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1、第二章 从Maxwell方程组到光波导理论光是一种特殊波段的电磁波，它在波导中传输满足电磁场的基本方程Maxwell方程组。这一章中，我们将从Maxwell方程组出发，建立光在波导中传输的电磁波理论与几何光学理论，进而讨论光在波导中的传输行为。2.1 Maxwell方程组19世纪60年代，英国物理学家麦克斯韦（James Clerk Maxwell，18311879）在法拉第、高斯等人对电磁现象深入研究的基础上，加上他自己对电磁现象与力学的类比，提出了涡旋电场和位移电流假设，建立起一组完整的定量描述宏观电磁现象的基本方程，即著名的Maxwell方程组。根据这组基本方程，麦克斯韦预言了电磁波的存
2、在，并指出光波就是波长极短的电磁波，从而使人类对光的本质的认识向前迈进了一大步，也在物理学发展史上建立了一座新的里程碑。迄今为止，除了光发射与吸收必须用量子理论才能圆满解释外，麦克斯韦的经典电磁理论仍是分析光波传输问题的理论基础。2.1.1 Maxwell方程组宏观电磁现象可以用电磁场来描述。真空中的电磁场由电场强度和磁感应强度来描述。而为描述场对物质的作用，如光在透明介质中传播，则需再引入电位移矢量和磁场强度。在电磁场中每一点，这些矢量随时间和空间的变化关系由Maxwell方程组给出（2.1.1a）（2.1.1b）（2.1.1c）（2.1.1d）式中，为介质中的传导电流密度；为自由电荷密度。
3、（2.1.1）式中四个方程不是独立的，如果认为电流连续方程（2.1.2）是独立方程，则c、d两式可由a、b两式推出。为了从（2.1.1）式完全确定电磁场量，尚需给出、与、的关系，即物质方程（2.1.3a）（2.1.3b）（2.1.3c）式中，为介质的电导率，对良好介质可以认为近似为零；和分别为真空的介电常数和磁导率；称为介质的极化强度；称为介质的磁化强度。对于电各向异性介质，电极化强度可以写成（2.1.4）其中是i+1阶张量。如果除外，其余的元素均为零，则称此介质为线性介质，否则为非线性介质。对于各向异性线性介质，总可以选择合适的坐标系使（2.1.5）若、均不相等，称为双轴晶体；若其中只有两个
4、相等，称为单轴晶体；若三个都相等，即，可以用标量表示，从而得到（2.1.6）（2.1.7）其中为相对介电常数。由于一般传光介质均为非磁性介质，从而（2.1.8）满足（2.1.7）及（2.1.8）式的介质称为各向同性线性介质，如未作特殊说明，本书所涉及的介质均为此种介质。通过上面的讲述我们可以看出，Maxwell方程组虽然给出了电磁场的基本规律，但由于介质和场量的复杂性，使得求解并不容易。考虑物质方程，可以降低求解难度。首先，通过线性各向同性介质假设降低了介质的复杂程度；其次，通过物质方程可以使求解的场量由4个（、）变为2个（、）。但是，介质和场量均是时间t与空间位置（x，y，z）的函数，方程仍
5、很复杂。先在时间上将场量简化。引入傅里叶变换（2.1.9a）（2.1.9b）式中，可代表所有场分量的时域表达式；则为其频域表达式。从（2.1.9b）式可以看出，任意时域场分量都可以分解成多个频域分量。在良好介质（，）中，且介质的性质不随时间变化（定态假设），则各个频率的场量均满足频域中的Maxwell方程组（2.1.10a）（2.1.10b）（2.1.10c）（2.1.10d）若不涉及色散或非线性传输等与频率有关的现象，对于某一工作频率，式中、仅是空间位置（x，y，z）的函数，而时域中的电磁场量可根据（2.1.9a）式叠加而成。再考虑场量在空间上能否简化。若介质均匀，即不随空间位置（x，y，z
6、）变化，则（2.1.10d）式可化为，问题显然简单了很多。但大多数情况是，仅在某一局域为常数，因此我们接下来讨论电磁场的边界条件，即两局域交界面处电磁场的联系。2.1.2 电磁场边界条件Maxwell方程组（2.1.1）式描述的是电磁性质、为位置坐标的连续函数的介质中电磁场的基本规律。而当介质的性质发生突变时，由于导数不存在，所以（2.1.1）式不再适用。此时需将（2.1.1）式改成积分形式（2.1.11a）（2.1.11b）（2.1.11c）（2.1.11d）式中和的积分路径L分别为（2.1.11a）和（2.1.11b）两式右端面积分区域S的边界；而和在闭合曲面上面积分的积分区域S分别为（2
7、.1.11c）和（2.1.11d）两式右端体积分区域V的外表面。将（2.1.11a）和（2.1.11b）式应用于图2.1.1(a)所示的窄条型回路，可得到（2.1.12a）（2.1.12b）（2.1.12）式说明，两介质分界面处电场强度切向连续，而磁场强度的切向分量在边界面上的突变取决于界面上的传导面电流密度。再将（2.1.11c）和（2.1.11d）式应用于图2.1.1(b)所示的扁平区域，可得到（2.1.13a）（2.1.13b）上式说明，两介质分界面处磁感应强度的法向分量连续，而电位移矢量的法向分量突变取决于界面上的自由面电荷密度。对于非导电介质，其表面面电荷密度，面电流密度，因而可将（
8、2.1.12）和（2.1.13）式合并写成（2.1.14a）（2.1.14b）（2.1.14c）（2.1.14d）即电场强度和磁场强度切向连续，磁感应强度和电位移矢量法向连续。根据Maxwell方程组、物质方程及边界条件即可以确定所有电磁场量。由于Maxwell方程组是偏微分方程组，还需要在适当的条件下进一步消元，化简为偏微分方程。2.1.3 波动方程和Helmholtz方程良好介质中、，如果介质为均匀、各向同性、线性介质，则为常数。在上述两条件下，将（2.1.1a）和（2.1.1b）式取旋度，并注意到，可得（2.1.15a）（2.1.15b）式中，为真空中光速；为介质的折射率。（2.1.15
9、）式即为线性、均匀、各向同性介质中的波动方程，它的解即为波速为的电磁波。在频域中，所有场量都是以角频率振荡的正弦量，因而其波动方程为（2.1.16a）（2.1.16b）式中（2.1.17）（2.1.16）式称为Helmholtz方程。对于非均匀的各向同性线性介质，因为（2.1.18）可得（2.1.19）从而得到（2.1.20a）（2.1.20b）式中，是位置的函数，如果介质的折射率或相对介电常数随位置变化得较为缓慢，即满足，则称这种介质为缓变介质，于是（2.1.20）可化简为（2.1.21a）（2.1.21b）上式虽然形式上与(2.1.16)式相同，但二者有着重要区别，即(2.1.21)式中的
10、折射率n是空间位置的函数，因而其求解也就要困难得多。在分析光波导中光波的传播时，我们既会遇到均匀介质，又会遇到非均匀介质，但光波导中介质的非均匀性总满足缓变条件。因而（2.1.16）和（2.1.21）式是我们分析光波导中光波传播的基础。Helmholtz方程是一元二阶偏微分方程，与Maxwell方程组相比要简化了许多。但由于场量和都是矢量，所以每一个矢量方程都相当于三个标量方程，即Helmholtz方程仍有简化的可能。一方面，我们可以根据介质的对称性，选择合适的坐标系，利用各分量之间的关系，将Helmholtz方程化简为标量方程，如第2.2节和第3章。另一方面，我们可以将一个矢量函数在合理的情
11、况下简化为常矢量和标量函数的乘积，进而将Helmholtz方程化简为标量方程，下面就主要对此进行论述。2.1.4 均匀平面电磁波根据定态波假设，电磁波的振幅仅是空间位置的函数，相位是时间和空间的线性函数（2.1.22）式中是波的振幅矢量。略去后（2.1.23a）（2.1.23b）式中，称为波矢，方向为波的相速方向，大小为，即波的相位常数；和分别是波的电场和磁场振幅矢量，与和一样，仅是空间位置的函数。尤其在无界均匀各向同性线性介质中，对于均匀平面电磁波，、和都是常矢量。令（2.1.24）式中C为任意常数。上式在空间描述出一组平面，称为波的等相位面。(1)均匀平面电磁波是TEM波将（2.1.23）
12、式代入（2.1.10）式，得（2.1.25a）（2.1.25b）（2.1.25c）（2.1.25d）式中，为介质的波阻抗，为波矢的单位矢量。上式说明无界介质中的均匀平面电磁波是TEM波，、和三者相互垂直，和相位始终一致。(2)均匀平面电磁波的相速和群速平面电磁波相位传播的速度称为相速（2.1.26）而能量传播的速度称为群速（2.1.27）对于均匀平面波，。如果介质折射率n与频率无关，则（2.1.28）即对于均匀无色散介质，其中传播的平面电磁波的相速与群速相等，且与波源的频率无关，仅与介质的折射率有关。(3)均匀平面电磁波的偏振态平面电磁波的偏振态是指电场强度矢量或磁场强度矢量的空间取向随时间的
13、变化情况。平面电磁波的偏振态包括：自然光、部分偏振光、线偏振光、椭圆偏振光和圆偏振光，共5种。其中，线偏振光、椭圆偏振光和圆偏振光统称为完全偏振光，自然光也称为非偏振光。自然光和部分偏振光都可以看成多个完全偏振光的混合，因此下面我们着重讨论完全偏振光。任意场矢量总可以写成沿两个特征方向的分矢量之和，即（2.1.29）式中，、为与波传播方向垂直的两个相互正交的单位矢量，；和分别为和方向上的振幅；和分别为和方向上的相位因子。当时分别为一、三和二、四象限的线偏振态。当且时分别为右旋和左旋圆偏振态。更一般的情况下，波呈椭圆偏振态，时为右旋偏振态，而时为左旋偏振态。需要指出，这里关于旋向的定义与工程电磁理论中的规定一致，而与一般的光学教科书中的刚好相反。（2.1.29）式说明，任何一种完全偏振态都可以看成两个具有确定相位差和振幅比的线偏振态的叠加。同样，在研究旋光现象时，我们也可以将它看成是两个旋向相反的圆偏振光的叠加，即（2.1.30）式中，、分别为左旋和右旋圆偏振
