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1、线性代数第四章测试 参考答案学院 计算机科学与信息技术学院 专业 课程 向量组的线性相关性 年级 班姓名 学号 成绩 与其它学科相比，数学成绩的方差历来较大，学数学要靠积累、消化、循序渐进，愿有志者抓紧抓细抓早.一、 填空题(1) 向量组线性关。(2) 4维向量组，的秩是，且一个极大无关组为。 (3) 设的两组基为，；，则由基到基的过渡矩阵为，在基下的坐标为。 。 （1）相；（2）4；（3）；（4，-2，0）；（4）2；二、 选择题1下列向量组的一个极大线性无关组可取为 （ ） A BC D答案：B2. 向量组的秩是（）A1 B2 C3 D4 答案：C3. 向量组线性相关的充要条件是（）A存在
2、一组均不为零的数使 成立 B有且只有一个向量可由其余向量线性表出 C至少有一个向量可由其余向量线性表出 D每个向量都可由其余向量线性表出答案：C4. 已知2维向量组 ，则 至多是（ ）A1 B2 C3 D4 答案：B5. 线性方程组的基础解系为（ ）A B C D 答案：C三、计算题1 当a为值何时，方程组 有解？在有解时，求出它的通解（用导出组的基础解系表出）.2、. 设, ，试讨论当a, b为何值时（I）不能由线性表示；（II）可由惟一地线性表示，并求出表示式；（III）可由线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式.解 设有效 使得 （）记A = ().对矩阵（A、）施以初等行变换，有（I）
3、当a = 0, b为生意常数时，有可知，故方程组（）无解，不能由线性表示.（II）当，且时，=3，故方程组（）有惟一解，则可由惟一地线性表示，其表示式为（III）当时，对施以初等行变换，有可知= 2，故方程组（）有无穷多解，其全部解为，其中c为任意常数.可由线性表示，但表示不惟一，其表示式为.3. 设1=1+2, 2=2+3, 3=3+4, 4=4+1, 证明向量组1,2,3,4线性相关.证: 只须证明齐次方程x11+x22+x33+x44=O(1)有非零解, 即证明了向量组1,2,3,4线性相关. 将1=1+2, 2=2+3, 3=3+4, 4=4+1代入(1)式, 得x1(1+2)+x2(
4、2+3)+x3(3+4)+x4(4+1)=O整理后得(x1+x4)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3+(x3+x4)4=O因此, 只须找到不全为零的x1,x2,x3,x4使得上式中的1,2,3,4,的系数等于0, 则命题得证.也就是要使(2)解此齐次方程组, 对系数矩阵进行行初等变换得:方程有一个自由变量x4, 因此方程组(2)有非零解, 此解也就满足方程组(1), 因此1,2,3,4线性相关.4. 验证1=(1,-1,0), 2=(2,1,3),3=(3,1,2)是R3的一个基， 并把=(5,0,7)用这个基线性表示。解: 如果将1,2,3看作列向量拼成的矩阵有逆存在, 则它们必是R3的
5、一个基, 因此试求此矩阵的逆如下:因此A有逆存在为因此1,2,3线性无关确实是R3的一个基. 则任给一列向量D=(d1,d2,d3), 将其作为列向量, 则解方程组AX=D, 可得X=A-1D, 具体用代入D, 可得即解得在这基1,2,3下的坐标为2,3,-1, 即=21+32-3, 不难验证确实有(5,0,7)=2(1,-1,0)+3(2,1,3)-(3,1,2)5. 求解下列非齐次线性方程组的通解解： 对其增广矩阵作行初等变换:方程有两个首项变元x1和x4, 两个自由变元x2和x3, 令x2=s, x3=t, 其中s,t为任意常数, 则, 将解写成向量形式, 有6. 设三维向量空间里的两个基底分别为1,2,3与1,2,3, 且1) 若向量=21-2+33, 求对于基底1,2,3的坐标;2) 若向量=21-2+33, 求对于基底1,2,3的坐标.解: 将两个基底拼成按列分块的矩阵, 即令A=(1,2,3), B=(1,2,3), 则A与B均为三阶方阵. 则按题意知A与B的关系为其中则1)即对于基底1,2,3的坐标为3,4,42)由B=AC知A=BC-1, 先求C-1如下:求出则有因此对基底1,2,3的坐标为11/2, -5, 13/2.三、 证明题 已知矩阵 ，且，试证是可逆矩阵，并求. 证 因为，且，即，得，所以是可逆矩阵，且.8 / 8
