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1、 数学建模暑期培训第一次论文论文题目：基于线性规划的护士排班模型姓名： 卢丰海 学号： 09102126 专业： 信息与计算科学 姓名： 曾洁 学号： 09032104 专业： 环境工程 2011 年 7 月 15 日基于线性规划的护士排班模型摘 要本文采用运筹学中的优化配置思想，依据题目要求，分别建立了整数线性规划模型及 0-1 整数规划模型来求解护士排班问题。针对问题一，本文以每天该科所需的最少护士数 Z 为目标函数，以每班次所需安排的护士数 xi 为决策变量，以所给该科室每日每班次至少需要护士的数量 Di 为约束条件，最后用 LINGO 编程求解得，每天该科所需的最少护士数为145 人次
2、。针对问题二，本文首先引入0-1变量x ijk，其表示第k 位护士是否被安排在第j天的第i班次。再以该科室每班次至少需要护士的数量 Di及排班要求为约束条件，建立0-1 整数规划模型。最后用LINGO编程求解得，该科所需签约的最少护士数为210人次。经统计具体排班方案上的数据，得一周内每天每班次所安排的人数见下表：（具体排班方案见附录）表1星期班次 一 二 三 四 五 六 日1 83 60 60 61 61 61 602 70 70 70 70 71 70 703 64 60 60 60 61 60 604 51 50 53 50 51 51 505 20 20 22 20 20 22 486
3、 30 30 30 30 30 30 30针对问题三，本文根据签约护士的一周班次安排表，便得出第 i 天第 j 班次所需的护士总数 Aij，本文以 Aij 为决策变量，以该科所需的最少护师及以上职称的护士数 W 为目标函数，以每班次上班的护师及以上（包括护师）职称的所占总护士的比例应不低于 40%为约束条件，建立线性规划模型，将所得的 W向上取整即得该科护师及以上职称的最少护士数为 85 人。关键词：护士调度 线性规划 0-1 整数规划 护士级别 1 问题的重述一、 问题的背景护士是医院日常运营的基础, 科学合理地安排护士工作时间不仅能够缓解其压力, 提高护理质量, 而且能够降低医院的人力资源
4、运营成本, 因此护士排班已成为医院管理工作的重要内容之一。以下是某医院某科室每日至少需要护士的数量：表 2班次 该班时间段（24 小时） 该班所需最少护士数1 6:00-10:00 602 10:00-14:00 703 14:00-18:00 604 18:00-22:00 505 22:00-02:00 206 02:00-06:00 30每班的护士在值班开始时向病房报道，排班需满足：1、每个星期每位护士工作 40 小时。2、每天至多工作 8 个小时，即上两个班次，两个班次不连上； 3、时间段 02:00-06:00（大夜班）每个星期只排一次，且第二天必须休息；4、第一天排班在时间段 22
5、:00-02:00（小夜班）的护士，第二天在时间段06:00-10:00 不排班；二、需解决的问题为满足该医院各班所需要的护士数，需建立合适的数学模型，为院方领导解决如下问题：问题一：依据上述数据和排班要求，求解出每天该科所需的最少护士数。问题二：以一个星期为周期，求出该科最少需签约的护士人数，并给出具体的排班方案，并判断该方案是否唯一。 问题三：以问题二求解护士数的结果为前提，求解出满足院方对职称要求的最少护师职称以上（包括护师职称）的护士数。注：（1）护士职称评定共分五级别，分别是：护士、护师、主管护师、副主任护士、主任护师。（2）根据医院要求，每班次上班的护士中护师以上（包括护师）职称的
6、所占比例不低于 40%。2 问题的分析由于护士排班中存在一系列劳动法规约束, 外加需要考虑不同护士的能力级别差异, 因此护士排班问题是较为复杂的组合优化问题。经分析，对该问题处理要分两个步骤进行：第一，确定该科所不同周期时所需签约的最少护士数，并给出具体的排班方案；第二，在最少人数及排班方案已确定的条件下，求解出满足院方对职称要求的最少护师职称以上（包括护师职称）的护士人数。一、对问题的具体分析1、问题一的分析：问题要求依据所给数据及排班要求，求解出每天该科所需的最少护士人数。经分析，本文认为这是一个典型的线性规划建模及求解的问题。故该问题的求解步奏如下：首先应确定该问题的决策变量，再确定目标
7、函数，并表示出所有的约束条件，最后用 LINGO 编程求解即可。2、问题二的分析：问题要求以一个星期为周期，求出该科最少需签约的护士人数，并给出具体的排班方案，并判断该方案是否唯一。经分析，此问亦是建立与求解线性规划模型的过程，故确定恰当合适的决策变量、目标函数及约束条件求得正确结果的关键。3、问题三的分析：问题要求以问题二求解护士数的结果为前提，求解出满足院方对职称要求的最少护师职称以上（包括护师职称）的护士数。经分析，本文根据签约护士的一周班次安排表，便得出第 i 天第 j 班次所需的护士总数，本文以其为决策变量，以该科所需的最少护师及以上职称的护士数 W 为目标函数，以每班次上班的护师及
8、以上（包括护师）职称的所占总护士的比例应不低于 40%为约束条件，建立线性规划模型，将所得的 W 向上取整即得该科护师及以上职称的最少护士数。3 模型的假设1、假设所安排的护士准时上下班；2、假设忽略护士对班次的个人偏好 ； 3、假设忽略国家指定假期来进行排班 ；4、假设所安排的护士无请假等特殊缺席情况发生； 5、假设每班次上班的护士中护师以上（包括护师）职称的所占比例为 40%。6、假设任何护士允许进行等于或低于自己级别能力的护理工作, 但不允许进行超过自己级别能力的护理工作。4 名词解释与符号说明序号 符号 符号说明1 Xi 表示第 i 班次的护士数2 Z 表示为一天中所安排的最少护士总量
9、3 Dij 表示第 j 天第 i 班次所需的最少护士数4 Xijk 表示第 k 位护士被安排上第 j 天的第 i 次班5 Aij 表示以一星期为周期每天每班次所需的护士总数6 yij 表示每天每班次护师及以上职称的护士人数7 W 表示该科护师及以上职称的护士人次5 模型的建立与求解从所要解决的的问题和对问题所做的假设出发，本文对问题一建立了模型，求得每天该科所需的最少护士数；对问题二建立了模型，在以一星期为周期的前提下，求得一周内该科至少需签约的护理人员数，并得到每个护士的具体排班方案；对问题三建立了模型，求解出该科护师及以上职称的护士人次。一、问题一的求解1、模型的一般表达式：此问中本文以每
10、天该科所需的护士数最少为目标函数，以第 i 班次的护士数为决策便变量，以所给该科室每日每班次至少需要护士的数量为约束条件，建立如下线性规划模型：min61iZx123475869270;.0;,1.,ixstxx式中 xi 为第 i 班次所安排的护士数量，Z 为一天中所安排的最少护士总量。2、模型的求解本文通过用 LINGO 编程求解，解得每天该科所需的最少护士数为 145 人次。 （程序见附录）二、问题二的求解1、模型的建立过程经分析，此问中本文以第 j 天第 i 班次的护士数为决策便变量，以所给该科室每日每班次至少需要护士的数量及排班要求为约束条件，建立下列约束式：假设 xijk 为第 k
11、 位护士被安排上第 j 天的第 i 次班，为了方便模型的建立及求解，本文假设 xijk 为 0-1 变量，即有： 1,0ijkkji表 示 第 位 护 士 上 第 天 的 第 次 班表 示 第 位 护 士 不 上 第 天 的 第 次 班由题目可知每位护士每周必须上 40 小时，即要求每周必须上 10 个班次，则有：710ijkx（1）又由每天每位护士至多上工作 8 个小时，即每位护士至多每天上两个班次，则有：612ijkx（2）由规定每位护士每天上两个班次且两个班次不连上，则有：1ijkijkx（3）由第一天排班在时间段 22:00-02:00（小夜班）的护士，第二天在时间段06:00-10:
12、00 不排班，则有：51jkjkx（4）由时间段 02:00-06:00（大夜班）每个星期每位护士只排一次，且第二天必须休息，则有：761jkjx（5）61jkij（6）又由每个班次规定至少需要的人数，见下表：班次 该班时间段（24 小时） 该班所需最少护士数1 6:00-10:00 602 10:00-14:00 703 14:00-18:00 604 18:00-22:00 505 22:00-02:00 206 02:00-06:00 30则得如下约束式子：（7）12134156160;7;. 520;3;nnjkjkjkjknnjkjkxxstxx2、模型的一般表达式：联立上面（1）至
13、（8）式，得如下 0-1 整数规划模型：s.t 761616517120,1.,6jkjiijijkjijkkijijknijkijxxxD（9）运用lingo程序编程（程序见附录）求解可知每个护士的具体排班方案（见附录）：经统计具体排班方案上所给的数据，得一周内每天每班次所安排的人数如下表： 问题二班次安排人数表星期班次 一 二 三 四 五 六 日1 83 60 60 61 61 61 602 70 70 70 70 71 70 703 64 60 60 60 61 60 604 51 50 53 50 51 51 505 20 20 22 20 20 22 486 30 30 30 30
14、30 30 303、模型结果分析：据题意每位护士一星期应上 10 次班，经分析统计得一星期所有护士的总上班次数为 2100 次，故可得一周内该科至少需签约 210 人次的护理人员；再将上述一星期人数安排表与表一对比可知，每天每班次所安排的人数都符合该医院的要求；最后分析附件表格可知所得的排班方案皆符合院方所设的的排班条件。三、问题三的求解1、模型的建立及求解根据医院要求，在签约最少护士的条件下每班次上班的护士中护师以上（包括护师）职称的所占比例不低于 40%。根据签约护士的一周班次安排表，便得出每天每班次所需的护士总数 Aij，则取每班次总人数的 40%便得每天每班次护师职称以上（包括护师职称
15、）的护士人数 yij，即得如下方程：yij=0.4Aij将所得结果求和便得如下模型： min671,2,.6;1,.70iijWj最后用 LINGO 编程求解，将所得的 W 向上取整，即得该科护师及以上职称的护士人次为 85 人次。6 模型的检验和进一步讨论一、模型检验 本文将模型二中所得的排班结果与题目中的要求进行对照，具体过程如下：据题意每位护士一星期应上 10 次班，经分析统计得一星期所有护士的总上班次数为 2100 次，故可得一周内该科至少需签约 210 人次的护理人员；再将上述一星期人数安排表与表一对比可知，每天每班次所安排的人数都符合该医院的要求；最后分析附件表格可知所得的排班方案皆符合院方所设的的排班条件。故所得模型是可靠的。二、模型的进一步讨论：对于本文中的模型，还可以综合考虑多一些人性化的因素，如护士对班次的喜好问题、护士因特殊问题而请假缺席的情况，以及考虑国家法定假期对班次安排的影响，使得模型运用的更加方便、灵活，更贴近实际，以减轻管理人员的工作量，提升护士工作时的心情愉悦指数及工作效率。7 模型的评价与推广一、模型的优缺点1、优点：利用线性规划的思想来求解护士调度问题，其方法简便、直观、快捷，可操作性强；本文建立 0-1 整数规划模型，将所有约束条件统一化，运用 LINGO 软件即可求解所建的模型，费时少。2、缺点：
