新课程中考数学试题设计的探索与实践[J]

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1、新课程中考数学试题设计的探索与实践天津市教育教学研究室刘金英新课程中考数学试题设计的探索与实践内容摘要：本文结合 2008 年天津市中考数学试题的设计，从命题的立意、素材的选取、 试题呈现方式、解决问题的方法以及对数学思想方法的领悟程度等方面出发，在 试题的社会性、人文性、 应用性、新 颖性、探究性等方面进行探索，以寻求新课程中考数学试题设计的途径和方法。2005 年秋季，天津市初中学段起始年级全面启动基础教育课程改革，数学学科使用人民教育出版社出版的义务教育课程标准实验教科书（五四学制）数学（供天津用）（以下简称课标教材）依据教育部下发的关于基础教育课程改革实验区初中毕业考试与普通高中招生制

2、度改革的指导意见 ，2008 年天津市初中毕业学业水平测试（以下简称中考）数学试题的设计，结合天津市课程改革教学实际，从命题的立意、素材的选取、试题呈现方式、解决问题的方法以及对数学思想方法的领悟程度等方面出发，在试题的社会性、人文性、应用性、新颖性、探究性等方面做出了一些有益的尝试，实现了课程改革后第一次中考的平稳过渡一、试题立意关注学生的发展，强调知识重点与核心内容的考查义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展因此，数学试题的设计不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的认知规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解

3、释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展这就需要在数学课程目标、学生水平、教学现实之间寻求一种平衡，探索数学试题设计的途径和方法1编制细目表，考查知识重点根据考查目标，数学试题的设计，首先应列出知识重点与核心内容，将义务教育数学课程标准 、课标教材中所呈现的知识内容进行整体规划，以实现对每一道试题的功能定位“数与代数”领域，重点是数与式、方程与不等式、函数的相关知识，应突出数与代数在研究数量关系和变化规律过程中的作用，从变化和对应的角度理解方程、不等式与函数之间的联系“空间与图形”领域，重点是对平面图形的形状、大小、位置关系及其变换的认

4、识，特别是在图形的运动变化过程中研究几何图形基本要素及其关系的能力“统计与概率”领域，重点是通过统计图表获取信息的能力，通过简单的统计与概率问题的计算，感受统计与概率在实际生活中的应用2划分比例，确定核心内容依据义务教育数学课程标准 ，初中数学学习内容划分为四个学习领域：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用，其中第四部分是前三个学习领域内容的综合与应用参照课标教材对相关内容的课时分配，2008 年天津市中考数学试题，在设计时将各学习领域所占的内容比例分布如下：数与代数 空间与图形 统计与概率题 型题号 分值 题号 分值 题号 分值选择题 4，5，8，10 12 分 1，2，3，7，

5、9 15 分 6 3 分填空题11，12，13，1712 分 15，16，18 9 分 14 3 分解答题19，20，24，2632 分 21，23，25 26 分 22 8 分合计 12 个题 56 分 11 个题 50 分 3 个题 14 分所占比例 467% 417% 116%3设置问题情境，考查数学能力根据考查内容设置问题情境，应包括试题立意的新颖性、情景过程的综合性、问题设计的开放性、思维方法的多元性、探究性解决问题和解答过程的多样性等【案例 1】2008 年天津市中考第（18）题如图， 、 、 、 为四个等圆的圆心， A、 B、 C、 D 为切点，请你1O234O在图中画出一条直线

6、，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图， 、1、 、 、 为五个等圆的圆心，2O345OA、 B、 C、 D、 E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 本题是关于等分圆的面积问题，要求学生在图中画出可以等分四个圆或五个圆的直线，答案不唯一对于图，直线 、 、 、 均满足题目要求，如图，若注意ACBD31O42到经过 与 交点 O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分，将31O42对解决图的问题具有一定的启示对于图，方法一，将 、 、 、 四个圆组成的图形看作一1O234O个整体，就是图的情况，点 O

7、 为对称中心，而点 即为 的对称中心，于55是，经过 、 两点的直线满足条件；方法二，由于 与 为等圆，只要5O 3找出一条直线，既平分 、 、 三个圆组成的图形，又可以使 与124 3O 分别在这条直线的两侧，直线 满足条件，如图，类似地，直线 ,5 A D, 也满足条件；方法三，如图，补 ，则经过 、 两点的直线为2E1C 6O36所求，实际上 为矩形 的对角线，点 为对称中心3O62356D通过这样的设计，一方面，关注了学生对于轴对称图形和中心对称图形概1o234BDA图 图1o2345ABED1o234CBDA图 图1o2345ABCED图1o2345ABCED图1o234ABCE56

8、D念的理解；另一方面，在动手操作、观察、试验、猜想、探究等实验几何的过程中，考查学生在解决问题的过程中所表现出来的基本的数学能力二、试题素材立足于课标教材，重视数学知识的联系与综合为落实数学课程标准的要求，体现数学知识之间的联系，综合运用数学知识解决问题，在试题素材的选取上立足课标教材，使考试评价成为学生进一步学习教材的一种延续2008 年天津市中考数学试题素材的选取主要有以下几种形式：1选自课标教材原题【案例 2】2008 年天津市中考第（19）题解二元一次方程组 .12,853yx本题是课标教材七年级下册“6.3.3 一次函数与二元一次方程（组） ” 的引例，从方程的角度，它是求解一个二元

9、一次方程组的问题；从函数的角度，就是求解两个一次函数图象交点的坐标的问题，使学生体会方程与函数之间的联系2将课标教材原题进行变式【案例 3】2008 年天津市中考第（21）题如图，在梯形 ABCD 中， AB CD， O 为内切圆， E 为切点，（）求 的度数；AOD（）若 cm， cm，求 OE 的长86本题是在课标教材九年级上册“20.2 与圆有关的位置关系”习题中的第12 题的基础上，将题目的背景改编为梯形内切圆问题，解题时主要还是综合运用平行线性质、勾股定理、切线长定理的知识，使应用数学知识解决问题成为教学与评价的双重任务3课标教材内容的拓展【案例 4】2008 年天津市中考第（17）

10、题已知关于 x 的函数同时满足下列三个条件：函数的图象不经过第二象限；A BD CEOCA BEFM N图当 时，对应的函数值 ；当 时，函数值 y 随 x 的增大而增大你2x 0y2x认为符合要求的函数的解析式可以是： （写出一个即可）本题是在课标教材七年级下册“6.2.2 一次函数”例 3 后面的“探究”及例 4 的基础上，综合考查函数的相关内容由于函数的图象以几何形式直观地表示了变量间的单值对应关系，运用函数的图象解决问题，就是应用其中包含的数形结合地研究问题的思想课标教材设置该“探究”栏目的意图，也是通过画函数图象的过程及观察比较，引出关于 对函数增减性影响的归纳于是，k作为课标教材的

11、一种拓展，学习应用由形到数的探究方法讨论函数，成为本题设计的出发点本题的答案不唯一如一次函数 ，一般地2xybkxy都满足条件；反比例函数 ，一般地)02,0(bkk )0(1满足条件；二次函数 ，一般地xy， 3)(xy )(21xay也满足条件)2,0(21a三、试题呈现具有探究性，突出解决问题的过程与方法探究性体现了新的课程理念，学生在学习课标教材时，已体会了对数的规律和模式的探究、对图形运动变化过程中基本几何要素之间关系的探究等只有通过亲身探究和实践，在感知、体验的基础上，知识才能在学生心中真正获得“深层理解” 探究过程本身不仅可以使学生的思维受到最好的锻炼，有利于学生解决问题能力的培

12、养，而且是科学精神、科学态度、科学方法培养的主要途径从中考探究性试题设计的实践来看，此类试题的设计不应孤立地对基础知识和基本技能进行测试，而应放在分析和解决数学问题的背景中去评价，应体现情景性、探究性、开放性和实践性的统一，为那些在日常教学中实实在在进行过探究式学习的学生提供施展才能的机会【案例 5】2008 年天津市中考第（25）题已知 Rt ABC 中， ， ，有一个圆心角为 ，半径的长等90ACBCB45CA BEFM N图于 的扇形 绕点 C 旋转，且直线 CE、 CF 分别与CAEF直线 交于点 M、 NB（）当扇形 绕点 C 在 的内部旋转时，AB如图，求证： ；22思路点拨：考虑

13、 符合勾股定理的形式，需转化为在直角三N角形中解决可将 沿直线 对折，得 ，连 ，只需证 ，EDCNBND就可以了90MDN请你完成证明过程：（）当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图的位置时，关系式 是否仍然成立？若成立，22BNA请证明；若不成立，请说明理由本题第（）问，设计了“思路点拨” ，采用分析法的方式，为学生点明了解决问题的方案，揭示了当“扇形 绕点 C 在 的内部旋转”时，探EFAB究三个变量 之间所存在的不变的关系的方法，即关系式NBMA,符合勾股定理的形式，这正是解决本题的关键和突破口；第22N（）问，以开放、探究性的问题形式出现，意在引导学生在第（）问的基础上，通过观察、类比首

14、先得出猜想，然后再进行证明，关注的是学生对证明必要性的理解、对基本方法以及过程的体验，强调了合情推理能力和演绎推理能力相辅相成的关系另外，本题还可以作进一步的探究，当扇形 CEF 绕点 C 继续旋转一周时，可以验证，关系式 都是成立的，这样，本题可以成为日后进行22BNAM探究式教学活动的一个很好的素材四、试题依托数学思想方法，强化对数学核心概念的理解数学不仅仅是一种重要的“工具”和“方法” ，更重要的是一种思维模式，其表现就是数学思想数学思想是数学基础知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵于数学知识之中，是数学知识的精髓【案例 6】2008 年天津市中考第（26）题已知抛物线 ，cbxay23

15、（）若 ， ，求该抛物线与 轴公共点的坐标；1x（）若 ，且当 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，求1的取值范围；c（）若 ，且 时， ； 时， ，试判断当0cba01x1y12x02y时，抛物线与 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述10xx理由本题是在课标教材九年级上册“21.2 用函数观点看一元二次方程”中“观察”栏目的基础上，探讨二次函数 的图象与 轴交点的问cbxay2x题教材设置“观察”栏目的意图，就是引导学生通过观察二次函数的图象的平移变换，理解一元二次方程的根的几何意义，那么，本题的设计，也正是基于这样一种思路，考查学生对函数思想的领悟程度，以及进一步学习的潜质本题第（）问，求抛物线 与 轴公共点的坐标，实际上就是123xy求相应的一元二次方程 的两个根，体现了函数与方程的联系；第0123x（）问，抛物线 与 轴有且只有一个公共点，表明相应的一元cy二次方程 有且只有一个根，反映在图形上，就是讨论一组抛物线023cx沿对称轴 上下平移时，抛物线与 轴交点的情况，突出了在图形的变换过1x程中，二次函数两个变量之间的对应关系，以及数形结合思想、分情况讨论思想方法的运用；第（）问，在讨论抛物线 的图象特征（开口cbxay23方向、对称轴、顶点坐标）时，必须先借助 之间的大小关