数学讲义(中微)

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1、（一）函数 1 凹（凸）函数 1.1 凸集 凸集（Convex Set） ：对于任意两点uS和vS，且对于每一个0,1，当且仅当 (1)wuvS=+为真时，集合为凸集。 n SR 凸集要求集合内的任意两点，其连线也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也 不能有缩进。例如，平面中，一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是。 1.2 凹（凸）函数 引入凸集的概念后我们就可以介绍凹（凸）函数：不管是凹函数还是凸函数都要求其定 义域是凸集。我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数 2 44yxx= +就是一个凹函数，它在定义域内呈现的形状是一只倒立的碗；而函数 是一个凸函数，它在定义

2、域内呈现的形状就像一只碗。 2 4yxx=+4 现在具体给出凹（凸）函数的定义（x为自变量向量）： 对于函数:fD R，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当 1 x 2 x 1212 (x )(1) (x )( x(1)x )(0,1)tft ff ttt+ 时，函数 f 为凹函数(Concave Function)。 对于函数:fD R，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当 1 x 2 x 1212 (x )(1) (x )( x(1)x )(0,1)tft ff ttt+ 时，函数 f 为凸函数(Convex Function)。 如果 f 为一元函数，我们能从图形上看，凸函数的定义是

3、指该曲线上任何两点之间的连 线在曲线的上面， 而凹函数则要求曲线上任何两点之间的连线在曲线的下面。 如果是二元函 数，则把“曲线”改为“曲面”也可以感受它们的特征。 若将不等号“”和“”分别变换成严格不等号“ 因为凹函数的定义域为凸集，因此点也一定在函数的定义域内。 12 x(1)xtt+ 我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况。在满足无约束极 值一阶必要条件的前提下， 凹函数一定存在全局最大值的解， 但全局最大值的解可能不是唯 一的，因为如果山峰包含一个平顶，则全局最大值的解有很多个。仅当我们限定它为严格凹 形函数时，全局最大值的解才可能是唯一的。 1.3 凹（凸）函数

4、与凸集的关系 首先我们必须区别凸集与凸函数的概念。 根据定义，可知当“凸的”在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能 有缩进。这不同于之前的凹（凸）函数：当“凸的”在描述函数时，它确定的是一条曲线或 1 曲面是如何弯曲的。 但凹（凸）函数确实与凸集有关。除了定义域都要求是凸集之外，它们都可以引致一个 凸集。 定理 (x)f是凹函数(x) x,(x)AyD f，y是凸集； (x)f是凸函数(x) x,(x)AyD f，y是凸集。 即， 由函数上的点以及函数曲线 （曲面） 之下的点组成的集合若是凸集该函数为凹函数； 由函数上的点以及函数曲线（曲面）之上的点组成的集合若是凸集该函数为凸函

5、数。 注意，这里的 A 是关于点（x,y）的集合。 1.4 用海塞矩阵判定凹（凸）函数 当函数为二阶连续可导时，我们还可以利用海塞矩阵判定它是否为凹（凸）函数。 定义 海 塞 矩 阵 ： 为 函 数 二 阶 导 数 和 交 叉 导 数 构 成 的 矩 阵 ， 如 ： 11121212 12 21122212 ( ,)( ,) ( ,) ( ,)( ,) fx xfx x H x x fx xfx x = 。根据杨格定理： ijji ff=，因此海塞矩阵为对称矩 阵。 通过判定海塞矩阵的负（正）定，我们可以判定函数的凹（凸）性，规则为 （1）函数为严格凹函数其海塞矩阵负定； 12 (,)H x

6、x （2）函数为严格凸函数其海塞矩阵正定。 12 (,)H x x 接下来就介绍判断海塞矩阵正负定的方法。我们这里主要讨论判定二元函数凹凸性的方法。 定义 主子阵： 对n矩阵 A， 由 A 的 k 个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到的 矩阵，称为 A 的 k 阶主子阵；由 A 的前 k 个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到 的矩阵，为 k 阶前主子阵。 n 主子阵的行列式为主子式；前主子阵的行列式为顺序主子式。 我们用表示的 k 阶顺序主子式（其中 k D 12 (,)H x x1,2k =） ，如: 1121112 ( ,)( ,)D x xfx x=， 11121212 21

7、2 21122212 ( ,)( ,) ( ,) ( ,)( ,) fx xfx x D x x fx xfx x =。 定理 对于二次连续可微函数， 12 ( ,)yf x x= （1）海塞矩阵正定； 12 ( ,)0(1,2) k D x xk= （2）海塞矩阵负定。 12 ( 1)( ,)0(1,2) k k D x xk= 2 用H 表示海塞矩阵 H 的指标（1,2）的任意排序，如 1112121222122112 12 2112221212121112 ( ,)( ,)( ,)( ,) ( ,), ( ,)( ,)( ,)( ,) fx xfx xfx xfx x Hx x fx x

8、fx xfx xfx x = ， 12 ( ,) k Dx x 为的 k 阶顺序主子式，则 12 ( ,)Hx x （3）海塞矩阵半正定； 12 ( ,)0,(1,2) k Dx xk = （4）海塞矩阵半负定。 12 ( 1)( ,)0,(1,2) k k Dx xk = 2 拟凹（拟凸）函数 不管是凹（凸）函数还是严格凹（凸）函数，它们对函数都有比较强的设定。我们需要 更弱的假定来增加理论的一般性和解释力。 拟凹 （拟凸） 函数则是一个相对而言更弱的条件。 拟凹（拟凸）函数的定义如下： DR，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当 1 x 2 xf :对于函数 1212 min(x ),(

9、x )( x(1)x )(0,1)fff ttforallt+ 时，函数 f 为拟凹函数（Quasiconcave Function） 。 对于函数:fD R，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当 1 x 2 x 1212 max(x ),(x )( x(1)x )(0,1)fff ttforallt+ 时，函数 f 为拟凸函数(Quasiconvex Function)。 若将不等号“”和“”分别变换成严格不等号“ 我们也可以通过更直观的方法检验函数的拟凹性和拟凸性。 定义 0 ()x x,(x)S yD fy(x) 0 为函数f在 0 y水平上的上等值集（Upper Contour Se

10、t） ， 00 I()x x,(x)yD fy(x)为函数f在 0 y水平上的下等值集（Lower Contour Set） 。 注意：不论是上等值集还是下等值集，它们都是关于选择变量 x 的集合。区别于之前与 凹（凸）函数有关的 A 集合。 定理 对于值域内的所有 y 值，都是凸集(y)S:fDR是拟凹函数 对于值域内的所有 y 值，都是凸集(y)I:fDR是拟凸函数 经济学中常假设拟凹的效用函数。 根据定理， 拟凹的效用函数保证了其上等值集为凸集。 2.1 用加边海塞矩阵判定拟凹（拟凸）函数 当函数为二次连续可微时，我们还可以利用加边海塞矩阵判定拟凹（拟凸）函数。我们 还是集中关注二元函数

11、。 3 定义 加边海塞矩阵：由海塞矩阵和函数的一阶导数（边）构成的矩阵，如二元函数 12 ( ,)yf x x= 的加边海塞矩阵 112212 1211211121212 21221122212 0( ,)( , ( ,)( ,)( ,)( ,) ( ,)( ,)( ,) )f x xfx x H x xf x xfx xfx x fx xfx xfx x = ， 加边海塞矩阵也是对称 矩阵。 k B为加边海塞矩阵的 k+1 阶顺序主子式，如 112212 21211211121212 21221122212 0( ,)( , ( ,)( ,)( ,)( ,) ( ,)( ,)( ,) )f

12、x xfx x B x xf x xfx xfx x fx xfx xfx x =。 0 k k T kk f B fH = ,其中H 表示海塞矩阵的指标（1,2）的任意排序， H k H 为H 的 k 阶子式，如 112212 112 11211122122212 0( ,)0( ,) ( ,), ( ,)( ,)( ,)( ,) f x xfx x Bx x f x xfx xfx xfx x = ， 112212212112 2121121112121221222122112 2122112221211212121112 0( ,)( ,)0( ,)( ,) ( ,)( ,)( ,)(

13、,) ,( ,)( ,)( ,) ( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,) f x xfx xfx xf x x Bx xf x xfx xfx xfx xfx xfx x fx xfx xfx xf x xfx xfx x = 。 通过加边海塞矩阵判定二元函数的拟凹（拟凸）性的规则为 （1）函数为拟凹函数； 12 ( 1)( ,)0(1,2) k k Bx xk = =（2）函数为严格拟凹函数。 12 ( 1)( ,)0(1,2) k k Bx xk （3）函数为拟凸函数 12 ( ,)0(1,2) k Bx xk= （4）函数为严格拟凸函数 12 ( ,)0(1,2) k Bx x

14、k0 T qA(x)q 若对于所有的x，0(x)=xx0 T qA 212 ( ,)0D x x * x 判断函数的凹凸性后， 若 * 112212 (,)(,)0f x xfx x=， 则可判定函数在点 * 12 (,)x x取得的 是全局最大值还是全局最小值。 8 （三）具有约束条件的最优化问题 之前在求极值的过程中， 我们没有对选择变量的值进行约束， 从而解的取值可能是负值， 也可能很大。 但考虑到经济学是建立在稀缺的资源如何配置的问题上的， 因而在经济学的最 优化求解过程中，我们通常不得不面临资源的稀缺性对选择变量的值加上约束条件。 约束条件大致分三类：等式约束、非负约束以及更普遍的，

15、其它形式的不等式约束。我 们将依次介绍对应的求解方法。从现在开始，讨论将以最大化问题为主，关于最小化问题的 条件，我们可以对最大化条件稍微进行调整得到。 1 等式约束 关于解决等式约束的方法，其实我们已经学过了，就是利用拉格朗日方法求解的过程。 现在简要回顾拉格朗日函数。 1.1 二元目标函数、一个等式约束的约束最优化条件 考虑二元函数下，具有约束条件的最优化问题 12 ,1 max( ,) x x yf x x2= 12 . .( ,)stg x xc= 其中 c 是一个常数，y 和 g 都是二次连续可微函数。 该问题的拉格朗日函数为： 1212 ( ,)( ,)Lf x xcg x x=+ 一阶条件要求： * * 121212121 * 11112 (,)(,)(,)(,)/ 0 (,)/ L x xf x xg x xf x xx xxxg x xx 1 = = * * 121212122 * 22212 (,)(,)(,)(,)/ 0 (,)/ L x xf x xg x xf x xx xxxg x xx 2 = = * * 12 1212 (,) (,)0(,) L x x cg x xcg x x = 求出上