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1、1极形轨迹发生器张华容 柏子游(西安理工大学,西安 710048)摘 要 本文介绍由笔者提出的一种新型轨迹发生器的原理及用途。利用二维函数 Fourier 逆变换的数学原理，建立一个固定传动比的，单自由度驱动的机械模型。适当地选择其结构参数，可使它产生任意的平面运动轨迹。此方法在几何学、运动学和机构学等方面具有理论意义，并可用于发明设计新型机器。关键词 轨迹发生器 Fourier 变换 二维函数 极形轨迹Polar Locus GeneratorZhang Huarong Bai ZiyouXian University of Technology Xian 710048AbstractIn
2、this paper, the authors put forward a new theory and application of the locus generator. Utilizing the principle of two dimensional function Fourier inverse transform, a mechanical model is established with fixed transmission ratio and single freedom drive. Properly to select the structure parameter
3、, the locus generator can generate arbitrary plane movement locus . This method have the theory significance in geometry, kinematics and mechanism, and also can be used to invent a new machine.Keywords locus generator Fourier transform two dimensional function polar locus1 前言由于计算机工程应用的普及，将二维函数的 Four
4、ier 变换应用于机械工程领域，建立了一些崭新的概念，亦取得了积极的成果。笔者曾运用平面运动谱分析方法，在回转精度理论研究中建立了回转误差运动学 12；又用它在机构学领域创立了连杆运动谱结构理论及机构综合的频谱拟合方法 3。本文则将二维函数 Fourier 变换的逆变换原理，用来产生任意的平面运动轨迹，并用此方法制作出极形轨迹发生器。以下，叙述这种轨迹发生器的数学原理、用途及设计方法。2 二维函数的 Fourier 变换2.1 平面运动的谱分析方法点的平面运动是一个以时间为主变量的二维函数，可用下列复矢量方程来描述：(1)f()xy()ttjt周期性平面运动 f(t)可按 Fourier 级数
5、展开，即可以分解成若干个圆周运动 1：(2)Fennjt(,)n0123(3)fTjntt10()d(4)njren公式(2)右端即 Fourier 级数,其中每一分项 几何意义是一个角速度为 n 的匀速njte圆周运动。Fourier 系数 Fn 为一复数，它代表每个圆周运动的起始点，其中包含半径 rn，起始相角 等参数。阶次 n 是频率次数，代表各圆周运动转速的比率。复序列 Fn又称作n平面运动 f(t)的频谱。已知 f(t)求 Fn 可通过 Fourier 正变换公式(3)计算，而实际应用中一般用快速 Fourier 变换程序(FFT)来计算。22.2 二维函数的 Fourier 逆变换
6、的机械模型已知复序列F n 求它所对应的 f(t)，可用 Fourier 逆变换公式 (2)计算。公式(2)的几何意义说明：利用若干个圆周运动，在时域进行复矢量的迭加，就能得到一个复杂的平面运动。根据这个原理，可以设计一个多杆机械模型。其中每一根杆以首端为圆心作平面旋转。各杆的长度即圆周运动的半径 rn，各自的角速度为 n 。n 称作杆的次数，当 n 为正数时逆时针方向旋转，而 n 为负数时顺时针方向旋转。最后将各杆用铰链依次首尾相接，仅第一杆的首端的铰链固定于机架。当各杆以固定不变的传动比，分别以不同的转速旋转起来时，最后一根杆的尾端便描绘出一个复杂的平面运动轨迹 f(t) 如图 1(a)。
7、在该机械模型开始运转之前，各杆与固定平面直角坐标系横坐标轴的夹角即各圆周运动的起始相角 。即使不n改变原有的杆数、杆长和传动比，仅改变某一杆的起始相角，所得的轨迹也会改变，如图1(b)、(c)。与多自由度数控(NC)机械相比，其明显的差别在于：此机械模型属于简单驱动的单自由度系统。以上叙述的机械模型运转起来时，其运动姿态犹如中国的传统武术太极拳的要旨圆转匀速而连绵不息。因此笔者又将它命名为太极轨迹发生器。将一个发生器所用杆的数量称为该发生器的阶。将这样产生的轨迹称作极形。3 二阶极形3.1 摆线的通式当公式(2)的右端仅有两项，便构成一个二阶的轨迹发生器。它所产生的轨迹称作二阶极形。其实，二阶
8、极形包含了整个摆线家族，因此二阶的 Fourier 逆变换式就是一个摆线的通式，即：(5)f()terejtjnt在公式(5)中，假设 1 次杆的长度为 1，n 次杆的长度为 r 。通常几何学中所描述的摆线是一个旋轮沿着另一个母线圆滚转而产生的。假设旋轮的半径为 R0 ,母线圆的半径为 R ,旋轮沿母线圆滚转一周所形成摆线的峰数为 K 。则它们与摆线通式 (5)的参数之间有下列关系：(6)Rn(7)01当 n0 时形成外摆线(K=n-1)；当 n0 时形成内摆线(K=1-n)。当 r 时形成标准摆线；当 r 时形成长幅摆线；当 r 时形成短幅摆线。11n摆线的通式(5)还说明普通的圆、椭圆、心
9、脏线及多叶玫瑰线等几何图形都属于摆线家族。当 n 1 时形成的就是普通的圆。(a) (b) (c) 图 1 多杆机械模型3当 n 2 时形成心脏线(图 2)。3.2 椭圆与欧拉公式当 n -1 且 r 1 时，公式(5)描述的轨迹为 2 峰内摆线，它也就是椭圆(图 3)。这是一种较新的椭圆形成方法，亦有人称之为“行星式椭圆构成方法”4。当 n -1 且 r 1 时，公式(5)改变成下式：(8)2costejtjt公式(8)就是有名的欧拉公式。该式所描绘的二阶极形是在实轴上作余弦振荡的直线。应用这个原理可以设计一种机构，它无需导轨也能实现直线往复运动。3.3 各种多峰内摆线当 n -2 时，公式
10、(5)描述的轨迹为 K 3 的各种多峰内摆线(图 4)。当 n -2 且 r 1 时，公式(5)描述的轨迹为 K 叶玫瑰线(图 5(a)、(b)。当 n -2 且 r 时，公式(5)描述的轨迹为 K 3 的各种短幅内摆线。该曲线1n在两峰之间的谷地部分可以通过适当地选择 r 的长度，调整成线性度足够高的直线，由此得到各种顶点为弧线过渡的多边形(图 6)。这种轨迹形成原理曾被应用于单轴自动车床上，实现工件的六方头部分的旋风铣削加工 5。4 高阶极形当公式(2)的右端为三项以上，便构成一个高阶的轨迹发生器。它可以产生任意复杂的轨迹，称之为高阶极形。4.1 三阶极形当公式(2)的右端仅为三项，通过改
11、变 2、3 两项的 n、r n 和 （共 6 个参数），便可产生各种形状相当复杂的轨迹(图 7)。如果利用此轨迹发生器来设计机器，为了避免实际机构过于复杂，应尽可能采用三阶或三阶以下的极形。图 2 心脏线(n=1, 2) 图 3 椭圆(n=1, -1) (a) n=1, -2 (b) n=1, -3图 4 多峰内摆线(n=1, -4) 图 5 多叶玫瑰线(a) n=1, -2 (b) n=1, -3 (c) n=1, -4图 6 弧角多边形44.2 伪随机极形通常的太极轨迹发生器运转起来，产生周期性重复的平面曲线轨迹。其周期值等于各圆周运动成分周期的最小公倍数。圆周运动成分的频率比 n 一般为
12、整数，也可为非整数。若 n 的取值为无理数，则所产生曲线的周期值为无穷大，即轨迹永远不会重复。实际设计轨迹发生器时 n 一般为有理数，仅须适当选配 n 的值，使所产生轨迹的周期值足够大即可。这样的轨迹可称为“伪随机极形”(图 8)。实际应用的机械中，有许多对不重复而复杂运动的需求，例如煤炭或矿石的筛选机(为了延长筛网的寿命)，高精度研磨机以及某些振动机械等。伪随机极形的轨迹发生器可为这类机械的设计，提供一条新的途径。5 轨迹发生器的参数设计为了便于太极轨迹发生器的设计与参数的调整，笔者设计了在计算机上运行发生器机械模型的动态仿真软件。根据某种轨迹形状的要求，设计太极轨迹发生器参数的步骤如下：1
13、 对已知轨迹的二维函数 f(t)（函数中含有该轨迹运动的形状和速度的信息）进行采样，得到 f(t)的离散复序列 x i和 y i。2 对离散复序列x i和 y i进行快速 Fourier 变换(FFT),得到 f(t)的 Fourier 系数即复序列F n。3 通常，FFT 运算得到的复序列 Fn所具有的项数很多，但其中大多数 rn 的数值都很小。为了不使所设计的轨迹发生器过于复杂(即阶数太高)，应有重点地选取足够大的几项。4 用所选中的几项 n，r n 和 作为每杆的参数来设计轨迹发生器的机械模型。由于在步骤(3)中忽略了许多 rn 很小的项，所产生的轨迹与已知的 f(t)比较，有一定的误差
14、。5 使用太极轨迹发生器的动态仿真软件运行以上设计的机械模型，适当地对已选定的各参数的数值稍作增减，使所产生轨迹关键部位的形状与 f(t)相符并达到足够的精度。6 结束语根据二维函数 Fourier 逆变换的原理，设计一种太极轨迹发生器，它可用一个固定传动比的单自由度机械模型来模拟。适当地选择其结构参数，能产生任意复杂的极形轨迹。这种产生轨迹的方法不仅在几何学、运动学和机构学等方面具有理论意义，而且可以用于发明和设计各类新型的机器。参 考 文 献1 张华容，机床主轴回转精度的数学描述和分析，机械工程学报， Vol.18,No.4,1982,P.65732 张华容 等，回转精度理论的研究， 机器运动精度理论及测试国际学术会议 ICMMA 论文集， 1989,P.7143 张华容 等，连杆运动的频谱与机构综合，机械科学与技术，1993 No.2(总 No.46),P.25294 杨懋钧，行星式椭圆轨迹的构成理论，机械工程学报，Vol.18,No.4,1982,P.93965 ., , ,1961,cmp.98105图 7 复杂极形(n=1.5,-3,7) 图 8 伪随机极形
