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1、复 习 参 考 谈高考对数学能力的考查(续文) 晨 旭 (接上期) 3.直觉思维.前面已说过,直觉思维是思维简缩 的极限形式.直觉思维是一种非逻辑的思维方式,人 们在思维过程中不受逻辑规则的约束而直接领悟事 物的本质,洞察问题的实质,是一种瞬时的判断,是 逻辑程序的高度简缩,在产生领悟之时,逻辑思维的 一系列的细节过程被省略了,越过了许多中间环节, 一下子到达问题的答案,这就是直觉思维.但直觉的 发生不可能离开逻辑手段. 数学思维主要是逻辑思维.逻辑思维操作的对 象是概念,并严格遵循形式逻辑推理的规则.直觉思 维区别于逻辑思维的重要特征就是在没有经过严格 的逻辑推理之前,迅速地对事物作出判断,
2、得出结 论.而这种结论还须严格的逻辑证明.事实上,直觉 思维得出的结论并不是主观臆断,而是以扎实的知 识为基础,以对事物敏锐的观察、 深刻的理解为前提 的. 在直觉思维过程中,人们以已有的知识为依据, 对研究的问题提出合理的猜测和假设,含有一个飞 跃的过程,往往表现为突然的认识和领悟.直觉思维 的特征主要表现在思维对象的整体性,思维产生的 突发性,思维过程的非逻辑性,思维结果的创造性和 超前性以及思维模式的灵活性和敏捷性等. 逻辑思维与直觉思维是两种基本的思维形式. 逻辑思维在数学中始终占据主导的地位,而直觉思 维又是思维中最活跃、 最积极、 最具有创造性的成 份.逻辑思维与直觉思维形成了辨证
3、的互补关系,它 们的相互联系及促进,构成了完整的数学思维过程. 直觉思维为演绎思维提供动力并指示着方向,逻辑 思维则对直觉思维作出检验与反馈,是直觉思维的 深入和精确化. 既然直觉思维与逻辑思维一起组成数学思维, 那么在高考命题中,很自然地要考虑如何对直觉思 维进行考查.考生在考试过程中直觉思维活动的结 果是可以在卷面上反映出来的,但思维过程则很难 反映出来.因此,选择题、 填空题的题型对考查考生 的直觉思维有特别的作用.在设计试题时,往往从多 种方法、 多个角度来考虑,使试题尽量具有多种思维 方法,给考生提供较多的思维空间.由于考生在解答 时的思维方式不同,因而解题时所花时间也必然不 同.于
4、是便可以用解答时间的长短来衡量考生的思 维水平.解答正确而且所用时间较少的考生,其思维 水平较高,在他们的思维过程中,必定含有直觉思维 的因素. 例11 (1997年理) 函数y= sin( 3 - 2x ) + cos2x的最小正周期是 ( ) (A) 2. (B). (C )2 . (D )4 . 本题若使用直接法,需先作如下的变形: y= sin( 3 -2x) + cos2x= sin( 3 -2x ) + sin( 2 - 2x) = 2sin( 5 12 -2x)cos (- 12 ) = - 2cos 12sin (2 x- 5 12 ). 由于- cos 12是非零常数, 所以
5、y的周期可由 T= 2 2 =求得.这种方法须进行较长的运算,用时 较多.实际上,完全可以由题目中的2x进行猜想而 直接得T=的结论.这种猜想的根据是:函数y通 过恒等变形最终可化为y=af (2 x+)的形式,其中 a为非零常数,为已知角,f为正弦函数或余弦函 数.因而函数y的周期只与2x的系数2有关,而与 a,f均无关.直觉思维便由此而产生.含有直觉思 维的解法所用时间明显少于直接法.这就体现了一 种对考生能力的要求. 例12 (1997年) 不等式组 x 0 3-x 3+x 2-x 2+x 的解集是( ) (A ) x0 2-x 2+x x 0, 3-x 3+x - 2-x 2+x ,
6、3-x 3+x 2-x 2+x , 解这两个分式不等式,其运算量不小.再往下作 相当于一道解答题的运算量了.选择题中有如此大 的运算量,肯定不是命题的初衷.本题是有意设计的 一道采用非直接方法来解决的选择题,其中直觉思 维起主要作用.在所给的四个选择之中,不等式左端 的值相同,都是零,只有右端的值不同.这是产生直 觉思维的一个信息.在所给的四个值中会是哪一个 呢?它必定是方程3- x 3+x = 2-x 2+x 的根.这是深入思 考的又一个信息.由此推测肯定不会是2,也不会是 3,这就排除了(A)与(D ). 至此得到直觉思维的结 果:正确答案在(B), (C)中选取.于是只须把x= 2. 5
7、 或x=6代入方程3- x 3+x = 2-x 2+x 进行验根即 可.先代入哪一个呢?这就全凭直觉.只要代入之后 验根的计算量小即可,肯定一个即可否定另一个,反 之亦然.可以看出,两种不同的方法在解题路径上有 巨大差异,本题是考查直觉思维的较好的试题. 解选择题时,鼓励考生使用 “猜” 的方法对不对 呢?“猜” 算不算数学?这 些问题在一些教师中存在 着不同的看法,有人总认为数学就是严格的推理、 严 密的证明,“猜” 怎么行?“猜” 怎么进入课堂、 又怎么 能算是数学呢?其实,“猜” 是直觉思维的特性,是发 明创造的基础,是人的素质的标志.我们不鼓励胡 猜、 乱猜、 瞎猜,而提倡合理的猜想.
8、考查直觉思维, 也是高考考查能力的任务之一. 例13 (1994年文) 如果函数y= sin2x+ acos2x的图象关于直线x= - 8 对称,那么a= ( ) (A)2 . (B )- 2 . (C )1. (D )- 1. 直觉思维与逻辑思维是密不可分的.由直觉思 维得出的判断还必须由逻辑思维进行验证,在解选 择题时,尤其如此.解本题时,完全可以凭借直觉思 维得出判断:认为(D)正确.而(D)是否真的正确,还 应该进一步验证.把a= - 1代入解析式,得 y= sin2x- cos2x=2 sin (2 x- 4 ). 再把x= - 8 代入,得y= -2 ,于是x= - 8 确 实是y
9、的一条对称轴,选择(D)是正确的.这说明单 一考虑直觉思维是不可能的,必定要与逻辑思维相 结合进行考查. 图3 例14 (1990年) 如 图3,在三棱锥S2A B C中, SA底面A B C,A BB C, D E垂直平分SC,且分别交 A C,SC于D,E.又SA= A B,SB=B C,求以BD为 棱,以BD E与BDC为面的 二面角的度数. 本题的关键是确定二面角的平面角.要求考生 能认真观察、 分析题目中所给的条件,依靠直觉思维 得出EDC是所求二面角的平面角,然后加以证 明.这样就会解题目标明确,化难为易,迅速解决问 题. 这里的直觉思维也并非凭空想象的,而是由题 目的已知条件,从
10、整体上把握而产生的猜想,是观察 题目所给的图形,由直观而产生的直觉.这种直觉思 维的产生往往在不言中.有时也可能思维受阻,在不 知所措的情况下突然来了灵感,一下子就意识到 EDC就是所求二面角的平面角.正是由于直觉思 维的先导作用,才为证明和计算铺平了道路.直觉思 维在解本题中起了重要的作用. 4.数学语言.语言是思维的载体,思维需要用语 言或文字来表达.数学语言是数学特有的形式化符 号体系,依靠这种语言进行思维能够使思维在可见 的形式下再现出来.数学语言包括文字语言、 符号语 言和图形语言.在试题中主要是文字语言,辅之以图 形语言.文字语言包括日常生活中的语言,还有数学 学科内的特殊语言.高
11、考中考核的重点是文字语言, 并要求考生能够根据实际情况进行各种语言间的转 换.对语言的考查包括两方面的要求:一是要求考生 有一定的语言表达能力,能清楚、 准确、 流畅地表达 自己的解题过程.要求表达合乎条理,层次清楚,合 乎逻辑,准确规范地使用名词、 术语和数学符号,书 写清楚;另一方面,要求考生能读懂题目的叙述,把 所给的文字和数学符号翻译成数学关系输入大脑, 以便于大脑加工,能把用日常生活语言表述的数量 关系、 图形特征准确地转换成用数学语言表述的相 应关系式.对数学语言的驾驭能力在大学学习阶段 十分重要,因而对数学语言的运用必然构成高考的 一个重要组成部分. 例15 (1992年) 设含
12、有10个元素的集合的 全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为 23数 学 通 讯 1998年第9期 T,则 T S 的值为. 高考对文字语言的考查突出表现在对数学概念 理解的考查.本题中的 “元素”,“子集”,“子集数”, “全部子集数” 等文字语言是考查的重点.“由3个元 素组成” 是指 “有且仅有3个元素”.此类子集个数一 共有C310个,即T=C310= 120.而 “含有10个元素的集 合的全部子集数” 包含了由10个元素, 9个元素, 8 个元素, 1个元素组成的子集以及空集的个数, 其个数总和为: S=C1010+C910+C810+C210+C110+C010= 210=
13、1024, T S = 120 1024= 15 128. 这里对 “全部子集” 很容易产生误解,容易把 “空 集是任何集合的子集” 的情况漏掉.正确理解 “全部 子集” 这一数学语言就成了解本题的关键.在命题 时,由于重点考查对数学语言的理解,因此试题的语 言表达必须刻意追求其精炼和准确.“含有10个元 素的集合的全部子集数” 中的 “全部” 二字不可少.否 则子集中所含元素的个数就不明确,子集的个数自 然也不明确.“由3个元素组成的子集数” 中就没有 “全部” 二字,因为其中已经明确指出了子集中元素 的个数.若再加上 “全部” 二字反而容易造成误解.由 此可体现出对用数学语言精确地描写数学
14、对象的语 言要求. 例16 (1992年) 如果函数f(x )= x 2+ bx+c 对任意实数t都有f (2+ t )= f (2- t ), 那么( ) (A)f (2) f (1) f (4). (B)f (1) f (2) f (4). (C)f (2) f (4) f (1). (D)f (4) f (2) f (1). 图4 用符号表达的数学语言 更能体现出数学语言的简 捷、 明确和形式化的特点,能 更好地满足数学思维的需 要.高中数学教材中,从代数 第一章中的集合符号,到平 面解析几何最后一章的极坐 标符号,介绍和使用了大量的数学符号.因此高考刻 意考查考生对这些符号的深刻理解也
15、是其重要任务 之一,是对思维能力考查的一个方面.本题中主要考 查考生对函数符号f(x)的深刻理解,突出体现在对 等式 “f (2+ t ) = f (2- t)” 的深刻认识.首先要求考 生把这一符号语言转化为用文字语言表达的形式: “对任意实数t, 2+t与2-t的函数值都相等”,再进 一步转化为图形语言.图4虽然是草图,但它有助于 我们的直观思维.从而可以产生判断,很容易得出直 线x= 2是函数y=f(x)的图象的对称轴的结论,从 中可以看出符号语言、 文字语言、 图形语言三者之间 是可以互相转换的.在理解中转换,在转换中深化, 最后产生判断.高考对数学语言的考查正是在这转 换与深化中考查
16、判断与思维. 例17 (1994年) 对于直线m,n和平面 , 的一个充分条件是( ) (A)mn,m,n. (B)mn, =m,n . (C)mn,n,m . (D)mn,m,n. 立体几何中有相当一部分内容是采用符号语言 表述的.除了平面几何中使用过的 “”,“” 等符号 外,集合符号如 “”,“|”,“ ”,“”,“” 等也引 进了立体几何.这样,在立体几何中如何突出考查符 号语言就成了高考的任务之一.为了正确指导高中 教学,在近几年的高考试卷中几乎每年都有一道以 符号语言为主进行表述的选择题或填空题,用来考 查阅读理解、 空间想象及逻辑思维等能力.如本题就 是要求考生在正确理解符号语言的基础上,建立空 间概念,画出草图,然后进行判断和推理.此类试题 是以考查符号语言为入口,以考查逻辑思维能力与 空间想象能力为最终目的. 图5 例18 (1993年) 如图5,A B CD是正方形,E 是A B的中点,如将
