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1、广东省南澳县南澳中学2015年高三上学期期末考试数学试卷（理）考试时间：120分钟。 满分：150分参考公式：锥体体积公式；柱体体积公式一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1复数（ ）A B C D2设集合U=1，2，3，4，5，6，M=1，2，4，则UM=（）AU B1，3，5 C2，4，6 D 3，5，63.已知条件p：，条件q：1，则q是p成立的( )2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 俯视图 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件4已知，且，则 ( )
2、A B C或 D5一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 6.已知直线与两个不同的平面，则下列每题正确的是( )A.若，则 B.若则C.若则 D.若则7阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（ ）A21 B39 C81 D1028. 对、，运算“”、“”定义为：=，=，则下列各式其中不恒成立的是（ ） A、B、 C、 D、 二、填空题：本题共7小题，作答6小题，每题5分，满分30分.9某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取 _ ；10.已知数列，则 1
3、1的展开式中的系数为 .（用数字作答）12已知满足约束条件，则最小值为 。13定义在上的函数满足，则的值为_.14在平面直角坐标系中，已知圆（为参数）和直线（为参数），则直线被圆C所截得弦长为 ；15如图，已知O的割线PAB交O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则O的半径为_三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 在中,角、的对边分别为、,且,.(1) 求的值；(2) 设函数,求的值.17. 根据空气质量指数（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:（数值）空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度
4、污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色某市2013年10月1日10月30日，对空气质量指数进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:（1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中度污染的概率； （2）在上述30个监测数据中任取2个,设为空气质量类别颜色为紫色的天数,求的分布列.18（本题满分分）已知数列的前项和是，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求适合方程 的正整数的值19.如图，三棱柱中，侧面底面，且，为中点证明：平面；求直线与平面所成角的正弦值；在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置20. 已知椭圆的离心率为,椭圆短轴
5、的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆的右焦点的动直线与椭圆相交于、两点.(1)求椭圆的方程;(2)若线段中点的横坐标为,求直线的方程;(3) 若线段的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.21. 已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：广东省南澳县南澳中学2015年高三上学期期末考试数学试卷（理）试室座位号答题卡题号一二161718192021总分得分二、填空题（每题5分，共30分）9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题：（共80分）16（本题12分）17（本题12分）
6、18（本题14分）19（本题14分）20（本题14分）21（本题14分）广东省南澳县南澳中学2015年高三上学期期末考试数学试卷（理）答案一、选择题（本大题8小题，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）ADBC BBDB二填空题9. 15 10. 11. -160 12. -1 13. -3 14. 46 15. -3三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16. 【解析】解法1：(1) 因为，所以，又，所以 5分所以 . 17. 【解析】：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, -1分所以该城市本月空气质量类别为中度污染
7、的概率 .-4分（2）随机变量的可能取值为,-5分则,-7分,-9分-11分 所以的分布列为: -12分18.（1） 当时，由，得 1分当时， ， ， 2分，即 5分是以为首项，为公比的等比数列6分故 7分（2），9分 11分13分解方程，得 14分19.证明：因为，且为的中点，所以又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系由题意可知，又所以得：，则有：， 设平面的一个法向量为，则有，令，得，所以因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以设，即，得所以，得令平面，得，即，得，即存在这样的点，为的中点20. 【解析】(1)依题意，有，
8、1分即， ，又 解得 3分则椭圆方程为 4分 (2)由（1）知，所以设过椭圆的右焦点的动直线的方程为将其代入中得， 5分 ，设,则 ， 6分因为中点的横坐标为，所以，解得 7分所以，直线的方程 8分（3）由（2）知, 所以的中点为 所以 10分 直线的方程为, 由,得,则, 所以 12分所以 又因为,所以. 所以. 所以的取值范围是 14分21.【解析】：（1）由得，所以2分由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是4分（2）由可知是偶函数 于是对任意成立等价于对任意成立5分由得当时，此时在上单调递增故，符合题意6分当时，当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是9分（3），10分，11分，由此得，13分故14分
