重视反例

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1、重视反例 SCIbird 说明：建议所有读者将本文中提及的那些著名分析反例，亲自动手推导一遍。说明：建议所有读者将本文中提及的那些著名分析反例，亲自动手推导一遍。 本文是自己几年前的网上长文如何提高自身数学水平的扩展文章，重 点介绍数学中的反例。 本文是自己几年前的网上长文如何提高自身数学水平的扩展文章，重 点介绍数学中的反例。 反例是数学中的重要组成部分，但在教学中因为某些原因被低估了，原因 或者因为有的反例证明太难 （所用数学工具较深） ， 或者是纯粹技巧性的构造 （没 有一般性） ，甚至或者认为“破坏”了数学的和谐性等等。 反例是数学中的重要组成部分，但在教学中因为某些原因被低估了，原因

2、 或者因为有的反例证明太难 （所用数学工具较深） ， 或者是纯粹技巧性的构造 （没 有一般性） ，甚至或者认为“破坏”了数学的和谐性等等。 按笔者观点，反例属于数学中的“否定性定理”范畴，可能在某种程度上 限制了我们认识数学的边界。但换一个角度讲，很多反例的存在使得数学多了 层次性，反而激发了活力，打开了一个新的世界，比如：连续函数 按笔者观点，反例属于数学中的“否定性定理”范畴，可能在某种程度上 限制了我们认识数学的边界。但换一个角度讲，很多反例的存在使得数学多了 层次性，反而激发了活力，打开了一个新的世界，比如：连续函数-光滑函数光滑函数- 解析函数。解析函数。 最有名的反例之一要数“单位

3、正方形的对角线长度不能表示成两个正整数 之比”了，即 最有名的反例之一要数“单位正方形的对角线长度不能表示成两个正整数 之比”了，即2是无理数，这个反例引发了无理数井喷。如果耐心一些，细数 数学分析教材（如数学分析新讲 ）中的反例，还是挺多的。 是无理数，这个反例引发了无理数井喷。如果耐心一些，细数 数学分析教材（如数学分析新讲 ）中的反例，还是挺多的。 简单一点的反例，如举出一个光滑函数，不存在泰勒级数，这个反例是函 数： 简单一点的反例，如举出一个光滑函数，不存在泰勒级数，这个反例是函 数： 1/ ( ),0;( )0 ,0 x f xexf xx =. 这个函数在这个函数在0x =点的任

4、意阶导数均 为 点的任意阶导数均 为 0，因此，因此 这个函数在这个函数在0x =点的泰勒级数恒为点的泰勒级数恒为 0，矛盾。，矛盾。 其它例子，如直观上，收敛的广义积分其它例子，如直观上，收敛的广义积分 0 ( )f x dx 似乎应该有似乎应该有 lim( )0 x f x = 如果如果( )f x非负，则结论成立；如果非负，则结论成立；如果( )f x变号，则不一定成立，如变号，则不一定成立，如 2 ( )sinf xx=. 级数方面，众所周知的结论是级数方面，众所周知的结论是 1 1 n n = =+ ，但是，但是 1 1 ,1 p n p n = . 于是 猜想：对正项级数，当 于是

5、 猜想：对正项级数，当 1 () n ao n =，是否有级数，是否有级数 1 n n a = 若函数 若函数( )g z可以解析延拓到可以解析延拓到Re( )0z ，则广义积分收敛且满足 ，则广义积分收敛且满足 000 (0)lim( )( ) z z t gf t edtf t dt + + = 显然，上面定理中的线性变换是显然，上面定理中的线性变换是 Laplace 变换。这个定理看似就像一道复变 函数习题。其实这个定理是证明素数定理的最困难部分，这方面的细节见美国 数学月刊文章 变换。这个定理看似就像一道复变 函数习题。其实这个定理是证明素数定理的最困难部分，这方面的细节见美国 数学月

6、刊文章 记记( )x表示不超过表示不超过x的素数的个数，所谓素数定理，指下面极限表达式的素数的个数，所谓素数定理，指下面极限表达式 ( ) lim1 /ln x x xx = 这一定理最早由数学家高斯和勒让德猜出结果，但没有给出证明。俄国数学家 切比雪夫通过引入函数 这一定理最早由数学家高斯和勒让德猜出结果，但没有给出证明。俄国数学家 切比雪夫通过引入函数 ( )ln p x xp = （这里（这里p表示素数）证明了如果表示素数）证明了如果( ) xx存在（即存在（即lim( )/1xx=） ，则素数定理 成立。后人证明极限 ） ，则素数定理 成立。后人证明极限lim( )/1xx=存在，所使

7、用的方法就是证明广义积分存在，所使用的方法就是证明广义积分 1 2 ( )xx dx x 收敛。令收敛。令( )()1 tt f te e =，转化为证明广义积分，转化为证明广义积分 10 2 ( ) ( ) xx dxf t dt x + = 收敛。具体细节即利用上面的收敛。具体细节即利用上面的 Tauber 型定理，同时还涉及到黎曼型定理，同时还涉及到黎曼( )s函数的一 些基本性质，此处从略（证明过程见美国数学月刊那篇文章） 。 函数的一 些基本性质，此处从略（证明过程见美国数学月刊那篇文章） 。 上面说的远一些，不过皆在说明，如何从更高的观点看待数学中的那些反 例。还是说一些熟悉的例子

8、吧，先说说狄利克雷函数 上面说的远一些，不过皆在说明，如何从更高的观点看待数学中的那些反 例。还是说一些熟悉的例子吧，先说说狄利克雷函数 ( )1 ,( )0Q;RQ,D xxD xx= 将将( )D x限制在区间限制在区间0,1上就是一个著名的黎曼不可积函数的反例。上就是一个著名的黎曼不可积函数的反例。 换一个角度看待这个反例。因为有理数可数，将区间换一个角度看待这个反例。因为有理数可数，将区间0,1上的有理数编号 为 上的有理数编号 为 123 ,qqq，构造函数列，构造函数列 123 1, ( ) 0, n n xqqqq D x = = 其它 显然函数列显然函数列( ) n D x是是

9、0,1上的黎曼可积函数，积分值为上的黎曼可积函数，积分值为 0 且且( )( ) n D xD x. 于 是可大胆猜想，用下面的极限来定义 于 是可大胆猜想，用下面的极限来定义( )D x的新的积分：的新的积分： 111 000 lim( )lim( ):( ) n nn n D x dxD x dxD x dx = 当然，这里选用区间当然，这里选用区间0,1比较整齐，对于一般的点集比较整齐，对于一般的点集E（需要引入测度） ，推广 阶梯函数到简单函数，然后用其极限来定义 （需要引入测度） ，推广 阶梯函数到简单函数，然后用其极限来定义 Lebesgue 积分，这是一种思路。积分，这是一种思路

10、。 不做一般化讨论，对单个例子不做一般化讨论，对单个例子( )D x，直接用黎曼积分的极限来定义即可。 细心发现这里的关键在于 “极限与积分符号交换运算次序” ， 这个性质太重要了。 这个反例告诉我们在黎曼积分意义下，极限与积分符号未必可以交换顺序，即 便可以交换，也未必相等。 ，直接用黎曼积分的极限来定义即可。 细心发现这里的关键在于 “极限与积分符号交换运算次序” ， 这个性质太重要了。 这个反例告诉我们在黎曼积分意义下，极限与积分符号未必可以交换顺序，即 便可以交换，也未必相等。 这个问题与之后的对级数是否可以逐项积分是等价的，都是重要问题。数这个问题与之后的对级数是否可以逐项积分是等价

11、的，都是重要问题。数 学分析教材是通过引入一致收敛概念来解决的，更一般的结论是学分析教材是通过引入一致收敛概念来解决的，更一般的结论是 Lebesgue 控制 收敛定理（当然要用 控制 收敛定理（当然要用 Lebesgue 积分了） 。花费这么多笔墨，无非想说明如此重 温狄利克雷函数 积分了） 。花费这么多笔墨，无非想说明如此重 温狄利克雷函数( )D x反例，可以温故而知新。反例，可以温故而知新。 其它著名的反例，如新讲中的反例，这个反例否定了人们对连续函数 在只有少数点不可导的直观猜想。 其它著名的反例，如新讲中的反例，这个反例否定了人们对连续函数 在只有少数点不可导的直观猜想。 反例构造

12、如下：记反例构造如下：记( )x表示表示x与离它最近整数的距离，则与离它最近整数的距离，则(1)( )xx+=. 动手画画图，发现这是一个“锯齿函数”动手画画图，发现这是一个“锯齿函数” 令令 0 (4) 4 R( ) n n n x f xx = = ，此函数一致收敛，故为连续函数，这个函数 处处连续处处不可导。这里不去讨论具体细节（见新讲第三册） ，给出一个 ，此函数一致收敛，故为连续函数，这个函数 处处连续处处不可导。这里不去讨论具体细节（见新讲第三册） ，给出一个 直观描述：随着直观描述：随着n的不断增大，锯齿函数的不断增大，锯齿函数(4) nx 不断加密，而这些锯齿函数的 叠加就“更

13、锯齿”了（多画画图） 。其实，分形几何中有名的雪花曲线，也是这 方面的反例。 不断加密，而这些锯齿函数的 叠加就“更锯齿”了（多画画图） 。其实，分形几何中有名的雪花曲线，也是这 方面的反例。 换一个角度，人们之前为什么没有认识到“处处连续处处不可导函数”的 存在呢？一种想法是，通常人们受直观影响，想象中的函数都是分段单调的。 而“处处连续处处不可导函数”是无处单调的连续函数。证明很简单，根据实 变函数中的定理：单调函数几乎处处可导。利用泛函分析中的贝尔“纲定理” ， 可知道在连续函数中，处处连续处处不可导函数”占绝大多数。这一惊人结论 堪比，超越数比代数数多得的的结论。 换一个角度，人们之前

14、为什么没有认识到“处处连续处处不可导函数”的 存在呢？一种想法是，通常人们受直观影响，想象中的函数都是分段单调的。 而“处处连续处处不可导函数”是无处单调的连续函数。证明很简单，根据实 变函数中的定理：单调函数几乎处处可导。利用泛函分析中的贝尔“纲定理” ， 可知道在连续函数中，处处连续处处不可导函数”占绝大多数。这一惊人结论 堪比，超越数比代数数多得的的结论。 新讲中还给出了填满正方形的皮亚诺曲线，直圆柱的内接折面面积可 以任意大（对比下曲线内接折线，可知这个反例很出乎意料） ，等反例，这里不 一一介绍了。 新讲中还给出了填满正方形的皮亚诺曲线，直圆柱的内接折面面积可 以任意大（对比下曲线内

15、接折线，可知这个反例很出乎意料） ，等反例，这里不 一一介绍了。 最后，在说一个不那么初等的反例吧。这个反例太有名了，以至于数学系 大三水平都应该知道 最后，在说一个不那么初等的反例吧。这个反例太有名了，以至于数学系 大三水平都应该知道-她就是传说中的“米尔诺她就是传说中的“米尔诺 7 维怪球” ，是微分拓扑学建 立的标志。 维怪球” ，是微分拓扑学建 立的标志。 陈省身老爷子在微分几何讲义中给出了米尔诺最初的反例构造方法， 不过太过于拓扑技巧化，这里采用后人发现的更简单而深刻的 陈省身老爷子在微分几何讲义中给出了米尔诺最初的反例构造方法， 不过太过于拓扑技巧化，这里采用后人发现的更简单而深刻

16、的 7 维怪球反例， 大致方法如下： 维怪球反例， 大致方法如下： 约定如下讨论的流形都是紧致可定向的。根据约定如下讨论的流形都是紧致可定向的。根据 Thom 的工作，设的工作，设 7 M是一个 闭 是一个 闭 7 维流形，则存在某个维流形，则存在某个 8 维流形维流形 8 B，以，以 7 M为其边界，即为其边界，即 78 MB=. 应该指 出，满足 应该指 出，满足 78 MB=的的 8 B不唯一。不唯一。 米尔诺利用上述结论，并结合示性类理论和符号差定理，对米尔诺利用上述结论，并结合示性类理论和符号差定理，对 7 M巧妙定义了 一个 巧妙定义了 一个mod7整数微分同胚不变量整数微分同胚不变量 7 ()M。 这里在。 这里在mod7意义下，意义下， 7 ()