《2018版高考数学大一轮复习 专题16 不等式选讲 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高考数学大一轮复习 专题16 不等式选讲 文（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题16 不等式选讲,1 1,600分基础 考点&考法,700分综合 考点&考法,考点75 证明不等式的基本方法,考点74 绝对值不等式的解法及其应用,综合问题19 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用,2,600分基础 考点&考法,考法1 绝对值不等式的解法,考法2 绝对值三角不等式的应用,考点74 绝对值不等式的解法及 其应用,考点77 绝对值不等式的解法及其应用,1绝对值不等式的解法,(1)形如|axb|cxd|(ac)的不等式，可以利用两边平方的方法转化为一元二次不等式来求解,(2)绝对值不等式|x|a的解集,2绝对值三角不等式,1绝对值不等式的解法,2绝对值三角不等式,考点7
2、7 绝对值不等式的解法及其应用,考法1 绝对值不等式的解法,(1)零点划分区间法(常用方法)：若不等式含有两个或两个以上的绝对值并且含有未知数，通常先求出每个绝对值的原数值等于零的未知数的值(即零点)，然后将这些零点标在数轴上，此时数轴被零点分成了若干个区间在每一个区间里，每一个绝对值符号内的代数式有一个确定的符号，此时利用绝对值的定义可以去掉绝对值符号原不等式的解集就是这若干个区间上不等式解集的并集,【注意】每个区间上的解集应该是该区间的子集 一般地，n个零点把数轴分成n1段,(2)几何法：利用绝对值的几何意义求解 (3)数形结合法：构造函数yf(x)|xa|xb|c，利用函数图象求解,考点
3、77 绝对值不等式的解法及其应用,7,考法1 绝对值不等式的解法,考点77 绝对值不等式的解法及其应用,8,考法1 绝对值不等式的解法,考点77 绝对值不等式的解法及其应用,9,考法1 绝对值不等式的解法,课标全国201624，10分已知函数f(x)|x1|2x3|. (1)画出yf(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|1的解集,例1,考点77 绝对值不等式的解法及其应用,考法2 绝对值三角不等式的应用,绝对值三角不等式定理常用来解决与最值有关的恒成立问题 不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而解集为的不等式的对立面也是不等式恒成立问题(如f(x)m的解集是，则f(x)m恒成立)，这两
4、类问题都可以转化为最值问题，即f(x)f(x)max， f(x)a恒成立af(x)min .,【解析】将上述不等式转化为|x2|x5|a，只需要求|x2|x5|的最小值，利用绝对值三角不等式即可求得 |x2|x5|(x2)(x5)|3，当且仅当(x2)(x5)0时等号成立， 3|x2|x5|3.|x2|x5|a的解集为R，a3.,已知关于x的不等式|x2|x5|a0的解集为R，则实数a的取值范围是 ,考法例,【点拨】绝对值三角不等式在处理形如|xa|xb|或|xa|xb|的最值问题(恒成立问题)时非常方便,(，3),考点77 绝对值不等式的解法及其应用,考法2 绝对值三角不等式的应用,课标全国
5、201624，10分已知函数f(x)|2xa|a. (1)当a2时，求不等式f(x)6的解集； (2)设函数g(x)|2x1|，当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围,【解】(1)当a2时，f(x)|2x2|2. 解不等式|2x2|26得1x3. 因此f(x)6的解集为x|1x3 (2)当xR时， f(x)g(x)|2xa|a|12x| |2xa12x|a |1a|a， 当x1/2(1)时等号成立，,【点拨】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件对|ab|a|b|，当且仅当ab|b|时，等号成立，对|a|b|ab|a|b|，当且仅当|a|b|且ab0时左边等号成立，当且仅当ab0时右
6、边等号成立,例2,所以当xR时， f(x)g(x)3等价于|1a|a3. 当a1时，等价于1aa3，无解 当a1时，等价于a1a3，解得a2. 所以a的取值范围是2，),考点77 绝对值不等式的解法及其应用,600分基础 考点&考法,考法3 基本不等式及其应用,考法4 柯西不等式及其应用,考点75 证明不等式的基本方法,12,考点78 证明不等式的基本方法,1基本不等式,2柯西不等式,(1)二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立,(2)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量或是零向量或存在实数
7、k，使k时，等号成立,(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2R，那么,(4)一般形式的柯西不等式：设a1，a2，an，b1，b2，bn是实数，则(a12a22an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当ai0或bi0(i1，2，n)或存在一个常数k，使得aikbi(i1，2，n)时，等号成立,考点78 证明不等式的基本方法,3证明不等式的基本方法,(1)比较法； (2)综合法与分析法； (3)反证法和放缩法； (4)数学归纳法,证明不等式的方法和技巧：,(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证明的命题以“至少”“至多”等方
8、式给出或为否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等,(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值的不等式的求解或证明，其简化的基本思路是去绝对值符号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略绝对值三角不等式，则往往作为不等式放缩的依据,考点78 证明不等式的基本方法,合理“拆、拼、凑”，得满足“正、定、等”三条件的式子,拆凑成能利用定理的形式,分离参数，转化为求最大值或最小值,【说明】在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是
9、连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立,考法3 基本不等式及其应用,常考方式:,1利用算术平均几何平均定理求代数式的最值,2已知不等式对变量在某个范围内恒成立，求不等式中参数的最值,3证明不等式,考点78 证明不等式的基本方法,9,考法3 基本不等式及其应用,考点78 证明不等式的基本方法,考法3 基本不等式及其应用,(2)【证明】由(1)知， 当a，bM时， 1a1，1b1， 从而(ab)2(1ab)2 a2b2a2b21 (a21)(1b2)0. 因此|ab|1ab|.,考点78 证明不等式的基本方法,考法3 基本不等式及其应用,考点78 证明不等式的基本方法,考法3 基本不等式及其应
10、用,考点78 证明不等式的基本方法,考法4 柯西不等式及其应用,1常用的放缩法,常用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质、函数的性质、不等式的性质等其理论依据是不等式的传递性，使用此方法时，要注意把握放大或缩小的度,2常见的放缩技巧,考点78 证明不等式的基本方法,考法4 柯西不等式及其应用,考点78 证明不等式的基本方法,700分综合 考点&考法,综合点1 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用,综合问题19 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用,综合点1 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用,综合问题19 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用,含参不等式中，除
11、主变元外还有其他的参数变量对于含参绝对值不等式的问题，求解方法主要是分类讨论法有时也可利用数形结合，将问题转化为考查两图象之间的关系 对于形如 的不等式(其中x是主变元，a是参数)：,1利用分类讨论法求解集的具体思路,2利用数形结合法求解问题的具体思路,综合点1 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用,1利用分类讨论法求解集的具体思路,(1)确定关于x的函数f(x，a)，g(x，a)的零点是否存在 (2)若不存在，根据函数值的符号去掉绝对值；若存在，用参数a表示出来 (3)讨论函数f(x，a)，g(x，a)的零点的大小，从而将原不等式转化为不同区间上的一般不等式 (4)根据已知条件确定一
12、般不等式的解集，进而求解原不等式,【注意】对于含参的不等式，如果转化不等式的形式或所求不等式的解集与参数的取值范围有关时，就必须分类讨论需要注意的是要考虑参数的总取值范围；用同一标准对参数进行划分,综合问题19 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用,综合点1 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用,2利用数形结合法求解问题的具体思路,(1)设 (2)确定关于x的函数f(x，a) ，g(x，a)的零点是否存在 (3)若不存在，根据函数值的符号去掉绝对值； 若存在，用参数a表示出来 (4)讨论函数f(x，a)，g(x，a)的零点的大小， 将F(x)转化为分段函数， 根据函数图象求解,综合问题19 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用,综合点1 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用,综合问题19 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用,综合点1 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用,综合问题19 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用,
