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1、第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法 某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发，先求出特征多项式，再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定.常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。1 乘幂法乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法，它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。 为什么是第j个分量呢？能相等吗？定理81 设矩阵Ann有n个线性无关的特征向量Xi（i=1,2,n），其对应的特征值i(i =1,2,n)满足|1|2|n|则对任何n维非零初始向量Z0,构造Zk = A
2、Zk-1(k=1,2,) 有 （81）其中(Zk)j表示向量Zk的第j个分量。证明 ： 只就i是实数的情况证明如下。理解：对比迭代因为A有n个线性无关的特征向量Xi，（i = 1,2,n）所以任何非零向量Z0都可用Xi（i = 1,2,n）线性表示，即Z0=1X1 + 2X2 +nXn（10） 用A构造向量序列Zk其中 (8.2)由矩阵特征值定义知AXi=iXi(i=1,2, ,n)，故 （8.3）同理有 （8.4）将（8.3）与（8.4）所得Zk及Zk-1的第j个分量相除，设10，并且注意到 |i|1或|1|p+1|n|容易证明定理1的结论仍成立。 （2）此外，定理1中要求初始向量Z0的10
3、是必要的，否则就不能得到对应于1的结果。如在例1中若取Z0=(1,1,-1)T，由此出发迭代便得1=2，X1=(1,0.6667,-1)T显然,这不是矩阵A的按模最大的特征值和对应的特征向量,出现这一现象,正是由于1=0。事实上，由于A的特征向量X1，X2，X3是线性无关的,故Z0=(1,1,-1)T可表示为Z0=1X1+2X2+3X3即解之得（3）乘幂法的收敛速度取决于比值 |1/1|，当这个比值接近于1时,收敛很慢,反之收敛就比较快。例1是收敛较快的例子,如果收敛很慢,可以配合运用加速技术提高收敛速度。具体可参看西安交通大学出版社出版由邓建中等人编写的计算方法一书。2 反幂法反幂法可以计算
4、矩阵按模最小的特征值及对应的特征向量。设Ann为非奇异矩阵，则A-1存在。若A的特征值1（）满足|1|2|n|0对应的特征向量为X1,X2, ,Xn。因为AXi=iXi，所以A-1Xi=(1/i)Xi ，即(1/i)（i=1,2,n）是A-1的特征值，它满足对应的特征向量仍是Xi（i=1,2,n）。这就是说,计算A的按模最小的特征值n只要计算A-1按模最大的特征值，从而，而求A-1的按模最大的特征值只须应用前述的乘幂法即可。.所以反幂法的选代向量是： 设初始向量于是 为避免求逆阵（）,由（）计算（）时,可以通过解线性方程组（）.3 QR方法1、2 介绍了求矩阵A的部分特征值的方法,对于求它的全
5、部特征值则有QR方法. 对矩阵A、B,若在非奇异矩阵P使得则称矩阵A和B相似,记A（）B,而称P为化A为B的相似变换,并且由于（）,得知相似矩阵有相同的特征值,又因为（）有（）显然,若（）为B相应在于（）的特征向量,则（）为A的相应于（）的特征向量. 对于特殊的矩阵,例如上三角矩阵,其特征值即为主对角线上的元素,而任一非齐异矩阵与上三角矩阵的关系则有职下定理：定理82设（）的特征值（）都为实数,那么必存在直交相似变换Q化A为上三角矩阵,即由于（）,故也可以说A与R相似.特别当A为对称矩阵时,有（）这里的直交矩阵Q若能知道,即可求生物电A的特征值,但Q的求得并不那么容易,由此矩阵A的特征值也不可
6、能直接求得.一般可由矩阵A通过直交相似变换构造矩阵列（）,使其逐步逼近上三角矩阵R,从而求得矩阵A的满足精度要求的近似特征值及相应的特征向量.定理83任一（）总可分解为一个直交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积（）,若A非奇异,则这和分解是唯一的.证明 对矩阵A,依（）左乘一系列初等旋转矩阵（）其中（）当（）时.取（）；（）当（）时,则取（）.这里（）随A每次左乘（）而不断变化,而（）随之而变化,从而当（）时,（）当（）时有（）最后当（）时,有（）其中（）的符号随（）的符号而定,于是（）令（）,显然Q为直交矩阵,故有 （）现再证当A非奇异,则R,Q有逆矩阵存在,于是（）而（）为下交矩阵,（）为上三
7、角矩阵,则要其相等,（）必为对角阵,又根据（）的直交性,便知（）为单位矩阵,即（）所以（）并且显然有（）以上证明实际上为我们提供了对A进行QR分解的具体方法.此外,A的QR分解也可通过（）直交化过程来实现.既然任一非奇异矩阵A总有（）,则令（）,于是有（）那么（）有（）于是（）与（）有相同的特征值.再交（）进行QR分解,有（）则（）并令（）有（）于是（）与（）有相同的特征值.一般有（）（）令有（）（）于是（）与（）有相同的特征值.可以证明,若非齐异实矩阵A有（）个不同模的特征值,即（）则当（）时,（）本质上收敛于上三角矩阵R（所谓本质上收敛于上三角矩阵是指矩阵列（）,收敛于一个上三角矩阵,而这
8、个上三角矩阵除主对角元素外极限并不要求一定存在）,R的主对角线元素即为所求的特征值.特别当A为对称矩阵时,（）收敛于对角矩阵D.具体计算中,当（）与（）的主对角元素相差小于预先给定的业度时,则认为（）的主对角线元素即为A的特征值.对于QR分解,其有一个重要特点：当A为对称带宽不变,即若A为三角矩阵,则（）仍为三对角矩阵.习题七1 用乘幂法或规范化乘幂法求下列矩阵按模最大的特征值及其对应的特征向量 -4 14 0A = -5 13 0 -1 0 21） 2 -1 0B = -1 2 -1 0 -1 22） 7 3 -2C = 3 4 -1 -2 -1 33） 2 4 6D = 3 9 15 4 16 364）2 用QR方法求下列矩阵 1 1 0A = 1 1 1 0 1 11（） 3 2B = 4 52（） 12 -20 41C = 9 -15 -63 20 50
