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1、北京市朝阳区20082009学年度第二学期高三统一练习（一）数学试题（理科）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷（选择题 共40分）注意事项：1答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则等于 （ ）AB1,2C2,3D1,2,32下列函数中，在区间上
2、为增函数的是 （ ）A B C D3复数(是虚数单位)在复平面内对应的点位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为 （ ）ABCD5用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为（ ）A B C D 6各项均不为零的等差数列中，若，则等于 （ ） A0 B2 C2009 D4018 7已知函数. 如果，则实数等于 （ ）A B C. D8 蔬菜价格随着季节的变化而有所变化. 根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而
3、购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元. 设购买2千克甲种蔬菜所需费用为元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为元，则 （ ）A B C D 大小不确定二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中 横线上.9 _. 10在中，角所对的边分别为.若，则等于_度. 11若展开式中的二项式系数和为512，则等于_；该展开式中的常数项为_. 12已知动直线平分圆，则直线与圆为参数)的位置关系是_. 13过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，交其准线于 点.若，则直线的斜率为_.14定义映射，其中，.已知对所有的有序正整数对满足下述条件：；若，；，则的值是_；的表达式为_（
4、用含的代数式表示）. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本小题满分13分）已知函数（）求函数的最小正周期，并写出函数图象的对称轴方程；（）若，求函数的值域2009040916（本小题满分13分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂现在可供选用的不同添加剂有6种，其中芳香度为1的添加剂1种，芳香度为2的添加剂2种，芳香度为3的添加剂3种根据试验设计原理，通常要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验（）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率；（）求所选用
5、的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率；（）用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，写出的分布列，并求的数学期望 17（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中, 已知， ，是的中点.（）求证：； （）求二面角的大小；（）求直线与平面所成角的正弦值.ABCBAADACA18（本小题满分13分）已知函数 （）写出函数的定义域，并求函数的单调区间；（）设过曲线上的点的切线与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最小值，并求此时点的坐标.19（本小题满分13分）已知的三边长成等差数列，若点的坐标分别为（）求顶点的轨迹的方程；（）若线段的延长线交轨迹于点，当 时，求线段的垂直平分线与轴交点的横坐标的取
6、值范围20（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且，其中（）求数列的通项公式；（）设数列满足，为的前项和，求证：；（）是否存在正整数，使得 成立？若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由参考答案 一、选择题:题号12345678答案DBDACDAA二、填空题: 9 ; 10 105; 119, ; 12相交13 ; 146, .三、解答题: 15解:（）因为， 所以, 函数的最小正周期为2 由，得 .故函数图象的对称轴方程为. 8分（）因为，所以所以.所以函数的值域为 13分16解：（）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3”为事件A，则答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的
7、概率是 4分（）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数”为事件B，两种添加剂的芳香度之和为偶数有三种可能：芳香度为1和3，芳香度为2和2，芳香度为3和3，其中芳香度为1和3的概率为芳香度为2和2的概率为芳香度为3和3的概率为 所以答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率是 9分（）的可能取值为3，4，5，6，且 所以的分布列为3456P所以, 13分17 解法一：（）证明：因为，是的中点，所以.由已知，三棱柱是直三棱柱，所以平面平面.所以平面.又因为平面,EABCBAADACAF所以. 5分（）解：由（1）知平面.过作，垂足为,连结.由三垂线定理可知，所以是二面角的平面角.
8、由已知可求得，, 所以.所以二面角的大小为.由于二面角与二面角的大小互补，所以二面角的大小为. 10分（）过D作,垂足为,连结.由（）可证得平面,所以,可证得平面.所以, 为直线与平面所成的角.在直角三角形中，可知，所以.在直角三角形中，可知=.在直角三角形中，=.所以直线与平面所成角的正弦值为. 14分解法二：以的中点为原点，先证明平面，建立空间直角坐标系（如图）.由已知可得、 、.（）证明：，.因为，所以. 5分（）解：.设平面的一个法向量为，由 得 解得 所以.又知，平面，所以为平面的法向量.因为 ,所以 由图可知，二面角大于90，所以二面角的大小为. 10分（）由（）可知平面的一个法向
9、量, 又.所以 .因为直线与平面所成角为,所以直线与平面所成角的正弦值为. 14分18解：()函数的定义域是函数的导数是.令,即,解得,所以函数的递增区间是;令,即,解得,所以函数的递减区间是. 6分 ()设，则切线的斜率，则切线的方程是，设切线与轴、轴的交点为、，令，由题意可知，解得，所以；令，解得，所以，所以，当且仅当，即时，面积的最小值为2.此时,点的坐标是 13分(可求导或用二次函数求得的最大值)19解：（）因为成等差数列，点的坐标分别为所以且由椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点长轴为4的椭圆（去掉长轴的端点），所以故顶点的轨迹方程为4分（）由题意可知直线的斜率存在，设直线 方程为由得，设两点坐标分别为，则，所以线段中点的坐标为,故垂直平分线的方程为，令，得与轴交点的横坐标为，由得，解得，又因为，所以当时，有，此时函数递减，所以所以，故直线与轴交点的横坐标的范围是 13分20解：（）已知式即，故因为，当然，所以由于，且，故于是 ，所以 4分（）由，得，故从而 因此设，则，故，注意到，所以特别地，从而所以 9分（）易得注意到，则有，即， 整理得 当时，由 得因为，所以当时，由 得 因为，故式右边必是3的倍数，而左边不是3的倍数，所以式不成立，即当时，不存在，使得式成立综上所述，存在正整数，使得成立14分12 / 12
