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1、昆明理工线性代数期末考试题型小题的题型一、 行列式的计算和性质例题1：假设= 例题2：假设= 例题3：假设,为中的代数余子式, 则 例题4：假设为阶矩阵且，则 . 例题5：，则 . 例题6：设为2阶方阵，为3阶方阵，且， 则 .例题7：且， 则 . 例题8：设,则 .二、 矩阵的乘法、逆、及其性质1） 二阶矩阵的逆记住公式例题1：设矩阵，且，则 .2） 高阶的特殊矩阵记住公式（主对角形式的） 例题1：设，则 . 例题2： 阶方阵可逆， 且，则可用表示为 . 例题3：设，则 例题4：方阵满足，则 . 例题5：假设, 则三、 向量组的相关性、秩例题1：假设则向量组 线性 （相关或无关）. 例题2：
2、若向量线性无关 ， 则 线性 关. 例题3：，则当 时，线性相关. 例题4：已知向量组，的秩为2，则 .四、 正交方阵的定义 例题1：. ，则当 时，与正交. 例题2：设正交矩阵满足，则 . 例题3：两向量正交的条件是 .五、 特征值的和与乘积分别表示什么 例题1：若阶矩阵的特征值为则 .例题2：已知三阶方阵的特征值为1,2,3,则 .六、 方程组有解、无解、唯一解的条件例题1：设为矩阵，则元线性方程组 有无穷多解的充分必 要条件是_. 例题2：方程组 的基础解系为_. 例题3：设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，且该方程的三个解向量满足，则该线性方程组的通解为_ . 例题4： 仅含一个
3、方程的齐次线性方程组满足不全为零，则其基础解系中一定含有 个线性无关的解向量 例题5：设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，且已知它的两个解为，则对应齐次方程的通解为 .例题6：设四元线性方程组中，且其三个解向量为，则该方程组的通解为 七、 相似矩阵的定义 例题1：阶矩阵与对角阵相似的充分必要条件是 .例题2：若三阶方阵与对角阵相似，则 .八、 二次型 例题1：假设二次型为正定的, 则的取值范围是_. 例题2： 若二次型的秩为2，则 .大题的题型一、 行列式的计算（1）求行列式= 的值。（2）求行列式的值.二、 矩阵的逆及其简单运算例题1：已知为二阶方阵，且。（1） 证明矩阵可逆； （2）
4、若，求。 例题2：设，求解矩阵方程 例题3：设，且满足，求矩阵.三、 解方程组（参数），对参数进行讨论，参数取何值时：（1）方程组有唯一解（2） 方程组无解（3）方程组有无穷个解，并求其通解。 例题1：设线性方程组为 （1）取何值时, 线性方程组无解.（2）取何值时, 线性方程组有解，并求通解.四、 非齐次方程组的通解，且与齐次方程组的通解的关系。例题1：假设4元方程组的三个解为且 ，. 求该方程组的通解. 例题2：求线性方程组的通解。 例题3：求线性方程组的通解.五、 向量组的线性相关性、秩、最大线性无关组、及其他们的线性组合例题1：设 （1）求向量组的秩； （2）求向量组的一个最大无关组,
5、 且写出其余向量由这 个最大无关组的线性表示式. 例题2：求的秩和一个极大线性 无关组。 例题3：求向量组的秩和一个极大无关组. 例题4：设（1）写出的列向量组；（2）判断的线性相关性；（3）求的秩和一个最大无关组.六、 二次型的标准形，（使用的方法是施密特正交化）。 例题1：设二次型 （1）写出的矩阵, 并求的特征值； （2）求正交变换, 将二次型化为标准形. 例题2：设矩阵，试求一正交矩阵，使为对角阵。 例题3：试求一正交变换，化二次型为标准型。 例题4：已知二次型（1）写出所对应的矩阵；（2）求的特征值和特征向量；（3）求一个正交变换将化为标准形.七、 正交矩阵的定义和性质。 例题： 假设是阶正交矩阵，为矩阵的伴随矩阵. 证明 和都是正交矩阵。10 / 10
