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1、应用数学和力学 , 第1 4卷 第 9 期(1993年 9 月) ApplicdMath om atiosa n d M eoha n io s 应用数学和力学编委会编 重 庆出版社出版 金属材料热处理过程中的瞬态温度场 与瞬态相变的数值计算方法 袁发荣 (福建省闽江办) 杨书申 (河南纺织机械厂) (蒋咏秋推荐 , 1992年6月1 5 日收到) 摘要 木文首先将 Kirchho ff变换推广 到导热系数为温度的多项式的非定常非线性热传导问题 , 并 用分 析方 法确定热传导问题的边界 条件 。 其次提出以孕育期叠加法并引用线性混合法则来模拟金属热 处理过程的多相瞬态相 变 . 较为 简便地
2、确定相变的开始时间 、 相变的种类及 相变组织的数量 . 最后利用三维双重边界元法分析工件多 种形式的热 处理全过程 . 算例的数值计算结 果表明本 文方法行之有效 . 关健词 热处理相变 温度场 一 、 非线性热传导问题的线性化处理 一 Kir chho ff变换的引用 金属物体加热和冷却过程中的瞬态 温度场问题 , 可归结为如下非定常非线性热 传导 问 题 二 刹 “ 漂) 十刹 “ 摄) + 一泥 、葆 一 “ ( 、 一器 ) +。一。 , 一 器 (V( x , 夕 ,: )口) (1 . la) (从1 b) T二T 。 (V( x , 夕, z )口 , t=0) (?一 ze
3、) 其中 k : , k , , k : 分别为物体沿坐标轴 x , 夕, 二方 向的热传导 系数 , 对于 金属可认为秃 二 二寿 , 二 秃 , =鹿 , 。, 为比热 , p为密度 , Q为内热源 , q 为热流 密度 , T与T 。分别为 物体的瞬时温度与初 始温度 , t为时间, 口与r为求解区域与其 边 界 , n 为边界外法线方向 . 本文引用Ki r e hh off变换 , 一丁 九(T)d T 2) 将式(1 . 2)代入(1 . 飞), 有 787 了8台 、 袁 发 荣 杨 :絮 + 寥 + 寥 +。 书申 (V( x , 之/ , z )口) ( . 3a) 一一 j
4、叼,去 孟 刊 d 1一 a 种 _ _ 舀 元 - 一一 , 劝二势 。 (V( x , 演z , z )I ) (V(x , 了z ,z )甜 , 才二o) 式中 a 二k /pC, 为热扩散系数 , 奋 为相 变潜热 , 此式 (认 3a ) 可简化为线性方程 (1 . 3b) (1 . 3e) 它们在每一时间步长内可近 似取为常数 . 因 去豁 一v Z+ 。 (1 . 4) 二 、 Ki r c h ho ff变换的推广及其逆变换收敛性的证明 为确定式 . 2) 中寿(T )在多相红 织 情 况下 的具体表达式 , 本文利用线性混合法 则 2 一 来 确 定金属物体的热传导系数 .
5、设金 属物体在某 一时刻有N相存在 , k与犷 ( =: 一 , 2 , , N)分别 表示第相的热传导系数 与所占的体积百分比 , 并 用多项来拟合热传导系数随 温度而变化 九 二a+ 乙 T +“7 让 + d T 3 + “了 (2 . ; ) 其中山等均为常数 . 于是 K= 月+BT+C尹+D尸十万丁 5 (2 、 2) 其中 A= 乙 a厂, B= 乙 b 否 厂, , K = 艺 k厂 将式(2 , 2)代入 (1 . 2), 得 势=A(T 一了。)+ B (T “一 T若)/2+C(丁 3 一T孟) + D(尸一T君)+E(T S 一T ;)(2 . 3) T二劝 /A+T
6、。一 B(T “一 T考)/2月一C(T “一 T了) /3A 一D (T 4一T 君)/ : A一E(T S 一T言 )/SA (2 , 4) 记T二了(全) , 则有迭代式 T ” +1 = f(T 。) (2 . 5) 当。、时 , 一可求得功 对应的 . 下 面证 明迭代式 (2 . 5 )是收敛的 , 即Kir chho ff逆 交换是收敛的 . 根据Lip 、chitz 条件 , 若对 于 任意的T , T Z都 有 f(T l )一f(T : )l簇LIT , 一T : (L( 1) (2 . 6) 其 中 L是 与T , T Z 无关的正 常数(LI Ps ch i 七 z 常
7、数) , 则 迭式(2 . 5)收敛 . 先证明加热时迭代式(2 . 的的收 敛性 . 设物体加热开始时为铁素体组织 , 整个加热过程 只 可能有铁素体和奥 氏体两个相 , 且犷 。 十厂了 , , 犷 。 与厂 , 分别为奥 氏体与铁素体的体积百 分数 . 于是式 (2灼可简化为 T一 。犷。 草 。了:了 一2备粼众 )(犷 2一犷; )+ 犷 。 (2 . 7) 欲证式(2 . 了)满足(2 . 6 ) , 只需证 明下式成立 ! 。 饮车 次 ) (犷 1 十, 2 , 卜 (2 . 8) 金属材料热处理过程中的瞬态温度场 与瞬态相变的数值计算方法 这里 a 。b。, a 了b, ,
8、犷 。 +V , 二1 , 20o C 丛了 1三850 , 2 0压了 2 三850 , 因此式 (2 . 8)必然 成立 . 同理 , 可证当存在着 铁素体(F) 、 珠光体(尸) 、 贝氏体(B) 、 马 氏体(M)及奥氏体(A)的 冷却过程中 , 在犷,十厂 , +厂。十厂 二+ 厂 。 l及2 0 三T l 三8功与2 0二T Z 三8功的条件 下 , Kir eh hoff逆变换收敛 . 三 、 线性化的热传导问题的三维双重边界元法分析 利用双重边界元法DRBEM(D ual R eproei七y B oun d ary E lem en七 可将域内积分化成边界积分 . 取基本解
9、u 辛一1 一/ 二二r 为权函数 , 对 式 (从幼做加权积分 , 可得 M e七 h o d) “ 石 . 1 ) 蕊j 己叻 尸 二 (p , 。)d“(Q)一 丁 二 、(。)艺 (p , Q)“r(。)+,(p) , 二, (Q,。 (p , 。)d 一(Q ) 一 丁 。“( 。)二(p , 。)、(。)一。 (3 . 2) 其中 、(。卜吵 分 , 、(p , 。卜鱼嘿 , Q , 而D一丁 。吧 尸 2 (p , 。)、 。(口)可用 D RBEM处理如下 . 、 。、 。 二, 、二 阳 : ,_ 二 、 神(Q) 、二、 ,、 *,拟 议位匕戳曰仄边开工刊 曰J 付一而 一
10、 衣小刀刀两义里形八 二 乙f (Q ) d aJ ( dt = 艺f 了(Q ) 了(t) (3 . 3) 式中 f 了(Q )为一系列基函数 , a, ( t )为一系列时间函数 , N为插值硕数 . 对于具休的j J(Q ) , 总可以找到少(Q) , 使 V Z功J (Q)二f,(Q)(3 . 4) 将式 (3 . 3)与(3 . 约代入刀并做分部积分 , 于是将域内积分D化成为边界积 分 l丁 : 。J(Q )二 (p , Q)dr(Q, 一丁 二 , , Q,、 p , Q,drQ, 一功 (p ) , , () 其 中护(Q)一。功 J(Q )/伽 . 反,(t ) 可 用下述
11、方 法计算 , 即 对式 (3 . 3)全部取边界上的点 , ;萝 一 、 或 , : 一: 一 :犷 式中 ;犷 一 ! 一挚 梦 挚J 几。 J一 j , ( 、, 山 一 飞, 2 , 一 N 、 (3 . 5) 则有 (3 . 6) 将式 (3 . 5 )代入(3 . 2), 并离散物体边界 , 可得 H, 一GQ+ 从 G:一H功) F 一 粤 一B 以 U (3 . 了) 790 袁 发荣 杨书中 由上式解得劝 , 并进行Kir chh o f f逆变换 , 可得相应的温度T . 四 、 边界条件的分析与确定 在 热处理 加热和冷却 过程中 , 主 要是通过对流和辐射等物川(过程使
12、加 热或冷却介质与工 件之 间形成热量 流动 , 从而使 _ 二件获得 加热和冷 却 . (一)加热过程 对流传热主要发生 在工件温度 在60 0 了。c 以下的 J 李 形, 当工件温度高于 了0 0 时 金属 加热 主要靠辐 射作用 . 辐射传热 可以根据St1e f en 一B o l z m an 定律来计算 Q一 以汀 一 以汀 式 中Q为辐 射换热量 , , . 为当量辐 射 系数 , 7 对流传热可按下式计算 g二a (T 了一T。 ) 式中 q为对 流换热 量 , a 为对流 换 热系数 , T 了 与T 。分别为 而体与工牛表 面的 温 度 . 算出对流和辐射的换热 量 ,
13、即 可确定加热 过程中热传导问题的边界条件 . (4 . 1) 与厂 。分别为炉 子 与工件表面的绝对温度 . (4 . 2) 油冰水 1 口 ,. 户 m 才 厂 W . nU, . J r. . , t , J . . . , 月月LT ! 宁 月 J , (二) 冷却过程 人 们对于冷 却过程巳做过较多的研究 , 测 最 了液体冷却介质在不同温度下 的热流量曲线 (如图1所示) , 可由该曲线确定边界条件 . 对于 空 冷的情 况 , 可按上述原理来确定边 界条件 . / 护、 砂夕 砂 21 、 、办尸 .、 一 3 卜 ; 68 T(100 . C) 圈1 热流一曲线 五 、 瞬态相
14、变的模拟方法 - 一孕育期叠加法 本文提出孕 育期叠 加原 理 , 并 运用等温转 变 图来确定相变的开始时间 、 相变的种类及相 交组织的数量 . 孕育期是指在加 热或冷却过程中 , 在某一 温度卜保持等温 直至开始发生相变所 需的时 间 . 若在温度 T , 等温转变的孕育期为 2 1, 而实际在该温度下保持等温的时间为朴 , 则当 A : , 之1时将发生相 变 . 入下 1/之, 表示孕育 期的相 对消耗量 , 生相变的判据 . 八几 是否存在认下可作为是否发 假定已知 钢 的加热 与冷却曲线 及对应 的加 热等温转变图IT H与冷却等温转变图I T C , 将加 热 或冷却曲线在温度
15、T ( =1 . , 2 , ,。) 处分 成若干阶段 , 设每一阶段保持的时间为A 介 , 根 据I T H或I T C图的转变开始线确定温度7 对应 的孕 育期为z , 则当加热或冷却至T , 时 , 孕 育期的相对消耗量为 金属材料热处理过程中的瞬 态温度场与瞬态相变的数值计算方法 791 1 . P . (T , )二 乙(断 / z, ) (5 . 1) 若1 . P . (T 。 )乒卜则开始发生相 变 . 相 变产物的数量可 确定如下 . 对于加 热过程中的奥氏体形 成及 冷却过程中的过 冷奥氏体向铁 素体 、 珠光体 、 贝氏体的 转变 , 可按下式计算 U 。= 一exp一b
16、ot”* (5 . 2) 其中 犷 。为 第寿相的体积百 分比 , t为 时间, b 。与溉为与 温度 及等 温转变曲线有关的参数 . 对于 无扩散的马 氏体转变 , 可用下式计算 厂。一1一 exp 一k(M 。 一T ) ” (5 . 3) 式 中 厂。为马氏体体积百分比 , M , 为马 氏体开始转变温度 , T为冷却 终止时的温度 , 左 ,。 为 常数 . 六 、 算例 根 据上述原理 , 本文 编制 了三 维边界元法程序来计算热处理过程中的瞬态温度场及所发 尹(100 C) 7 , (1 ooC二 ! s户、 - 中已点 一一一边界点 边界卢 才(105) 门目卜 州. 曰自.阳. . . . . 口 口一山. 目 105 2 0253035 丫丫
