长公式进行计算。【例题1】把长130厘米的铁丝围成一个长方形，接头处重合2厘米，要使长比宽多18厘米，长和宽各是多少厘米？【思路导航】把长130厘米的铁丝围成一个长方形，去掉接头处重合的2厘米，可知围成的长方形的周长为1302=128厘米。因为长方形的周长=（长宽）2，所以长与宽的和为1282=64厘米。又因为题目中还告诉长与
8、宽的差为18厘米，因此这道题可以转化为和差应用题来解。13-2=128厘米1282=64厘米长：（6418）2=41厘米宽：（6418）2=23厘米练习一1， 如图：已知这个长方形的周长为38厘米，阴影部分为正方形，求长方形的长和宽。2，小华家给长方形的院子装上了篱笆墙，由于门宽2米，所以篱笆墙共长16米，而这个长方形的宽是长的一半。长和宽各是多少米？3，一个周长为20厘米的正方形，从中间剪开成为两个大小相等的长方形。这两个长方形周长共多少厘米？【例题2】一根铁丝长80厘米，围成一个边长为8厘米的正方形，余下的铁丝围成一个长为14厘米的长方形。这个长方形的宽是多少厘米？【思路导航】要求长方形的
9、宽是多少，必须先求出这个长方形的周长是多少，也就是这根铁丝余下的长度。（1）正方形的周长：84=32厘米（2）长方形的周长：8032=48厘米（3）长方形的宽：48214=10厘米练习二1，一根铁丝长100厘米，围成一个边长为10厘米的正方形，余下的铁丝围成一个宽为10厘米的长方形。这个长方形的长是多少厘米？2，一根绳子长78厘米，围成一个长12厘米，宽9厘米的长方形，余下的围成一个正方形。这个正方形的边长是多少厘米？3，一根铁丝围成一个边长为7厘米的正方形，余下的正好围成一个长为12厘米、宽为10厘米的长方形。这根铁丝长多少厘米？【例题3】一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形
10、的宽都是4厘米。长方形的长是多少厘米？【思路导航】根据长方形的周长是正方形的2倍，我们就应先求出正方形的周长，然后根据它们之间的关系，求出长方形的周长，再求出长方形的长。（1）正方形的周长：44=16厘米（2）长方形的周长：162=32厘米（3）长方形的长：3224=12厘米。练习三1，一个长方形的周长是正方形的4倍，正方形边长与长方形的宽为6厘米。长方形长多少厘米？2，一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形的宽为10厘米。长方形的长是多少厘米？3，一张长方形纸，长28厘米，宽15厘米，剪下一个最大的正方形后，余下的长方形纸周长是多少？【例题4】三个同样大小的长方形正好拼成一个正
11、方形，正方形的周长是48厘米，求每个长方形的周长。【思路导航】要求每个长方形的周长必须先求出每个长方形的长和宽，长方形的长正好是正方形的边长，宽是把正方形的边长平均分成3份，其中的1份，根据正方形的周长是48厘米，可求出它的边长为484=12厘米，那么长方形的周长是（124）2=32厘米。练习四1，四个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长为64厘米，长方形周长是多少？2， 六个同样大小的长方形正好拼成一个如下图的正方形，正方形周长为48厘米，每个长方形周长是多少？3，明明用学具盒里的三个同样大小的长方形拼成了一个大长方形，已知大长方形的周长是60厘米，长是宽的4倍，求小长方形的周长
12、。 【例题5】一张长方形的纸，长是28厘米，宽是15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸片中，再剪下一个最大的正方形。最后余下的长方形周长是多少？【思路导航】根据题中的要求，我们可以画出一张示意图。观察图形，我们发现：第一次剪下的以宽为标准的边长为15厘米的正方形，这时长边还剩下2815=13厘米；第二次剪下的以长边剩下的13厘米为边长的正方形，这时最后剩下的长方形宽是1513=2厘米，长为13厘米，即周长是：（132）2=30厘米。练习五1，一张长为25厘米，宽为10厘米的长方形，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸中剪下一个最大的正方形，余下的长方形的周长是多少？2，一张长方形纸，长为32厘米，宽为18厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸片中，又剪下一个最大的正方形，最后余下的长方形周长是多少？- - 7 - -
