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1、第1页:第一章一元二次方程 已知一块矩形草地的长比宽多12米,面积为540平方米,你能求出这块草地的长和宽吗?学完本章知识后,我们就可以解决上述问题了。第2页1.1建立一元二次方程模型动脑筋 问题一 如图1-1所示,某住宅区内有一栋建筑,占地为一边长为35米的正方形。现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900平方米的正方形草坪,使四周留出的人行道的宽度相等,问人行道的宽度为多少米?图1-2图1-1图1-3,4页A组3题图分析 我们可以建立方程的模型来计算人行道的宽度,如图1-2所示,设人行道的宽度为x米,则草坪的边长为_35-2x米.根据题意,可以列出方程 方程通过移项, 可以写成=0 .问
2、题二 小明和小亮分别从家里出发骑车去学校,在离学校还有1千米处第一次相遇,此时他们的骑车速度分别为3米每秒和2米每秒.小明继续以3米每秒的速度匀速前进;而小亮则逐渐加快速度,以0.01米每二次方秒的加速度匀加速前进.已知匀加速运动求路程s的公式是,其中t是时间,是初速度的大小,是加速度的大小.你能算出经过多长时间他们再次相遇吗?第3页 分析 设经过t秒小明与小亮相遇,则在这段时间,小明骑车行驶的路程为3t米. 小亮骑车行驶的路程为2t+0.50.01t2_米.问题中的等量关系是小明行驶的路程 _ = _小亮行驶的路程_ .由此可列出方程. 方程可以写成 说一说 观察方程和,它们有什么共同点?(
3、1)它们分别含有几个未知数?(2)它们分别是x和t的几次多项式? 从方程式和中受到启发,如果一个方程通过整理可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫做一元二次方程,它的一般形式是,(,是已知数,)其中,分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.例将方程3(一1)=5(+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项.解 去括号,得3一3=5+10。移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式3一8一10=0。其中二次项系数为3、一次项系数为一8、常数项为一10.4页练习1、说出方程的二次项系数、一次项系数、常数项.解:二次项系数为0.01、
4、一次项系数为-2、常数项为0. 2、把方程=0写成一般形式,然后说明其中的二次项系数、一次项系数、常数项.解:一般形式为4一140+325=0。二次项系数为4、一次项系数为-140、常数项为325.3、如果左边一列中的方程是右边一列中所说的类型,那么用线把它们连结起来:一元一次方程 一元二次方程 分式方程习题1.1A组1、把下列方程写成一般形式,并且分别指出它们的二次项式系数、一次项系数和常数项:(1)+5=6; (2)3一4=;(3)(10一2)(6一2)=32。解:(1)一般形式为+5-6=0。二次项系数为1、一次项系数为5、常数项为-6.(2)一般形式为-3+4=0。二次项系数为1、一次
5、项系数为-3、常数项为4.(3)一般形式为-8+7=0。二次项系数为1、一次项系数为-8、常数项为7.2、如果一个数与比它大2的数的积等于35,列出这个数所满足的方程。解:设这个数为,由题意得(+2)=35,即+2-35=0。3、如图1-3,一幅图案的轮廓是长方形,其长为20厘米,宽为18厘米。现在把它镶进一个长方形框内,使四周留出的宽度相等。如果知道长方形框的面积为528平方厘米,你能列出计算四周留的宽度的方程吗?解:设四周留的宽度为cm,由题意得(20+2)(18+2)=528。第5页B组1、下列方程中,哪些是一元二次方程?(1) (2) (3)解:(1)3(1+2+)一3一7=0,3+3
6、一4=0,是一元二次方程,(2)3(1+2+)一3一7=0,一+3=0,不是一元二次方程,(3),不是一元二次方程。2、从一座楼房的某个窗户下边框上掉下一个小球,该窗户下边框离地面30米。小球经过多少秒着地(精确到0.1秒)?(提示:小球降落的高度h与降落的时间t的关系式为)解:30=0.59.8,=300/49,=10/717.32/72.472.5。答:小球经过2.5秒着地。3、直角三角形中,斜边长为13cm,两条直角边的长相差7cm,求一条直角边所满足的方程。解:设较短的直角边长为cm,由题意得,+=169。4、如图1-4,长5米的梯子斜靠在墙上,梯子的底端与墙的距离是3米。如果梯子底端
7、向右滑动的距离与顶端向下滑动的距离相等,求梯子滑动的距离所满足的方程。图1-4解,2-2=0,-=0。1.2解一元二次方程的算法1.2.1因式分解法,直接开平方法探究 如何解1.1节问题一中的方程:=0。 我们已学会解一元一次方程,自然会想:能不能把一元二次方程降低次数,转化为若干个一元一次方程呢?首先,观察方程的左边,可不可以通过因式分解把它表示成两个一次多项式的乘积?6页:可以用平方差公式,把方程的左边因式分解。先把方程写成。再把方程的左边因式分解,得(35-2+30)(35-2-30)=0,即(65-2)(5-2)=0。其次,我们知道:“如果pq=0,那么p=0,或q=0。”因此,从方程
8、得65-2=0或5-2=0。最后分别解中的两个一元一次方程,得=32.5或=2.5。即方程有两个解,通常把它们记成=32.5,=2.5。对于问题一,容易看出=32.5不符合题意(为什么?)应当舍去;=2.5符合题意,即人行道的宽度为2.5m。上述解一元二次方程的方法叫做因式分解法。动脑筋 方程还有其他解法吗?把方程写成,这表明35一2是900的平方根,因此35一2=或35一2=一,即35一2=30或35一2=一30,解得=2.5或=32.5。7页:这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。例1、解方程:4一25=0。解(解法一)原方程可以写成。再把方程的左边因式分解,得(2+5)(2-5)=0
9、,由此得出2+5=0或2一5=0。解得=一2.5,=2.5。(解法二)原方程可以写成=。直接开平方得=或=一。即= 2.5,=一2.5。例2、解方程:一2=0。解(解法一)如果我们想用因式分解法解这个方程,那么原方程可以写成一=0。把方程左边因式分解得。由此得出或 。解得=,= 。(解法二)如果我们想用直接开平方法解这个方程,那么原方程可以写成 =。8页:直接开平方得 x+1=或x+1 = 。解得=,= 。在解方程时,只要写出一种解法就行。请同学们自己小结这两种解法,并应用你的小结去解下面的练习题。练习:解下列方程:(1)9一49=0。(2)36一=0。(3)一16=0。(4)一3=0。解(1
10、)(解法一)原方程可以写成。再把方程的左边因式分解,得(3+7)(3-7)=0,由此得出3+7=0或3一7=0。解得=一7/3,=7/3。(解法二)原方程可以写成=。直接开平方得=或=一。即= 7/3,=一7/3。解(2)(解法一)原方程可以写成。再把方程的左边因式分解,得(+6)(-6)=0,由此得出+6=0或一6=0。解得=一6,=6。(解法二)原方程可以写成=36。直接开平方得=6或=一6。即= 6,=一6。解(3)(解法一)原方程可以写成。再把方程的左边因式分解,得(+3+4)(+3-4)=0,由此得出+7=0或一1=0。解得=一7,=1。(解法二)原方程可以写成=16。直接开平方得+
11、3=4或+3=一4。解得= 1,=一7。解(4)(解法一)原方程可以写成。再把方程的左边因式分解,得,由此得出或=0。解得=,=。(解法二)原方程可以写成=3。直接开平方得1-2=或1-2=一。解得= ,=。动脑筋 如何解1.1节问题二中的方程:。可以用提公因式法把方程的左边因式分解,得=0。由此得出=0或0.01一2=0。解得=0,=200。=0表明小明与小亮第一次相遇;=200表明经过200秒小明与小亮第二次相遇。例3解下列方程:(1)5+15=0;(2)=4。9页:解(1)把方程左边因式分解得5(+3)=0,由此得出5=0或+3=0。解得=0,=一3。(2)原方程可以写成一4=0,把方程
12、左边因式分解得(一4)=0,由此得出=0或一4=0。解得=0,=4。说一说 小刚在解例3第(2)题的方程时,把方程两边同除以,得=4。这样做对吗?为什么?答:这样做不对,因为把方程两边同除以时,可能是0,这样就会失去一个根,从而导致结果漏根。例4、解下列方程:(1)(一5)=3;(2)2(5-1)=3(5-1)。解(1)原方程可以写成(一5)一3=0。把方程左边因式分解得(一5一3)=0。由此得出=0或一5一3=0。解得=0,=8。(2)原方程可以写成2(5-1)一3(5-1)=0。把方程左边因式分解得(5-1)(2一3)=0。由此得出5一1=0或2一3=0。解得=0.2,=1.5。10页:从
13、例1至例4看到,解一元二次方程的基本方法之一是因式分解法,即通过移项使方程右边为0,然后把左边分解成两个一次因式的乘积,从而转化成一元一次方程,进行求解。练习1、解下列方程:(1)一7=0;(2)3=5。解(1)把方程左边因式分解得(一7)=0。由此得出=0或一7=0。解得=0,=7。(2)原方程可以写成3一5=0。把方程左边因式分解得(3一5)=0。由此得出=0或3一5=0。解得=0,=5/3。2、解下列方程:(1)2(一1)=1一;(2)5(+2)=4+8。解:(1)原方程可以写成2(一1)+一1=0,把方程左边因式分解得(-1)(2+1)=0。由此得出-1=0或2+1=0。解得=1,=-
14、1/2。解:(1)原方程可以写成5(+2)-4(+2)=0,把方程左边因式分解得(+2)(5-4)=0。由此得出+2=0或5-4=0。解得=-2,=4/5。1.2.2配方法 做一做 把完全平方公式从右到左地使用,填上适当的数,使下列等式成立:(1)+6+=;(2)一6+=;(1)+6+4=+6+一+4=一 5 。探究 如何解下述一元二次方程:+6+4=0。11页:从例2受到启发,如果能把方程写成一 5 =0的形式,其中减去的数是正数,那么我们就可以用因式分解法或直接开平方法求解。从上面的第(3)题知道,这需要在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,即加上;为了保持相等,应当再减去。为此把方程写
15、成+6+一+4=0,即把方程左边因式分解得,由此得出+3+=0或+3一=0。解得=一3一,=一3+。从上述看出,解方程的第一步是把它变形成方程,而这一步的关键是:在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种做法叫做配方。配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了。这样解一元二次方程的方法叫做配方法。例5 把下列二次多项式配方:(1)+2一5;(2)一4+1。解(1)+2一5=+2+一一5= 。(2)一4+1=一4+一+1= 。例6、解下列方程:(1)+10+9=0;(2)一12一13=0。解(1)把原方程的左边配方,得+10+一一16=0,即 =0。把方程左边因式分解得12页:(+5+4)(+5-4)=0,由此得出+9=0或+1=0。解得=一9,=一1。(2)把原方程的左边配方,得一12+一一13=0,即 =0。把方程左边因式分解得(一6+7)(一6一7)=0,由此得出+1=0或一13=0