《2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程 苏教版选修1-1(1)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程 苏教版选修1-1(1)(40页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4.1 抛物线的标准方程,第2章2.4 抛物线,1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义,能解决简单的求抛物 线标准方程的问题,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 抛物线的标准方程,思考 1 在抛物线方程中p有何意义?抛物线的开口方向由什么决定?,答案,p是抛物线的焦点到准线的距离,抛物线方程中一次项决定开口方向,思考 2 已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向?,答案,一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上若系数为正,则焦点在正半轴上;若系数为负,则焦
2、点在负半轴上焦点确定,开口方向也随之确定,梳理 抛物线的标准方程有四种类型,题型探究,例1 分别根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,2);,类型一 求抛物线的标准方程,解答,因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,,所以,所求抛物线的标准方程为x28y.,因为抛物线的准线平行于x轴,且在x轴上面,,解答,由焦点到准线的距离为5知,p5.又焦点在x轴负半轴上, 所以,所求抛物线的标准方程为y210x.,(3)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5;,解答,由题意知,抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)将点A(2,3)的坐标代入, 得32m2或22n3,
3、,(4)过点A(2,3),解答,求抛物线方程,通常用待定系数法,若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出p值即可若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0),焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0),反思与感悟,跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1) 过点(3,4);,解答,方法一 点(3,4)在第四象限,设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10) 把点(3,4)分别代入y22px和x22p1y, 得(4)22p3,322p1(4),,方法二 点(3,4)在第四象限,设抛物线的方程为y2
4、ax (a0)或x2by (b0),(2) 焦点在直线x3y150上,且焦点在坐标轴上;,解答,令x0,得y5;令y0,得x15. 抛物线的焦点坐标为(0,5)或(15,0) 所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.,解答,例2 已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程: (1)y26x;,类型二 求抛物线的焦点坐标及准线方程,由方程y26x知,抛物线开口向左,,解答,解答,(2)3x25y0;,(3)y4x2;,解答,(4)y2a2x(a0),解答,由方程y2a2x(a0)知,抛物线开口向右,,引申探究 若将本例(4)中条件改为yax2(a0),结果又如何?,解答,反思与感悟,如果
5、已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标、准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向,跟踪训练2 若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0),则p_,准线方程为_,答案,解析,2,x1,类型三 抛物线定义的应用,解答,命题角度1 与抛物线有关的轨迹方程,由抛物线的定义知,动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程应为y22px(p0)的形式,,故点M的轨迹方程为y22x(x0),反思与感悟,满足抛物线的定义,可直接利用定义写出轨迹方程,避免了繁琐的化简,跟踪训练3 平面上动点P到定点F(1,0)的距
6、离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程,解答,由题意知,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1.由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x0时,直线y0上的点适合条件;当x0时,原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,x1为准线的抛物线,方程为y24x.,解答,命题角度2 利用抛物线定义求最值,例4 设P是抛物线y24x上的一个动点,F为抛物线的焦点 (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值;,如图,易知抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程 是x1.由抛物线的定义知,点P到直线x1 的距离等于点P到焦点F
7、的距离于是问题转化 为在曲线上求一点P,使点P到点A(1,1)的距 离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然,连结 AF,AF与抛物线的交点即为点P,,即点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为 .,(2)若点B的坐标为(3,2)求PBPF的最小值,解答,如图,把点B的横坐标代入y24x中,得y2 .因为2 2,所以点B在抛物线内部过点B作BQ垂直于准线,垂足为点Q,交抛物线于点P1,连结P1F.此时,由抛物线定义知,P1QP1F.所以PBPFP1BP1QBQ314, 即PBPF的最小值为4.,反思与感悟,解决最值问题:在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往
8、往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线来解决最值问题,跟踪训练4 已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1,抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_,由题意知,直线l2:x1为抛物线y24x的准线由抛物线的定义知,点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P,使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:4x3y60的距离, 即d 2.,答案,解析,2,当堂训练,1,2,3,4,5,1.抛物线y x2的准线方程是_.,答案,解析,y1,则抛物线的焦点在y轴正半轴上,且2
9、p4,即p2,,1,2,3,4,5,抛物线y28x的准线方程为x2,则点P到准线的距离是6.由抛物线的定义可知,点P到抛物线焦点的距离是6.,2.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是_.,答案,解析,6,1,2,3,4,5,3.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程为x1._.,答案,解析,y24x,p2. 又焦点在x轴上,则抛物线的标准方程为y24x.,1,2,3,4,5,(2)焦点在x轴的负半轴上,焦点到准线的距离是2._.,答案,解析,y24x,焦点到准线的距离为p2,且焦点在x轴的负半轴上, 抛物线的标准方程为y24x.,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,5.若抛物线y22px (p0)上有一点M,其横坐标为9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.,由题意设点M到准线的距离为MN,,故抛物线方程为y24x. 将M(9,y0)代入抛物线方程,得y06. M点的坐标为(9,6)或(9,6).,解答,规律与方法,3.对于抛物线上的点,利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离,也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离,因此可以解决有关距离的最值问题.,