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1、1新课程六种版本直线倾斜角、斜率概念的引入比较黄丽生（山东枣庄市第三中学 277100）1 问题的提出 在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质.而解析几何是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法.直线是最简单的、最基本的图形，也是第一次较全面地运用解析几何的基本思想和方法研究的基本图形.而直线倾斜角和斜率又是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，直线的斜率是对直线的位置进行定量研究的基础，也是研究直线性质以及直线与其它曲线位置关系的关键.因此，教学时应帮助学生很好地理解掌握这两个概念
2、，而做好这两个概念的引入教学就显得尤为必要.普通高中课程标准实验数学教科书共有六种不同版本，笔者对这些教材必修中直线的倾斜角、斜率内容进行比较分析，探讨一标多本下，直线斜率概念在内容设置上有什么差异，为什么会产生这些差异（比如：先讲直线的倾斜角还是先讲直线的斜率）？旨在给一线教师提供不同版本对同一内容的不同处理方法，提供可资借鉴的有价值的思路，帮助教师在了解、认清这些差异之后结合自己实际采取最佳方式进行教学，力求达到最佳的教学效果.同时也对教师提出了挑战，面对这么多的版本，教师如何做出选择，体现了教师对整体把握核心概念的认识水平，更考验了新课程背景下教师对数学本质的理解.2 六种不同版本教材直
3、线倾斜角、斜率概念的编写特点比较分析为使大家深刻认识六种版本教材的不同编写特点，下面从两个概念定义的表述及特点分析、两个概念引入的顺序进行比较.2.1 直线倾斜角的定义表述及特点分析直线的倾斜角是确定直线位置的一个几何要素.对于倾斜角的定义有静态定义和动态定义之分，下面分别说明.人教 A 版与人教 B 版（人民教育出版社）均采用静态定义：x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.直线的倾斜角的范围是 ；其余四种版本均采用动态定义，分别是北师大版（北京师范180大学出版社）：把 x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角，叫做直线 l 的倾斜角.
4、 直线的倾斜角的范围是 ；而苏教版（凤180凰传媒集团江苏教育出版社）、湘教版（湖南教育出版社）、鄂教版（湖北教育出版社）对倾斜角的定义是相同的：把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线 l 重合时所得的最小正角 ，叫做直线 l 的倾斜角 . 直线的倾斜角的范围是 . 从以上定义的表述来看，在静态定义中，指出了 x 轴正向与直线 l 向上方向的夹角，只是指出了角的始边、终边，但角的内部不清楚，所以唯一性并不随之确定，因此在人教A 版中紧接其后给出了配套的图形，而在人教 B 版则是紧接着利用斜率给出解释；在采用动态定义中，有两点值得商榷，一是作为定义，应该具有简洁性，按照角的分类，逆时针旋转形
5、成的角是正角，因此，在定义中“正”与“逆时针”两种限定是否不能同时出现？二是苏教版、湘江版、鄂教办的定义中，没有条件“x 轴的正方向”是否欠妥？因为倾斜角是一个图形，如果缺少这个条件，那么根据定义确定的直线的倾斜角就是两个角（互为2对顶角）了.2.2 直线斜率的定义表述及特点分析人教 A 版、鄂教版、湘教版对直线斜率定义的表述差别不大，都是用倾斜角 的正切值反映直线的倾斜程度，定义为直线的斜率.但是给出的过程差异较大，这种差异直接影响学生对学习斜率的必要性的理解.比如在鄂教版中基于方程系数与直线倾斜角关系的分析得到斜率，这样做自然吗，是否会让学生产生在进行数字研究的错觉？另外，人教 A 版采用
6、坡度的例子是想通过类比使学生理解用倾斜角的正切来定义斜率概念的合理性，但是这个直观例子只能说明倾斜角为锐角的情形，倾斜角为钝角时是解释不清楚的，因此具有局限性.人教 B 版对直线斜率的定义是： 根据两点坐标首先求出 的值：k（ ），把直线 中的系数 叫做直线的斜率；苏xyk1221bkxy教版为：基于坡度的分析之后，直接给出定义“已知两点 P（x 1，y 1）, Q（x 2，y 2），如果，那么直线的斜率为 （ ）”；北师大版为：倾斜角21xxyk1221时，当横坐标 从 0 到 1，增加一个单位时，纵坐标 从 0 增加到90x yk，我们称 为这条直线的斜率.通常我们把 也叫做直线的斜率.
7、倾斜角kk tan时，当横坐标 从 0 到 1，增加一个单位时，纵坐标 从 0 减少到18x yk，我们称 为这条直线的斜率.上述六种定义虽然形式不同，但有着内在联系.苏0kk教版与北师大版的两种定义的表述虽然不同，但都是基于对坡度的研究，借用坐标给出的（借助变化率，即导数思想），只是北师大版用的是特殊直线的特殊坐标，之后又予以推广，并且与倾斜角联系起来；苏教版则更一般化，在给出倾斜角定义之后，又建立了斜率与倾斜角之间的联系；人教 B 版和湘教版虽然具体的解决过程不同，但是都避开了角，人教 B 版完全避开了这个问题，利用方程的系数进行定义，并且后续研究也都避开利用角.2.3 直线倾斜角与直线斜
8、率两个概念引入顺序比较在直线的倾斜角之前引入直线斜率的概念有人教 B 版和苏教版，其余四种版本引入直线的斜率概念均是在直线的倾斜角之后.在除湘教版的其它五个版本中斜率是研究直线的基础，直线方程的研究都是基于斜率，而在湘教版中是对直线系统研究之后对斜率进行了介绍和应用.因为湘教版有着与其它五个版本都不同的研究方法，运用向量研究直线，但是在向量研究之后，又给出了倾斜角与斜率的定义.而且湘教版与其它五个版本不同，不是按照数学 1 至 5 的顺序进行的，而是按照第一册到第五册的顺序排列的，分别相当于数学1、4、2、5、3，也就是说在学习解析几何之前就学习了三角函数.按照课标的要求，必修数学 1 是数学
9、 2、3、4、5 的基础，其余四个模块在不影响相关联系和知识准备的条件下，学校可以根据学生的选择和本校的具体情况进行安排，原则上没有要求.因此在数学 2 的学习之前学生有可能已经学习了数学 4，具备三角函数的基础，也有可能没学数学 4，不具备三角函数的基础.于是对直线倾斜角与斜率两个概念出现的顺序，大家就有了不同的看法.3 思考与感悟从以上对直线倾斜角与斜率概念的引入比较分析，可以看出对直线斜率的处理有三种3方式，即正切三角函数、向量、变化率（导数思想），但由于各种版本对教材编写的理念不同，概念的呈现方式和教材的处理方式就各有千秋.下面从数学史、课程的主线、核心概念的把握等角度作进一步探讨.3
10、.1 从学科知识角度看直线斜率概念的引入许多数学本质，只有从历史的发展才能深刻体会（张奠宙）.为此，我们从笛卡儿解析几何理论中看直线斜率的引入. 笛卡儿开创了解析几何一门新的科学. “他的理论以下面两个观念为基础：坐标观念和利用坐标方法把带两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线的观念”.直线斜率的概念就是从第二个观念衍生出来的.因为“在利用第二个观念的时候，最初的想法，也就是首先就会考虑什么样的曲线对应于一次方程”，一次方程中最简单的形式就是只有变量没有常数项的情况，即“讨论方程y = k x，它显然表示这样一条直线，这条直线通过坐标原点而且它与x轴所成的角 的正切值tan 就是 k”.
11、由上可见，在笛卡儿的理论中，直线斜率是在先有直线方程的情况下讨论其所表示的曲线时，才有曲线，即直线的倾斜角定义出来的，它的作用是为了更好地研究方程与曲线之间的关系.基于以上分析，人教B版教材更能够体现笛卡儿解析几何中的思想方法，即先有方程和曲线的关系后有直线的斜率. 人教B版更好地体现了数学新课程标准中的数学课程“具体目标”对数学思想方法这一方面的要求：“了解概念结论等产生的背景，应用、体会其中所蕴含的数学思想方法” .但是，与笛卡儿的思想相比，这种方法并不是完全按照学科内数学知识本身的发展来引入的，因为中学数学概念学习并不是要完全以数学史上知识的发展顺序来进行的，要考虑到中学生知识水平及认识
12、方面的原因以及数学课程标准中的具体课程安排.3.2 从把握高中数学课程的主线看直线斜率概念内容的设置整体地把握高中数学课程，是理解高中数学课程的基点.在高中数学课程中，函数思想，运算思想，几何思想（把握图形的能力） ，算法思想，统计和随机思想，等等，这些都是贯穿在高中数学课程始终的东西，构成高中数学的基本脉络.另一方面，这些思想之间联系密切.它们像一张无形的网，把高中数学课程的所有内容有机地联系起来，抓住了这张网，就可以更好地掌握数学课程，了解实质，提高学习的效率.著名数学家华罗庚先生常常说“既要能把书读厚，又能把书读薄”.读厚，就是要把每一逻辑关系，每一个细节搞清楚，想清楚；读薄，就是能抓住
13、课程的主线，基本脉络，抓住课程的内在联系，形成整体认识.现在，中学教师非常重视细节，这是好的传统，整体是另一方面，也必须重视，在一定程度上，更为重要.湘教版对直线斜率概念的处理与众不同，给人耳目一新.因为湘教版用“主线”把不同模块的内容联系起来.教材注重向学生揭示数学的多样性背后隐藏的思想和方法的主线.教材以“向量”为主线，把代数、几何、三角联系起来，用向量来推导三角公式，展开解析几何，强调数形结合的数学思维方式，并用以解决多种问题.把向量关系作为代数、几何、三角等不同模块中许多问题的数学模型.使学生有以简御繁、以少胜多的工具. 培养学生的数学概括能力和抽象思维能力，提高其数学素养.比如，讲直
14、线的方程时，特别指出一次项系数是直线的法向量的坐标，把直线的平行和垂直问题转化为其法向量的问题.在后继给出的倾斜角和斜率的概念后，又在习题中借助角进行了研究，给出了利用斜率研究直线的位置关系.只教了法向量这一招，就可以在直线方程这一部分打遍天下，代替了对一大堆“知识点 ”和公式的死记硬背，减轻了学生的负担，大大增强了他们解决问题的能力.3.3 从核心概念的把握看直线斜率概念的引入构建中学数学核心概念、思想方法结构体系，对提高数学教学的质量和效益、减轻学生数学学习负担有重要意义，对中学数学课程、教材改革也有积极的影响.强调核心概念、4思想方法，可以使我们的数学教学更好地突出数学的本质，体现数学思
15、想方法的精髓，有利于在教学中消除“去数学化”的倾向.例如，“直线的斜率”概念就是“直线及其方程”一章的核心概念，而“倾斜角”就不是，从前面的分析我们可以看出，有的教材在运用坐标方法研究直线时，先介绍斜率的概念，后引入倾斜角的概念，甚至有的教材直接没有倾斜角的概念，只要稍加分析，就能找到其中的原因.首先，这样做是突出用代数方法研究几何问题的过程，加强代数运算能力的培养用代数方法讨论直线与直线、直线与圆和圆与圆之间的关系可以提高学生用代数方法处理数学问题的能力以苏教版为例，根据“两点确定一条直线”可知，两点就可刻画直线的倾斜程度，联想“坡度”刻画直线倾斜程度的方法，就不难用式子 （记作斜率 k）1
16、2xy来表述；解析几何的本质是用“数”刻画“形”，因而用数 刻画直线的倾斜程度，12符合解析几何的思想，而倾斜角本身包含了形，用它来刻画直线的倾斜程度，就像“倾斜角相等 两直线平行”一样，看似直观，却不能充分体现解析几何的基本思想.其次，在建立直线方程时，倾斜角不是基本要素，学生在后续的学习（如圆锥曲线）中，倾斜角仍然不是核心概念.作为核心概念应该体现基础性、本质性、联系性、应用性等特点，而斜率的概念就具备上述特点.因为，斜率是刻画直线方程的基本要素（基础性）；函数在某点处的导数就是函数图像上该点处切线的斜率（本质性）；斜率与变化率、导数概念相关联（联系性）；坡度是斜率的现实背景（应用性）.鉴于此，倾斜角不能作为核心概念，我们就能理解有些版本的编写意图了.最后，课标已将“两直线的夹角以及一直线到另直线的角”从“内容与要求”中删除，这与大纲明确将此内容作为“直线与圆的方程”的一个教学目标不同，借助倾斜
