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1、1.8 1.8 同态基本定理同态基本定理 本节主要内容本节主要内容 1 1）群的同态的定义；）群的同态的定义； 2 2）群的同态的性质定理；）群的同态的性质定理； 3 3）群的同态基本定理；）群的同态基本定理； 定义定义1 1 同态：同态：设设与与为群为群 若存在映射若存在映射, , 使得使得 对对有有 则称则称为为到到上的一个同态上的一个同态。 () , 1 G(), 2 G 21 GG： 1 ,Gba ()( )( )baba= 1 G 2 G 满同态：满同态：若若为满射，记为为满射，记为 单同态：单同态：若若为单射为单射 同构：同构：若若既为满射又为单射既为满射又为单射 21 GG 例1
2、 设为整数加法群，),(+Z 1, 1 =S ),(S关于通常乘法构成群 SZ :Za += = = Zkkaif Zkkaif a , 121 ,21 )( 对有： Zba , )()()(baba=+ 则对有： 定理定理1 1 设设与与为群为群， 的同态的同态，则对则对 有：有： 1 1） 2 2） (), 1 G(), 2 G 21 GG： 1 Ga ( ) 21 ee= ()( )() 1 1 =aa 定理定理2 2 设设为群，为群，是是 一个具有二元代数运算的代数系，一个具有二元代数运算的代数系， 的满射，且对的满射，且对 有有 则为则为群。群。 (), 1 G (), 2 G 21
3、 GG： 1 ,Gba ()( )( )baba= (), 2 G 定理定理3 3 设设与与为群，为群， 的满同态，的满同态， 则则 是是的一个正规子群。的一个正规子群。 (), 1 G(), 2 G 21 GG： ( )( ) 122 1 ,Gxexxe= 1 G 定义定义2 2 设设与与为群为群， 的满同态的满同态，则则的正规的正规 子群子群称为同态称为同态的核的核， 记为记为KerKer。称为在称为在下下G G的的 同态象同态象 注：显然有注：显然有即为满同态即为满同态 (), 1 G (), 2 G 21 GG： 1 G ( ) 2 1 e ( )G () 11 GG 1 1）若若是是
4、子群子群，则则是是 的子群的子群; ; 2 2）若若是是的正规子群的正规子群，则则 是是的正规子群的正规子群; ; (), 1 G(), 2 G 21 GG： 定理定理4 4 设设与与为群，为群， 的满同态，则：的满同态，则： H 1 G ( )H 2 G N 1 G( )N 2 G 3 3）若）若是是子群，则子群，则是是 的子群；的子群； 4 4）若）若是是的正规子群，的正规子群， 则则是是的正规子群；的正规子群； H 2 G( )H 1 1 G N 2 G ( )N 1 1 G 定理定理5 5 设设N N是是G G的正规子群的正规子群，则有：则有： （自然同态自然同态）。若若是是 G G到
5、到G/NG/N的同态的同态，则则KerKerN N NGG/ 定理定理6 6 群的同态基本定理：群的同态基本定理： 设设为群为群到到的满同态，的满同态， E EKer Ker ，则，则: : 1 G 2 G 2 1 G E G 例2 对例1中的满同态运用同态基本 定理可得： ,2|) 1 ( 1 ZkkaaKerE= ,FEEZ=其中 , 12|ZkkaaF+= SEZ:则同构映射为且有： 1)(, 1)(=FE 回顾定义回顾定义1：设在X上 定义二元关系如下： YXf: f E Xba , )()(bfafbaE f =当且仅当 则称为由导出的关系。 且为等价关系。 f Ef 回顾定义回顾定
6、义2：设设是是X上的一个等上的一个等E EXX :价关系，价关系，其定义为：其定义为： Xaaa=,)( 其中a为a关于的等价类。E 称为自然映射。 显然为满映射。 EXX 回顾定义回顾定义3 ：设则YXf: f 可分解为的自然映射 EXX 与的某个单射的合成YEXf ff = 其中 f )()(afaf= 若为满射，则为满射。f M2 M1 X1 Xn Y1 Yn Z1 Zm x1 , , xn, 映射映射 自然映射自然映射 单射单射 =满足：满足： E M1 M2 M1 X1 Xn Y1 Yn Z1 Zm x1 , , xn, 映射映射 自然映射自然映射 单射单射 =满足：满足： E M1 G2 G1 X1 Xn Y1 Yn Z1 Zm x1 , , xn, 映射映射 自然映射自然映射 单射单射 =满足：满足： 群群 群群同态同态 同态？同态？ 同态？同态？ , 1 1 e E M 定理定理7 7 群群G G的任一满同态的任一满同态均可分解均可分解 成一个自然同态成一个自然同态与一个同构与一个同构的的 合成。即合成。即 并且并且是唯一的。是唯一的。 f f= f
