《2018高考数学一轮复习第十章计数原理10.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理理》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018高考数学一轮复习第十章计数原理10.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理理(51页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、10.1 分类加法计数原理与分布乘法计数原理,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,分类加法计数原理与分步乘法计数原理,知识梳理,mn,mn,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( ) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.( ) (3)在分步乘法计数原理中,事情是分步完成的,其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有每个步骤都完成后,这件事情才算完成.( ),(4)如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1,2,3,n),那
2、么完成这件事共有m1m2m3mn种方法.( ) (5)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( ),考点自测,1.用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 A.243 B.252 C.261 D.279,答案,解析,2.(教材改编)已知集合M1,2,3,N4,5,6,7,从M,N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是 A.12 B.8 C.6 D.4,答案,解析,3.满足a,b1,0,1,2,且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a,b)的个数为 A.14 B.13
3、 C.12 D.10,答案,解析,当a0时,关于x的方程为2xb0,此时有序数对(0,1),(0,0),(0,1),(0,2)均满足要求; 当a0时,44ab0,ab1,此时满足要求的有序数对为(1,1),(1,0),(1,1),(1,2),(1,1),(1,0),(1,1),(2,1),(2,0). 综上,满足要求的有序数对共有13个,故选B.,4.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 A.24 B.18 C.12 D.6,答案,解析,分两类情况讨论:第1类,奇偶奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选择,共有32212(个)奇数;
4、 第2类,偶奇奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有1种选择,共有3216(个)奇数. 根据分类加法计数原理,知共有12618(个)奇数.,5.(教材改编)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同的报名方法有_种.,解析,答案,32,每位同学都有2种报名方法,因此,可分五步安排5名同学报名, 由分步乘法计数原理,知总的报名方法共2222232(种).,题型分类 深度剖析,题型一 分类加法计数原理的应用,例1 高三一班有学生50人,其中男生30人,女生20人;高三二班有学生60人,其中男生30人,女生30人;高三三班有学生55人,其中男生35人,女生20人.,解答,
5、(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?,完成这件事有三类方法: 第一类,从高三一班任选一名学生共有50种选法; 第二类,从高三二班任选一名学生共有60种选法; 第三类,从高三三班任选一名学生共有55种选法. 根据分类加法计数原理,任选一名学生任学生会主席共有506055165(种)不同的选法.,(2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法?,解答,完成这件事有三类方法: 第一类,从高三一班男生中任选一名共有30种选法; 第二类,从高三二班男生中任选一名共有30种选法; 第三类,从高三三班女生中任选一名共有20种
6、选法. 根据分类加法计数原理,共有30302080(种)不同的选法.,分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置.首先根据题目特点恰当选择一个分类标准;其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.,思维升华,跟踪训练1 (2016全国丙卷)定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数.若m4,则不同的“规范01数列”共有 A.18个 B.16个 C.14个 D.12个,第一位为0,最后一位为1,中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,00111
7、0;只有2个1相邻时,共 个,其中110100,110010,110001,101100不符合题意;三个1都不在一起时有 个,共28414(个).,答案,解析,题型二 分步乘法计数原理的应用,例2 (1)(2016全国甲卷)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为,解析,答案,A.24 B.18 C.12 D.9,从E点到F点的最短路径有6种, 从F点到G点的最短路径有3种, 所以从E点到G点的最短路径为6318(种),故选B.,(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共
8、有_种不同的报名方法.,答案,解析,每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人, 第一个项目有6种选法, 第二个项目有5种选法, 第三个项目有4种选法, 根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有654120(种).,120,引申探究 1.本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法?,每人都可以从这三个比赛项目中选报一项, 各有3种不同的报名方法, 根据分步乘法计数原理, 可得不同的报名方法共有36729(种).,解答,2.本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每项限报一人,但每人参
9、加的项目不限”,则有多少种不同的报名方法?,每人参加的项目不限, 因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛, 根据分步乘法计数原理, 可得不同的报名方法共有63216(种).,解答,(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事. (2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.,思维升华,跟踪训练2 (1)用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为_.,可分三步给百、十、个位放数字, 第一步:百位数写有5种放法;
10、第二步:十位数字有5种放法; 第三步:个位数字有4种放法, 根据分步乘法计数原理,三位数个数为554100.,100,答案,解析,(2)(2017石家庄质检)五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的种数为_.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),则获得冠军的可能性有_种.,45,54,五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项,可逐个学生落实, 每个学生有4种报名方法,共有45种不同的报名方法. 五名学生争夺四项比赛的冠军,可对4个冠军逐一落实, 每个冠军有5种获得的可能性,共有54种获得冠军的可能性.,答案,解析,题型三 两个计数原理的综合应用,例3 (1)如图,矩形的
11、对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有_种不同的涂色方法.,260,答案,解析,区域A有5处涂色方法; 区域B有4种涂色方法; 区域C的涂色方法可分2类: 若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法; 若C与A涂不同色,此时区域C有3种涂色方法, 区域D也有3种涂色方法. 所以共有5445433260(种)涂色方法.,(2)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_.,36,第1类,对于每一条棱,都可以与两个
12、侧面均成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有21224(个); 第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个. 所以正方体中“正交线面对”共有241236(个).,答案,解析,利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么. (2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类. (3)弄清分步、分类的标准是什么. (4)利用两个计数原理求解.,思维升华,跟踪训练3 (2017济南质检)如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数为_.,答案,解
13、析,96,按区域1与3是否同色分类: (1)区域1与3同色:先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有 种方法. 区域1与3涂同色,共有4 24(种)方法. (2)区域1与3不同色:先涂区域1与3有 种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有一种方法,第四步涂区域5有3种方法. 这时共有 21372(种)方法. 故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为247296.,典例 (1)把3封信投到4个信箱,所有可能的投法共有 A.24种 B.4种 C.43种 D.34种 (2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4次,轮船有3次,问
14、此人的走法可有_种.,利用两个基本原理解决计数问题,现场纠错系列13,错解展示,现场纠错,纠错心得,(1)应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步. (2)把握完成一件事情的标准,如典例(1)没有考虑每封信只能投在一个信箱中,导致错误.,解析 (1)因为每个信箱有三种投信方法,共4个信箱, 所以共有333334(种)投法. (2)乘火车有4种方法,坐轮船有3种方法, 共有3412(种)方法. 答案 (1)D (2)12,返回,解析 (1)第1封信投到信箱中有4种投法; 第2封信投到信箱中也有4种投法; 第3封信投到信箱中也有4种投法. 只要把这3封信投完,就做完了这件事情, 由分步乘法计数原理
15、可得共有43种方法. (2)因为某人从甲地到乙地, 乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种, 每一种方法都能从甲地到乙地, 根据分类加法计数原理,可得此人的走法共有437(种). 答案 (1)C (2)7,返回,课时作业,1.(2016三门峡模拟)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则不同的监考方法有 A.8种 B.9种 C.10种 D.11种,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d, 假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法, 同理A监考c,d时,也分别有3种不同方法, 由分类加法计数原理,共有3339(种)不同的监考方法.,2.小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,则不同的摆法有 A.4种 B.5种 C.6种 D.9种,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,记反面为1,正面为2, 则正反依次相对有12121212,21212121两种; 有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种,共5种摆法, 故选B.,3.将2名教