第卷第欺 年月 数学研究与评论 人 万 评《点集拓扑 学基础 》 王国俊 赵东升 陕西师 范大学数学系 最近 , 我们读 了吴东兴先生著的《点集拓扑学基础下称《基础》一书 , 有几点不成熟 的意 见 , 愿在此提出和昊先生商榷 一 、 关于新体系问题 众所周知 , 点集拓扑学从产生到现在 , 经过了很长的发展过程 , 数学家们的辛勤劳动 巳经使它成为一 门成熟的数学分支所以 , 当我们看到作者在《基础》一书的前言里声称 “ 本 书建立新体系 , 试 图使逻辑严格性与直观明显性结合起来 , 尤其注意从马克思主义认识论 的角度进行阐述 ”, 不由得就对本书产生了极大的兴趣 , 很想从中学得一些新东西 然而 看下去的结果却令人大失所望 我们发现作者的 “ 新体系 ” 不过是把 若干经科学实践定型 的重要概念的名称进行了更换 , 而这种更换本身在理论上毫无深意 , 在应用上只会引起混 乱 拓扑的定义 这是一个贯穿于全书始终的最重要的概念 在《基础》一书里 , 拓扑 的概念是由下述定义给出的 “ 定义设是任一个集合 , 而 了 ,,人任 是的任一 子集族 , 当且仅当 〔〕 ,人〔 〔〕对于任意几 , 几〔 , 如果〔 ‘ 自 , 则存在 几 〔 , 使 任 ,‘ 与了一起 , 组成一拓扑空间 , 记为 , 了 , 称为以为基集 , 以了为拓扑结构的拓扑 空间 ” 因为紧接着在例 , 例和例中 , 作者又把满足条件〔 」和〔」的集族称为 拓扑可见 , 作者是把上述定义中所说的 “ 拓扑结构 ” 与 “ 拓扑 ” 不加区别的我们 知 道 , 按照通常意义 , 满足条件〔」 , 〔幻的集族叫 “ 拓扑基 ”而不 叫 “ 拓扑 ”。
这样给出 拓扑的定义是《基础》一书 “ 新体系 ” 中主要之点当然 , 如果这样改换一下名词 确实能 使处理问题变得简洁 , 明燎 , 更能刻划问题本质 , 那么这样做也未尝不可 然而 , 事实却 远非如此 首先 , 我们认为这样做会引起很大混乱 , 特别是对于初学者从本书所涉及的内容看 , 也只能供初学用 到目前为止 , 绝大多数的点集拓扑学的书都把开集的全体叫拓扑 这 年月日收到 数学研 究 与评论年 是经过多年来不断摸索 , 反复改进才抽象出来的一个简洁 , 明燎的定义 当然 , 这并不排 除可 以用其它方法来讲拓扑空间 , 比如 , 用闭包公理的方法 , 邻域系的方法和用收敛类定 义拓扑的方法等等然而 , 在已经区分得明明白白的 “ 拓扑 ” 与 “ 拓扑基 ” 这两个概念之 间 , 轻率地用后者顶替前者恐怕会把初学者引人五里雾中如果有一个作者在其代数书中 硬把 “ 群 ” 叫做 “ 环 ”, 那么读了这种书的学生和其它人就没有共 同语言 , 无法交流了 事实上 , 不用说初学者 , 从《基础》一书的几处证明中可以看 出 , 连作者 自己都被这个 “ 新体系 ” 搞乱了如《基础》一书的页 , 定义下面的,’拓扑空间的每一个基 本邻域都是开集 ” 本来按照 “ 新体系 ”, 这是定义中规定了的而作者却莫名其妙地证明了 好几行 。
这不正 说明作者本人被自己的 “ 新体系 ” 搞糊涂了吗类似的情况还有 , 如定理 的证明等 应该指出 , 在给出上述 “ 拓扑 ” 的定义之后 , 在页作者又给 出了一个拓扑结构的定 义 , 即通常用开集方式所引人的拓扑定义虽然作者强调 “ 它们的本质是一样 的 ”, 但由 于这两种拓扑结构定义是不等价的 , 而科学中每个概念的含义应该是唯一确定的 , 是不能 含糊其词的 不同的对象冠 以同一个名词也只会引起混乱 其 实 , 把拓扑基 叫拓扑还有更大 的弊病 比如 , 在讲到第二可数公理时就 遇到了麻 烦我们间 如果一个 “ 拓扑 ” 具有可数基 , 那么按作者定义的与之等价的其它 “ 拓扑 ” 是否也有可数基呢虽然答案是肯定的 , 但这是需要证明的比如口〕中就证明了这一事 实 , 至少 , 比本书中许 多加以证明了的事实之论证更不明显 , 但作者似乎没有意识到《基 础》一书的关于第二可数公理的定义是隐藏着这个向题 , 只是轻描淡写的说了一句 “ 显 然 , 可数基的存在是拓扑不变的 ” 这里我们指出 , 用拓扑基代替拓扑 , 确对某些定理的陈述可以简化几个 字 如 ,“ 为 使是紧的 , 当且仅当从的每个由拓扑基 中的开集组成的覆盖中能选出有限子复盖 ”。
但这种简化 没有什么实际收益 , 而且就这个例子而言 , 对可数紧性就不能做如上变通所 以归根结底还是离不开真正的 “ 拓扑 ” — 全体开集之族 , 这一概念事实上 , 巳如上面 提及的 , 《基础》一书不得不在第 页上重新定义拓扑 拓扑的等价性拓扑的等价性是拓扑中最基本的概念 本来也是容易说明 白的 , 但书中却费了很大 的篇幅讨论这个问题 , 而最后还是没说清楚在书的页 , 作 者指出 “ 因此 , 我们要比较两个拓扑结构 , 必须比较它们确定极限点的效果 , 才不致被现象所迷 惑 ” 然而接下去作者并没有按照 自己的这种想法去作在拓扑的等价性定义第页 及 后来的一些结果中丝毫未涉及到极限点 只是到最后才单方面的证明了 “ 如果两拓扑结构 了 与了等价 , 则它们确定极限点的效果完全相同 ” 而反过来 , 若两个拓扑确定极限点 的效果完全相同 , 它们是否等价 , 作者并未提及而到了第页 , 又突然出现 “ 在同一个集合 上的两个拓扑了 , 及了 , 当它们确定极限点的效果完全相同时 , 称它们为拓扑等价 ” 这样 , 继第页 的拓扑等价的定义之后 , 作者在此又给 出了一个拓扑等价的定义如我们 所指出的 , 书 中并未证明这两个定义的一致性那么人们又要问了 , 到底该把什么叫做拓 扑等价呢 这种后不顾前 , 逻辑上不完整的弊病就使得初学者难以获得一个确切的概念 关于子网的定义在《基础》一书的第八章里子网是这样定义的 “ 设是任一有向 集 , 是拓扑空间 , 任一映射为,称为拓扑空间的网设子集 ,仁 仍为有向集 , 第期王国俊等评《点集 拓扑 学 基础》 口、、 户一山场 且与共尾 , 即 , ⋯ , 则 二‘ 在上的限制欠 ,称为 凡的子网 ” 这种子网的概念是照 搬子序列概念而来的 , 完全没有抓住它 的本质姑且暂称这种子网为 自然子网 。
自然子 网的概念几乎在网的概念产生的同时就有人提出来了 不久人们就发现它是不 成功的在〔 〕 页 中巳经指出 “ 这是一种标准的构造子网的方法然而 , 不幸的是这 种子网的概念并不适于所有的目的 ” 〔〕的习题 中的例子说明 , 存在一个网及它的一 个聚点 , 使得没有这个网的自然子网能收敛到这个聚点这就失去了子网的最重要的性 ‘质 , 因而 自然子网在一般框架上基本上是无用的概念 , 是人们认识道路上的一段曲折的记 载 值得注意的是 , 网的概念是年由 石 和提 出来的 , 而到 年才由 正 式提 出现在被大家普遍接受的子网的概念 〔〕的第 一 页显然为找到现今这种子网的概念 , 人们花费了长时间的劳动 《基础》一书把一个早 已被人们摒弃了的无用概念重新捡起来当作 “ 新 ” 的东西目的何在是作者不知道这些 基本事实吗 关于全书的预备知识 《基础》一书的第一章是读全书的一个预备 , 理应写得容易使初学者所接受 但我们感 到作者在第一章 中似乎引人了过多的繁琐概念这些概念一般都是很少的见 , 有失偏僻例 如 “ 拟序集 ”,“ 拟序格 ”等等, 它们在本书里都很少被使用而作者却在这颇嫌琐碎的枝节 上大费笔 墨 这一切只能给初学者理解和接受重要的内容带来麻烦 , 使他产生莫测高深之 感顺便指 出 , 作者自己在《基础》一书的第一版上把上确界的定义也搞错了 , 在第二版才 作了更正 从这一章的体系看 , 似乎是一种 “ 拼凑式 ” 的体系如关于一定 理的证明似乎译自 的盯一书 , 关于格的论述又好象是编译 自 的因为各书的格调不一样 , 编写目的也各异 , 这种拼凑式 的东西就更难说是 “ 新体系 ” 了 。
我们对马克思主义认识论理解得不深 , 但我们觉得把这样一个乱了套的 , 连基本概念 的表述都毛病颇多的东西冠以 “ 马克思主义认识论的阐述 ” 的作法是不够严肃的尤其注 意到作者写这些话时巳是年秋天了 , 这种感觉就更加强烈了 二 、 若 干错 误 本书是人门性质的书籍 , 所涉 及的内容与所选 的习题都是一般拓扑 中的初等部分 , 但 很遗憾本书仍有若干错误 翻 良序定理的证明是错的 《基础》一书里在用 引理证明 良序定理时有下面一 段 陈述 “ 作为的子集族的犷 , 可以根据包含关系定义半序对于任意 口 , 任牙 , 石簇 当且仅当 〔 对于半序集牙 , 可 以应用引理由于牙的任一链不过是一个依 次包含的的一族子集这族子集的并便是这族子集的上确界 ” 下面的例子说明最后 的一结论是错的 这一点是由江西大学数学系七九级徐晓泉同学指出的 数学研 究与评 论年 例令 叮 是整数子集 一”,一玲 , 一 , 的自然大小关系 , 氏是良序关系 , 且 ”》 就有口 , 卫口 , 然而 二 是集合 ⋯ , 一 , ⋯ , 上的自然大小关系 , 它不是良序关系 月一 本书页超滤子的定义 “ 除去非真簿子 , 中的极大元称为超滤子 ” 是不合 适的因为由那里的定义 , 劝中只能有唯一的非真簿子才可以为极大元所以按 照上述定义 , 就没有超滤子存在 。
又 , 定理的叙述及证明都是错误的该定理说 “ 对于每个滤子 , 存在包含它的 超滤子 ” 但对 , 就没有包含它的超簿子 同时 , 按作者对 “ 非真滤子 ” 的定义看 , 这一定理的证明中的巾只能是单元素集 , 其中没有超滤子 因而这一证明也是错误 的 作者在第二版中把习题中的一些错误作了修改如第一版第六章习题是错的 , 这是好的 , 但仍有错误存在 如第五章习题 , 容易说明习题中局部紧和正文中的局部紧 性互不蕴涵 另外正文中还有不少其它错误 , 如第页 的 “ 在不足道空间中 , 任一子集的导集都 是 ”,“ 在不足道空间中 , 任一子集的闭包都是 ” 以及第页 的例显然对于子集为 空集时都不成立 以上意见如有不妥 , 望大家批评指正 今考文献 〕 , 〕 一 。