《2018届高三数学二轮复习第一篇专题突破专题四数列刺第1讲等差数列与等比数列文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学二轮复习第一篇专题突破专题四数列刺第1讲等差数列与等比数列文（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1讲 等差数列与等比数列,考情分析,总纲目录,考点一 等差、等比数列的基本运算(高频考点) 命题点,1.等差(比)数列中a1、n、d(q)、an、Sn的计算;,2.等差、等比数列的交汇运算.,1.等差数列的通项公式及前n项和公式 an=a1+(n-1)d;Sn= =na1+ d.,2.等比数列的通项公式及前n项和公式 an=a1qn-1(q0);Sn= = (q1).,典型例题 (2017课标全国,17,12分)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列 bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通项公式; (2)若T3=21,求S3. 解
2、析 设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. (1)由a3+b3=5得2d+q2=6. 联立和解得 (舍去),或 因此bn的通项公式为bn=2n-1.,(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0. 解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由得d=8,则S3=21. 当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.,跟踪集训 1.(2017课标全国理,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24, S6=48,则an的公差为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8,答案 C 等差数列an中,S6= =48,则a1+
3、a6=16=a2+a5, 又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4,故选C.,2.(2017课标全国理,9,5分)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3, a6成等比数列,则an前6项的和为 ( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8,答案 A 设等差数列an的公差为d,依题意得 =a2a6,即(1+2d)2=(1 +d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又a1=1,S6=61+ (-2)=-24.故 选A.,考点二 等差、等比数列的性质 1.等差数列的性质 (1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq; (2)Sm,S
4、2m-Sm,S3m-S2m,仍成等差数列; (3)am-an=(m-n)dd= (m,nN*); (4) = (A2n-1,B2n-1分别为an,bn的前2n-1项的和).,2.等比数列的性质 (1)若m,n,r,sN*,且m+n=r+s,则aman=aras; (2)an=amqn-m; (3)当an的公比q-1(或q=-1且m为奇数)时,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,是等 比数列.,典型例题 (1)(2017陕西西安八校联考)已知数列an是等比数列,数列bn是 等差数列,若a1a6a11=-3 ,b1+b6+b11=7,则tan 的值是 ( ) A.- B.-1 C.- D. (
5、2)设Sn是等差数列an的前n项和,S10=16,S100-S90=24,则S100= . (3)在数列an中,a1= ,a2= ,anan+2=1,则a2 016+a2 017= . 答案 (1)A (2)200 (3),解析 (1)依题意得, =(- )3,3b6=7,a6=- ,b6= ,又 = =- ,故tan =tan =tan =-tan =- ,选A. (2)依题意,知S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90依次成等差数列,设该等差数列的 公差为d. 又S10=16,S100-S90=24,因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得d= ,
6、因此S100 =10S10+ d=1016+ =200. (3)依题意知,a3=2,a4=3,a5= ,a6= ,数列an是周期为4的数列, a2 016+a2 017=a4+a1= .,跟踪集训 1.在正项等比数列an中,an+1an,a2a8=6,a4+a6=5,则 = ( ) A. B. C. D.,答案 D 由题意可知a2a8=a4a6=6,又a4+a6=5,an+1an,所以a4=3,a6=2,所 以 = = .,2.在等差数列an中,a3+a4+a5+a6+a7=50,前k项之和Sk是一个不含k的常 数,则 的值为 ( ) A.5 B.10 C.15 D.20,答案 B 解法一:由
7、等差数列的性质及a3+a4+a5+a6+a7=50,得a3+a7= 20. 而S9= = =90(常数), k=9,S9=90. = =10.故选B. 解法二:由Sk= 知 = . 只需 为常数即可, 由等差数列的性质及a3+a4+a5+a6+a7=50,得a3+a7=20. 即a1+a9=a3+a7=20,为常数, = = =10.故选B.,解法三:由a3+a4+a5+a6+a7=50,得 a1+4d=10. Sk=ka1+ d=k(10-4d)+ d = d+10k. 要使Sk为常数,则 =0,即k=0(舍去)或k=9. S9=9a1+36d=9(a1+4d)=910, =10,故选B.,
8、考点三 等差、等比数列的判断与证明 1.证明数列an是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义证明an+1-an(nN*)为一常数; (2)利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n2,nN*).,2.证明数列an是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义证明 (nN*)为一不为零的常数; (2)利用等比中项,即证明 =an-1an+1(n2,nN*).,典型例题 (2017课标全国,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3= -6. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列. 解析 (1)设an的公比为q,由题设可得 解
9、得q=-2,a1=-2. 故an的通项公式为an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn= =- +(-1)n . 由于Sn+2+Sn+1=- +(-1)n,=2 =2Sn, 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.,判断或证明一个数列是等差、等比数列时应注意的问题 (1)判断一个数列是等差(等比)数列,还有通项公式法及前n项和公式法, 但不作为证明方法. (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列,只需判断存在连续三项不成 等差(等比)数列即可. (3) =an-1an+1(n2,nN*)是an为等比数列的必要而不充分条件,也就 是判断一个数列是等比数列时,要注意各项不为0.,方法归纳,跟踪集训
10、 数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列; (2)求an的通项公式. 解析 (1)证明:由an+2=2an+1-an+2得, an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1. 所以bn是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1. 于是 所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.,又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.,考点四 数列中的数学文化 典型例题 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:三百
11、七十八里关, 初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请 公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第 二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问 第二天走了 ( ) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里,解析 由题意,知每天所走路程形成以a1为首项,公比为 的等比数列,则 =378,解得a1=192,则a2=96,即第二天走了96里.故选B.,答案 B,方法归纳 涉及等比数列的数学文化题频繁出现在考试试题中.解决这类问题的关 键是将古代实际问题转化为现代数学问题,掌握等比数列的概念、通项 公式和前n项和公式.,
12、跟踪集训 1.(2017湖南长沙模拟)九章算术是我国古代第一部数学专著,全书 收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自 上而下各节的容积成等比数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容 积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中第2节,第3节,第8 节竹子的容积之和为 ( ) A. 升 B. 升 C. 升 D. 升,答案 A 自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1,a2,a9,依题意 有 因为a2+a3=a1+a4,a7+a9=2a8,故a2+a3+a8= + = . 选A.,2.(2017河南郑州质量检测(一)张丘建算经卷上第22题为:“今有 女善织,日益功
13、疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为今有女 子善织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第一天织5尺 布,现在一个月(按30天计)共织390尺布.则该女最后一天织 尺布. ( ) A.18 B.20 C.21 D.25,答案 C 依题意得,该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等 差数列,设为an(n=1,2,30),其中a1=5,S30=390,于是有 =390, 解得a30=21,即该女最后一天织21尺布,选C.,1.(2017河北石家庄质量检测(一)已知等差数列an的公差为5,前n项和 为Sn,且a1,a2,a5成等比数列,则S6= ( ) A.80 B.85 C.9
14、0 D.95,随堂检测,答案 C 由题意,得(a1+5)2=a1(a1+45),解得a1= ,所以S6=6 + 5=90,故选C.,2.(2017四川成都质量检测(二)在等比数列an中,已知a3=6,a3+a5+a7= 78,则a5= ( ) A.12 B.18 C.24 D.36,答案 B a3+a5+a7=a3(1+q2+q4)=6(1+q2+q4)=781+q2+q4=13q2=3,所 以a5=a3q2=63=18.故选B.,3.(2016课标全国,17,12分)已知各项都为正数的数列an满足a1=1, - (2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求an的通项公式.,解析 (1)由题意得a2= ,a3= . (2)由 -(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1). 因为an的各项都为正数,所以 = . 故an是首项为1,公比为 的等比数列,因此an= .,
