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1、1动作是智慧的根源一、引言 近半个世纪以来,皮亚杰心理学影响着世界各国的中小学教学,尤其是中小学数学教学。皮亚杰指出:“ 动作是智慧的根源” ,任何静态的数学概念都隐含着认知主体的内在动作,数学运算是一种广义的动作。 这些观念为数学课堂教学所采纳,目前小学数学普遍采取动手操作(或以直观方式演示有关操作)的方法。 然而,对于这些在教学实践领域中早已被采用的观念与方法,却缺乏深入的研究,许多问题都停留在知其 然不知其所以然的层面我们知道数学运算是一种广义的动作;但它除了是一种动作之外,还存在哪些区别 于一般动作的规定性?同样我们也知道“动作操作”会增进儿童的数学知识与智慧;但能否认为任意的动手操
2、作都有益于儿童智慧的发展?在数学课堂教学中如何指导儿童动手操作? 本文试图就以上问题作些探讨,以期引起更深入的研究,并期望对进一步改进小学数学课堂教学有所裨益 。 二、数学运算的内在规定性 1.反身性 数学运算“甚至在其较高的表现中,也是正在采取行动与协调行动,不过是以一种内在的与反 省的形式进行的罢了”这里“反省 ”与反身、反思是同义的。 皮亚杰将个体认知活动划归为两类。一类是对客体的认识;另一类是对主体自身动作所进行的反思。前者 带来关于客体的知识;后2者带来数理逻辑知识。 实例一个儿童摆弄 10 个石子,他可以掂一掂以了解其重量;可以摸一摸以了解其表面的光滑度。 “重 量”与“光滑度”是
3、关于对象(石子)本身的知识。此外,儿童还有另一类动作,他将 10个石子排列成不同的 形状,沿着不同的方向点数它们,其总数“10”总是不变的。这里,儿童将手指一一地(不重复也不遗漏)点 向 10 个石子,是具体动作;从这种具体动作中认识到总数“10”总是不变,则是一种反思,是反过来对自身的 具体动作进行思考。具体动作可以有很多种(可以从不同的石子开始,可以沿着不同的方向进行) ,但总数的 “10”却是恒定的。只有通过反思,体会到这种“恒定” ,儿童才真正学会了计数。 这里我们看到儿童进行数学操作与运算离不开具体动作,但具体动作之后的反思比具体动作本身更为重要 。儿童能一一地点数石子,我们也能训练
4、一只小鸡地啄石子,但小鸡不会了解“10”这个数,因为它没有 反思。 数学运算因其反身性,还呈现出一种层次性与相对性。高一级的运算是对低一级的运算所进行的反思、协 调与转换。乘法是对加法的“运算” ;乘方又是对乘法的“运算” 。 2.可逆性 “运算是一种可以逆行的行动,即它能向一个方向进行,也能向相反的方向进行。 ”我们可 以把 1 和 2 相加得到 3;反过来, 也可以用 3 减 2 而还原为 1。任何一种运算,总有一个与之对应的逆运算。 3学生用减法验算加法(或反过来用加法验算减法) ,用除法验算乘法(或反过来用乘法验算除法) ,就是 因为这些运算是可以“逆行”的。对于“合” (加或乘)的结
5、果,我们可以用”分”的动作(减或除)使其还 原到初始状态。 可逆性可以区分为两类,一类是反演可逆(123 ,反过来 3 21) ;一类是互反可逆(6 比 2 多 4,反 过来 2 比 6 少 4) 。 前者表现为相反的操作;后者表现为次序的逆向转换。 3.结合性 运算“是可以绕道迂回的,通过两种不同的方法可以获得相同的结果” 。这就是所谓结合性 。具体到小学数学教学中,结合性体现在两个方面。 其一,体现在运算定律方面:3 443(加法的交换律) ;3 ( 45)3435(乘法的分配律 ) 。这里,每个等式两边是不同途径的运算,但其运算结果却是恒等的;其二,体现在问题解决的一题多解方 面。 问题
6、:男生和女生共植树 450 棵,已知每个同学植树 5 棵,有男生 46 人。问:女生多少人? 对于这一问题可以先求出女生植树多少棵,再除以 5, 得出女生人数:(450546)5 44(人) ;也 可以先求两个班共有多少人,再减去男生 46 人,得出女生的人数:45054644 (人) 。两种解法,具体途 径不同,但结果一样。 至此,我们将可逆性与结合性综合起来考察,则会发现数学运算总是隐含着某些“不变的因素” 。反演可 逆是以相反的运算(如:4以减法来验算加法)使其还原为初始不变的状态。互反可逆是一种相互转换,6 比 2 多 4,2 比 6 少 4,这里差集“4”是不变的。在运算规则里, 运
7、算途径改变了,但运算结果不变。在问题解决中, 具体解法可以各异,但答案是唯一(不变)的。 我们说,数学运算是一种转换。在这种转换过程中,并非所有的东西都发生了改变,总是隐含着某种不变 的因素。正是“不变因素”的存在,才使转换成为可能。 4.结构性 结构性运算,就其现实的存在方式而言, “包括复杂的运算体系,而不是被看作先于这些体系 成分的那些孤立的运算。 ”数学运算总是以结构化的整体的方式而存在。首先,每一种数学运算本身就是一 个结构化的动作。加法包括“合”的动作,也包括计其总数据的动作(这在学龄前儿童的实物操作中,可观察 到;小学一年级儿童,因熟练而逐渐简约化) ;其次,各种运算联合起来,又
8、构成一个大的结构,加是“合” 的动作,减是“分”的动作;乘是加(或合)的简便运算,除是减(或分)的简便运算;加减互为逆运算,乘 除互为逆运算。这许多关系,使四则运算联合成一个大的整体。 三、课堂教学中,指导学生动手操作应注意的问题 在明确了数学运算的内在规定性之后,我们将依照这些规定性,提出在课堂教学中指导儿童动手操作应注 意的问题。 1.引起反省 从以上分析中我们了解到,数学运算是一种反思,具体动作之后的反思比具体动作更为重要 。具体到课堂教学中,我5们在指导学生动作操作时,不应停留在为操作而操作的层面;而应引导学生对其操作 进行思索。以分数概念的教学为例,通常的教法是将分数的具体“操作”和
9、盘托出、呈现给学生。如:将一个 饼平均分成两块,每块是它的 12 。这样的做法只能让学生照葫芦画瓢一样地模仿,而不能调动学生内部的思 考过程。 一般而言,分数是小学生数概念的一次大的扩展。此前,儿童能用加减法层面的“差集” (6 比 2 多 4)或乘 除法层面的“倍数”(6 是 2 的 3 倍)来表示二数比较关系。在倍数中,比较量一般大于(或等于)标准量;分数 的引进是要解决一个全新的问题:当比较量不足一个标准量时,如何表示二数关系。 关于分数概念,这里设计了一种与通常的教法不同的方案,其宗旨在于引起学生思考。关于 “分数概念”的课堂设计: 准备:在黑板上用不同颜色的粉笔画好三条长度不同的线段
10、,准备一根 60 厘米长的木棒(无刻度) ,线段 长度分别是木棒的 3 倍、1 倍、 13。 木棒 白线: 白线长度是木棒长度的 3倍 红线: 红线长度是木棒长度的 1 倍 绿线: 绿线长度是木棒长度的? 教师演示:用木棒分别量白线与红线,并板述;然后量绿线,6提问。 教师:绿线长度是木棒长度的多少? 学生:没有一棒长。 教师:没有“一棒”长,怎么表示? 学生:(有的提出)拿刻度尺把木棒和绿线都量一量。 教师:(量得绿线长 20 厘米,木棒长 60 厘米)那么,绿线长度是木棒长度的多少? 60 厘米 学生:木棒是绿线的 3 倍。 教师:这是我们以前学过的“倍数” ;现在,我们反过来说:以木棒为
11、标准,绿线是木棒的多少? 演示比着绿线将木棒 3 等分(用粉笔在木棒上画刻度) 继续提问现在想一想,怎样表示“绿线是木棒的多少?” ) 导出:将木棒 3 等份,绿线是 3 份中的 1 份。 进而导出:绿线是木棒的 13。 并将 “倍数”与“分数”统一起来:都可表示两个数的比较。 这种方案较之于“和般托出”直接告诉学生的教法,更能调动学生积极的思考过程。也只有进行这样的思 考,儿童才能真正明确分析所蕴含的内部操作。 将有关“操作”和盘托出,不注重激起学生“反思”的教法,与两种不恰当的观念有关。其一是把数学运 算等同于具体动作;其二7是认为内在运算是对外在动作的简单模仿。其实,数学运算应该包括三个
12、呈递进关系 的成分:(1 )具体操作;(2)对具体操作的反省与反思; (3)在反思过程中进行某种转换或重组。 转换是对具体动作的转换,重组是对原有的、已习得的操作的重组。儿童在接触到分数之前,已学会了“ 比较” (一个数是另一个数据的几倍)与“等分” (除法) 。现在面临新的问题:比较量不足一个标准量。在 上述方案中,问题解决的过程,是学生积极思考的过程,也是重组原有“比较”与“等分”等内部操作而构成 分类操作的过程(分数的内部操作包括:比较二数;等分标准量等) 。 2.体会“必然” 在上一小节中,我们强调在让学生动作操作的同时,应引导他们对具体动作进行反思, 并在反思过程中进行转换与重组。但
13、数学运算还具备可逆性与结合性的特征也就是说在转换过程中,并非所有 的因素都发生改变,而总隐含着某种不变的因素。由于某些不变因素的存在,数学运算显示出一种必然性。1 2 一定等于 3;35 一定等于 15;3.1415是圆周与直径的比率,不是人为规定的;在两个班共同植树的实 例中,解法不同而得数是不变的。 对数学运算的必然性的认识,往往是一种不自觉的“必然之感” 。这种必然之感的获得,是儿童形成数学 运算的标志。 指导学生认识数学运算的必然性,可利用日常的实例。数学运算往往都有其现实原型,而且有些原型能明 晰地表征相应运算的涵义。如:教乘法口诀时,可让学生数一数一面窗子的格数。如果竖着有84 行
14、, 每行 5 格, 那么就是 5420 格。 四五二十的口诀就存在于我们对这扇窗子的计数活动之中。它不是人为的任意编出的口 诀,而是“必然”的。 3.融会贯通 数学运算是以结构的方式而存在的。结构化不是将不同的运算(或操作)简单地拼凑成一个 整体,而是要消除各种运算(或操作)之间的“矛盾” 、以达到相互协调。 “关于分数概念的课堂设计”将分数概念放在数概念的扩展(从倍数到分数的扩展)之中,具体设计 了一个问题情境:比较量不足一个标准量(此前,在“倍数”中,比较量总是大于或等于一个标准量) ,如何 表示二数关系。学生面对这一“矛盾” 、积极思考。消解矛盾的过程,同时也是各种操作(倍数与分数)协调
15、 、统一而融会贯通的过程。 四、结语 综上,可以明确:(一)对小学生而言,数学运算既包括具体的动手操作,也包括对动手操作的思索。后 者比前者更为重要。 (二)数学运算总是隐含着“不变的因素” ,具体体现在逆向运算、 逆向转换(6 比 2 多 4 ,那么 2 比 6 少 4) 、运算规则以及问题解决的一题多解等方面。 (三)数学运算总是以结构化的方式而存在。 在于数学运算的内在规定性,本文提出(一)课堂教学中,在指导学生动手操作(或演示有关操作)时, 应引起“反省” 。小学儿童离不开具体动作的支持,但对具体动作的思索更为重要。 (二)在指导学生动手操 作的过程中,让学生体会到“必然”之感,必然之9感的获得,是数学运算形成的标志。 (三)在动作操作过程 中,指导学生通过思考,将各种运算联成整体,融会贯通。 皮亚杰:智慧心理学 ,中国社会科学出版社 1992年版,第 33 页;第 1819 页。第 36 页;第 42 页。 皮亚杰:教育科学与儿童心理学 ,教育文化出版社 1981年版,第 30 页。 皮亚杰:发生认识论 , 教育研究 ,1979 年第 3 期, 第91 页。