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1、 解题 技巧 与 方法 龉 蠢 啊 遵 考 撅 诫 题 林琳( 广西恭城县恭城 中学5 4 2 5 0 0 ) 一 沙一世 界 ， 一花一天国 ， 一道优 质试题也 能折 射 出数 学的理性 光芒 例如 2 0 1 3 年 高考陕西 卷理科第 2 O题 ， 结构 美妙 、 结论和 谐 ， 让人 在悠 远 的意 境 中感 受到 深邃 的数学 之 美 题 目： 已知动 圆过定 点 A( 4 ， 0 ) ， 且 在 y轴 上截 得 的弦 M 的长 为 8 (I) 求 动圆圆心 的轨迹 C的方程 ； ( ) 已知点 丑 (一1 ， 0 ) ， 设不垂直于 轴 的直线 z 与轨 迹 C交于不同的两 点
2、P， Q， 若 轴是 P B Q的角平分线 ， 证 明直线 f 过定点 答案 ： (I) 轨迹 C的方 程为 ： y 2=8 x ； () 直 线 Z 过定 点 ( 1 ， 0) 一 、初步推广 结论 1 已知点 T ( t ， 0 ) ， 设不垂直于 轴的直线 f 与抛 物线 C ： y = 2 p x ( P 0) 交 于不 同 的两 点 P， Q， 若 轴是 P Q的角平分线 ， 则直线 z 过定点 ( 一t ， 0 ) 证明 ： 如图 1 ， 易 知 t 与 P异号 ， 不 妨设 P 0 由 P Q不 垂 直 于 两坐 标 轴 得 直线 T P与直线 即 都不是 抛物 线 c的切 线
3、， 即直 线 T P与 抛 物 线 有 另 一 交 点 Q ， 直 线 Q与抛 物线有另 一 交 点 P 由 于 轴 是 P 的角 平 分 线 ， 结 合 、。 _ 一 i t - - 图 1 抛物线 c的对称性得 ： P 与 P关于 轴对称 ， Q 与 Q关 于 轴对称 故 P Q， P Q 和 轴三线共点 D 设 P( l ， Y 1 ) ， Q ( 2 ， Y 2 ) 则 P ( 1 ， 一Y 1 ) ， Q( 2 ， 一y 2 ) ， 又设直线 P Q的方程为 =m y+ t ， 其 中 m 0 结合 ： 二 ，得 X 0： 2 my l y 2+t 1一 o X2一 1 Yl十y 2
4、 另 一 方面， f y y 一2 p ra y一2 p ： 0 ) Jl + L my十 t Y2=2 p m ， yl Y 2= 一2 pt 代人 得 ， =一 t 即直线 f 过定 点 D(一t ， 0 ) 类似地 ， 可 以证 明结论 2和结论 3 结论 2 已知点 T ( t ， 0 ) ， 设不垂直 于 轴 的直线 z 与椭 2 2 圆 G： + -L =1 ( m 0 ， n0 ) 交于不 同的两点 P， Q， 若 T I k r I 轴 是 P 的 角 平 分 线 ， 则 直 线f 过 定 点 f 孚， o 1 、 ， 结论 3已知点 ( T ， t ， 0 ) ， 设 不垂直
5、于 轴 的直 线 z 与 2 ，2 双曲线 C ： +L ：1 ( m n 0 ) 交于不 同的两点 P ， Q， 若 m 轴 是 P Q 的 角 平 分 线 ， 则 直 线f 过 定 点 f 孚，o 1 二、追根溯源 1 广 阔的背景 笛卡尔( 1 5 9 61 6 5 0 ) 认 为欧 氏几何 “ 使人 在想 象力 大 大疲 乏的情况下 ， 去练习理解力” ， 代数则是 “ 用来阻碍思想 的艺术 ， 不像一 门改进思想的科学” ， 于是他 “ 寻求另外一种 包括这两门科 学的优点 而没有它们 的缺点的方法 ” ， 并最 终 获得 了建立解析几何 的线 索 平 面解析 几何通 过平 面直 角
6、 坐标系 ， 建立点与实数对之间 的一一对 应关系 ， 以及 曲线 与 方程之间的一一对 应关系 ， 从 而实现 了几何方 法 与代数 方 法 的结合 ， 她 的研究对象之一就是 圆锥 曲线的性质 十五六世纪 ， 由于作 画、 作 图的需要 而产 生 了透视 法 ， 笛沙格 ( 1 5 9 1 1 6 6 1 ) 首先对 图形及其 影像的几何性 质进行 研究 ， 引入 了无穷 远点 和无穷 远直线 、 调 和点列 等 概念 ， 给 出了著名 的笛沙格定理 ， 逐步创立 了射影几何 射影 几何 的 内容之一是从极点和极线 的视角研究圆锥曲线的性质 今天 ， 几何 学已经有 了十余个 分支 ， 它
7、 们既相互 区别又 相互联 系， 不 断地 发展 和完 善 ， 交 织成 一 幅绚 丽 多姿 的 画 卷 这时 ， 我们无法 用简短 的文 字述说 几何 学 的灿烂 历史 ， 却能以一道高考试题为 窗， 探 视数 与形共舞 出的奇妙世界 2 圆锥 曲线的极点与极线 关于圆锥 曲线 的极 点与极线 ， 已经证得 下列 定理 ： 定理 1 已知 圆锥 曲线 C ： +C y + 2 D x+ 2 E y+ F= 0 ( A +C 0 ) ， 则点 P ( 0 ， y 0 ) 和直线 l ： A x 0 +C y 0 y+ D( + 。)+E ( y+ Y 。 )+ F= 0是圆锥 曲线 C的一对极
8、点与极线 定理 2如图 2 ， P为不 在 圆锥 曲线 C上 的点 ， 过 点 P 引两条割线依次交曲线 C于四点 E， F ， G ， H， 连接 E H， F G交 于 ( 当 E H与 F G平行 时 ， 为无穷远 点 ) ， 连接 E G， F H交 于 ， 则 MN为点 P对应的极线 则 P A 、 P B为曲线 C的切线 若 P为 圆锥 曲线上 的点 ， 过点 P的切线 即为极线 由定理 1 ， 在 图中， P N为 点 对 应 的极线 ， P M 为 点 对应 的极线 ， 故 MN P为 自极三点形 定理 3若过点 P可作 圆锥 曲线 C的两条切线 ， A， 日为 切点 ， 则直
9、线 A B为点 P对应的极 线 ； 定理 4( 配极原 则 ) 如果 P点的极线 通过 点 Q， 则 Q 点的极线也通过点 P 图2 、 1 图3 数 学 学 习与 研 究2 0 1 5 m 鼯 精 3 结论再探 如 图 3 ， 由定理 1 得 ， 点 T ( t ， 0 ) 对应的极线为 =一 ， 设 P Q与 P， Q 交 于点 D， 由定理 2得点 D在直 线 =一t 上 ， 易 知 四边形 P P Q Q为以 轴为对称轴的等腰梯形 ， 故 点 D在 轴上 所 以 D为直线 =一T与 盛轴的交点 ， 即直线 P 9经 过定点 D(一 t ， 0 ) 设直线 = 一 t 交抛 物线 于 ，
10、 曰， 由每个 点对应 的极 线 唯一和定理 3得 ， 直线 T A 、 T B为抛物线 的切线 三 、试 题 之 美 1 结构对称 正是依 题设所 作 图形 的“ 不完 整” ， 使 得我 们 产生 “ 补 美 ” 的心理趋 向， 进 而作 出图 1 ， 获得解题 突破 口 在图 3中， 抛 物线关于 轴对称 ， 直线 P Q与直线 P Q 、 直线 与直 线 T B分别关 于 轴对称 ， 且点 与点 D关于 Y轴对称 而根 据 定理 4得 ： 点 与点 D分别在对方的极线上 这 些对称关 系 通过极 点和极线 的性 质相互联系 ， 形 成整体 德 国数 学家魏 尔斯特拉斯指 出“ 美和对称
11、性紧密相连” ， 数学 中的对 称 ， 不 仅仅是视觉上 的和谐 ， 更是一种解题 方法 ， 常常使得 我们追 求整体 的秩序井 然 ， 进而预见数学结论 2 结论统一 结论 1 ， 结论 2 ， 结论 3可 以推广 为结论 4： 圆锥 曲线 C 关于其对称轴对称 的两条相 交割线 P Q与顺次 与圆锥 曲线 解题 技巧与方法 交 于点 P 、 P 、 Q 、 Q， 则 P Q 与 P Q、 P Q与 P Q 的交 点分别 在 对方 的极线上且 两点都 在对 称轴上 克莱 因认 为 ， 欧氏几何 是射影几何 的子几何 ， 在射影几何 的观点下 ， 平行 与相交得 到了统一 ， 点与直线 地位
12、平等 ， 圆、 椭 圆 、 抛物 线 、 双 曲线统 一 为非退化二 次 曲线 ， 仿 射变换 和射 影变换 可 以沟通 特殊 与一般 的关 系 ， 常 常能帮 助我们 将 中学几何 中特 殊 的命题 推广到更一般 的命题 数学的发展是 逐步统一 的过程 ， 统一 的目的也正如希尔伯特所说 ： “ 追求更 有力 的工具 和更简单 的方法 ” ， 科学家们试 图用 统一 的观点 来概 括自然 、 概 括宇 宙 ， 但 自然无 限 ， 宇宙无垠 ， 统一美成为一种永恒的追求 四 、 解 题 断 想 视野欲穷 千里 目， 更上一层楼用 高等数学 的思想来 审视 中学数学 内容 ， 有利 于教师 “
13、高屋建瓴” ， 把握知识 模块 之间 的深层联系 ； 从 高等数 学的观点探析 试题 的背景 ， 有利 于教师拓广视角 ， 增强 问题探究 能力 ； 以高等数 学的方法 来 指导教学实践 ， 有利 于帮助学生跳 出题海 ， 提升学习效益 意境数学美在 哪里?众里 寻他千百 度 ， 蓦然 回首 ， 那 人却在 ， 灯火 阑珊 处 通 过一 道高 考试题 ， 我们 看到 图形 结 构的对称 ， 曲线性质 的统一 ， 还有数学 方法的异 曲同工做 数学 ， 就是欣赏美 ， 就是 在实 证探 究 的基 础上 ， 在悠 远 的意 境 中感 悟深邃的数学之美 ( 上 接 1 2 9页 ) 四 、 能 作
14、为 初 中 平 面 几 何 知 识 的 竞 赛 题 变式 2在 AA B C中， LA B C= 6 0 。 ， A B=5， BC=3， 延 长 BC至 E， 使 B E=8 ， 连 A E ， 交 AA B C的 外接 圆于 P， 延 长 C P 、 B A相 交 于 F， 则 AF = 解法一 ： 作 为初 中竞赛题 ， 学生 可用 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理( 此 处 略 ) 解 法二 ： ( 同一法 ) 如右 图， 延长 B A 至 F 点 ， 使 A F =3 ， 则 B E F 为等边三角形 ， 连接 C F 交 A E 于 点 P ， 由 A B = - -B F ,
15、E C 专跹， 易得 ： 点 P ， 与 A B C三 点共 圆， 口 则点 P 与点 P重合 F n 又 L ECD =6 0。 CED =4 5。 ZA C D E中， 由正弦定理知 ： C面 D = C 面 E 即 = j A = 字 六、 能作为考查学生综合能力的训练或测试题 问题解 ： 若建立 D P C的余弦值关于 比值 A的函数 ， 无论是建立 函数 的过程 ， 还是求值域 的过程都 是复杂 的 另 解 ： 由 四点 共 圆得 ， D P E：1 2 0 。 ， 如 下 图 ， 由极 端 性原 理 可 知 ： c c B c 故点 F 与点 F重合 ， 即 A F= 3 五 、 能作为解三角形 的综合训练 问题解 ： 设 C A=C B= 口 ， 则 C E= A a ， C D：( 1 一A ) 口 ， 由平几知识 可知 ： C、 D、 P、 E 四点共 圆 ， 且 P C为外接 圆 直径 2 连接 E D， 则 E D C= C P E=1 8 0 。一A P E=1 8 0 。一 曰PD =】 3 5o一6 0。=7 5 o 当 A接近 0时 ， C P E接近 0 。 ， 则 LD P C接近1 2 0 。 ； 当 A接近 1时 ， C P E接近1 2 0 。 ， 则 D P C接近 0 。 故 D P C( 0 。 ， 1 2 0 。 ) 女 学学
