《2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程 苏教版选修1-1(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程 苏教版选修1-1(1)（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4.1 抛物线的标准方程,第2章2.4 抛物线,1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物 线标准方程的问题,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 抛物线的标准方程,思考 1 在抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？,答案,p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线方程中一次项决定开口方向,思考 2 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？,答案,一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦
2、点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定,梳理 抛物线的标准方程有四种类型,题型探究,例1 分别根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)；,类型一 求抛物线的标准方程,解答,因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，,所以，所求抛物线的标准方程为x28y.,因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴上面，,解答,由焦点到准线的距离为5知，p5.又焦点在x轴负半轴上， 所以，所求抛物线的标准方程为y210x.,(3)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5；,解答,由题意知，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)将点A(2,3)的坐标代入， 得32m2或22n3，
3、,(4)过点A(2,3),解答,求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0),反思与感悟,跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1) 过点(3，4)；,解答,方法一 点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10) 把点(3，4)分别代入y22px和x22p1y， 得(4)22p3,322p1(4)，,方法二 点(3，4)在第四象限，设抛物线的方程为y2
4、ax (a0)或x2by (b0),(2) 焦点在直线x3y150上，且焦点在坐标轴上；,解答,令x0，得y5；令y0，得x15. 抛物线的焦点坐标为(0，5)或(15,0) 所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.,解答,例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程： (1)y26x；,类型二 求抛物线的焦点坐标及准线方程,由方程y26x知，抛物线开口向左，,解答,解答,(2)3x25y0；,(3)y4x2；,解答,(4)y2a2x(a0),解答,由方程y2a2x(a0)知，抛物线开口向右，,引申探究 若将本例(4)中条件改为yax2(a0)，结果又如何？,解答,反思与感悟,如果
5、已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向,跟踪训练2 若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_,答案,解析,2,x1,类型三 抛物线定义的应用,解答,命题角度1 与抛物线有关的轨迹方程,由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y22px(p0)的形式，,故点M的轨迹方程为y22x(x0),反思与感悟,满足抛物线的定义，可直接利用定义写出轨迹方程，避免了繁琐的化简,跟踪训练3 平面上动点P到定点F(1,0)的距
6、离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程,解答,由题意知，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1.由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x0时，直线y0上的点适合条件；当x0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x1为准线的抛物线，方程为y24x.,解答,命题角度2 利用抛物线定义求最值,例4 设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点 (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；,如图，易知抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程 是x1.由抛物线的定义知，点P到直线x1 的距离等于点P到焦点F
7、的距离于是问题转化 为在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距 离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连结 AF，AF与抛物线的交点即为点P，,即点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为 .,(2)若点B的坐标为(3,2)求PBPF的最小值,解答,如图，把点B的横坐标代入y24x中，得y2 .因为2 2，所以点B在抛物线内部过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连结P1F.此时，由抛物线定义知，P1QP1F.所以PBPFP1BP1QBQ314， 即PBPF的最小值为4.,反思与感悟,解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往
8、往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线来解决最值问题,跟踪训练4 已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_,由题意知，直线l2：x1为抛物线y24x的准线由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离， 即d 2.,答案,解析,2,当堂训练,1,2,3,4,5,1.抛物线y x2的准线方程是_.,答案,解析,y1,则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2
9、p4，即p2，,1,2,3,4,5,抛物线y28x的准线方程为x2，则点P到准线的距离是6.由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是6.,2.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_.,答案,解析,6,1,2,3,4,5,3.根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为x1._.,答案,解析,y24x,p2. 又焦点在x轴上，则抛物线的标准方程为y24x.,1,2,3,4,5,(2)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是2._.,答案,解析,y24x,焦点到准线的距离为p2，且焦点在x轴的负半轴上， 抛物线的标准方程为y24x.,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,5.若抛物线y22px (p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标.,由题意设点M到准线的距离为MN，,故抛物线方程为y24x. 将M(9，y0)代入抛物线方程，得y06. M点的坐标为(9,6)或(9，6).,解答,规律与方法,3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.,
