动作是智慧的根源

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1、1动作是智慧的根源一、引言 近半个世纪以来，皮亚杰心理学影响着世界各国的中小学教学，尤其是中小学数学教学。皮亚杰指出：“ 动作是智慧的根源” ，任何静态的数学概念都隐含着认知主体的内在动作，数学运算是一种广义的动作。 这些观念为数学课堂教学所采纳，目前小学数学普遍采取动手操作（或以直观方式演示有关操作）的方法。 然而，对于这些在教学实践领域中早已被采用的观念与方法，却缺乏深入的研究，许多问题都停留在知其 然不知其所以然的层面我们知道数学运算是一种广义的动作；但它除了是一种动作之外，还存在哪些区别 于一般动作的规定性？同样我们也知道“动作操作”会增进儿童的数学知识与智慧；但能否认为任意的动手操

2、作都有益于儿童智慧的发展？在数学课堂教学中如何指导儿童动手操作？ 本文试图就以上问题作些探讨，以期引起更深入的研究，并期望对进一步改进小学数学课堂教学有所裨益 。 二、数学运算的内在规定性 1.反身性 数学运算“甚至在其较高的表现中，也是正在采取行动与协调行动，不过是以一种内在的与反 省的形式进行的罢了”这里“反省 ”与反身、反思是同义的。 皮亚杰将个体认知活动划归为两类。一类是对客体的认识；另一类是对主体自身动作所进行的反思。前者 带来关于客体的知识；后2者带来数理逻辑知识。 实例一个儿童摆弄 10 个石子，他可以掂一掂以了解其重量；可以摸一摸以了解其表面的光滑度。 “重 量”与“光滑度”是

3、关于对象（石子）本身的知识。此外，儿童还有另一类动作，他将 10个石子排列成不同的 形状，沿着不同的方向点数它们，其总数“10”总是不变的。这里，儿童将手指一一地（不重复也不遗漏）点 向 10 个石子，是具体动作；从这种具体动作中认识到总数“10”总是不变，则是一种反思，是反过来对自身的 具体动作进行思考。具体动作可以有很多种（可以从不同的石子开始，可以沿着不同的方向进行） ，但总数的 “10”却是恒定的。只有通过反思，体会到这种“恒定” ，儿童才真正学会了计数。 这里我们看到儿童进行数学操作与运算离不开具体动作，但具体动作之后的反思比具体动作本身更为重要 。儿童能一一地点数石子，我们也能训练

4、一只小鸡地啄石子，但小鸡不会了解“10”这个数，因为它没有 反思。 数学运算因其反身性，还呈现出一种层次性与相对性。高一级的运算是对低一级的运算所进行的反思、协 调与转换。乘法是对加法的“运算” ；乘方又是对乘法的“运算” 。 2.可逆性 “运算是一种可以逆行的行动，即它能向一个方向进行，也能向相反的方向进行。 ”我们可 以把 1 和 2 相加得到 3；反过来， 也可以用 3 减 2 而还原为 1。任何一种运算，总有一个与之对应的逆运算。 3学生用减法验算加法（或反过来用加法验算减法） ，用除法验算乘法（或反过来用乘法验算除法） ，就是 因为这些运算是可以“逆行”的。对于“合” （加或乘）的结

5、果，我们可以用”分”的动作（减或除）使其还 原到初始状态。 可逆性可以区分为两类，一类是反演可逆（123 ，反过来 3 21） ；一类是互反可逆（6 比 2 多 4，反 过来 2 比 6 少 4） 。 前者表现为相反的操作；后者表现为次序的逆向转换。 3.结合性 运算“是可以绕道迂回的，通过两种不同的方法可以获得相同的结果” 。这就是所谓结合性 。具体到小学数学教学中，结合性体现在两个方面。 其一，体现在运算定律方面：3 443（加法的交换律） ；3 （ 45）3435（乘法的分配律 ） 。这里，每个等式两边是不同途径的运算，但其运算结果却是恒等的；其二，体现在问题解决的一题多解方 面。 问题

6、：男生和女生共植树 450 棵，已知每个同学植树 5 棵，有男生 46 人。问：女生多少人？ 对于这一问题可以先求出女生植树多少棵，再除以 5， 得出女生人数：（450546）5 44（人） ；也 可以先求两个班共有多少人，再减去男生 46 人，得出女生的人数：45054644 （人） 。两种解法，具体途 径不同，但结果一样。 至此，我们将可逆性与结合性综合起来考察，则会发现数学运算总是隐含着某些“不变的因素” 。反演可 逆是以相反的运算（如：4以减法来验算加法）使其还原为初始不变的状态。互反可逆是一种相互转换，6 比 2 多 4，2 比 6 少 4，这里差集“4”是不变的。在运算规则里， 运

7、算途径改变了，但运算结果不变。在问题解决中， 具体解法可以各异，但答案是唯一（不变）的。 我们说，数学运算是一种转换。在这种转换过程中，并非所有的东西都发生了改变，总是隐含着某种不变 的因素。正是“不变因素”的存在，才使转换成为可能。 4.结构性 结构性运算，就其现实的存在方式而言， “包括复杂的运算体系，而不是被看作先于这些体系 成分的那些孤立的运算。 ”数学运算总是以结构化的整体的方式而存在。首先，每一种数学运算本身就是一 个结构化的动作。加法包括“合”的动作，也包括计其总数据的动作（这在学龄前儿童的实物操作中，可观察 到；小学一年级儿童，因熟练而逐渐简约化） ；其次，各种运算联合起来，又

8、构成一个大的结构，加是“合” 的动作，减是“分”的动作；乘是加（或合）的简便运算，除是减（或分）的简便运算；加减互为逆运算，乘 除互为逆运算。这许多关系，使四则运算联合成一个大的整体。 三、课堂教学中，指导学生动手操作应注意的问题 在明确了数学运算的内在规定性之后，我们将依照这些规定性，提出在课堂教学中指导儿童动手操作应注 意的问题。 1.引起反省 从以上分析中我们了解到，数学运算是一种反思，具体动作之后的反思比具体动作更为重要 。具体到课堂教学中，我5们在指导学生动作操作时，不应停留在为操作而操作的层面；而应引导学生对其操作 进行思索。以分数概念的教学为例，通常的教法是将分数的具体“操作”和

9、盘托出、呈现给学生。如：将一个 饼平均分成两块，每块是它的 12 。这样的做法只能让学生照葫芦画瓢一样地模仿，而不能调动学生内部的思 考过程。 一般而言，分数是小学生数概念的一次大的扩展。此前，儿童能用加减法层面的“差集” （6 比 2 多 4）或乘 除法层面的“倍数”（6 是 2 的 3 倍）来表示二数比较关系。在倍数中，比较量一般大于（或等于）标准量；分数 的引进是要解决一个全新的问题：当比较量不足一个标准量时，如何表示二数关系。 关于分数概念，这里设计了一种与通常的教法不同的方案，其宗旨在于引起学生思考。关于 “分数概念”的课堂设计： 准备：在黑板上用不同颜色的粉笔画好三条长度不同的线段

10、，准备一根 60 厘米长的木棒（无刻度） ，线段 长度分别是木棒的 3 倍、1 倍、 13。 木棒 白线： 白线长度是木棒长度的 3倍 红线： 红线长度是木棒长度的 1 倍 绿线： 绿线长度是木棒长度的？ 教师演示：用木棒分别量白线与红线，并板述；然后量绿线，6提问。 教师：绿线长度是木棒长度的多少？ 学生：没有一棒长。 教师：没有“一棒”长，怎么表示？ 学生：（有的提出）拿刻度尺把木棒和绿线都量一量。 教师：（量得绿线长 20 厘米，木棒长 60 厘米）那么，绿线长度是木棒长度的多少？ 60 厘米 学生：木棒是绿线的 3 倍。 教师：这是我们以前学过的“倍数” ；现在，我们反过来说：以木棒为

11、标准，绿线是木棒的多少？ 演示比着绿线将木棒 3 等分（用粉笔在木棒上画刻度） 继续提问现在想一想，怎样表示“绿线是木棒的多少？” ） 导出：将木棒 3 等份，绿线是 3 份中的 1 份。 进而导出：绿线是木棒的 13。 并将 “倍数”与“分数”统一起来：都可表示两个数的比较。 这种方案较之于“和般托出”直接告诉学生的教法，更能调动学生积极的思考过程。也只有进行这样的思 考，儿童才能真正明确分析所蕴含的内部操作。 将有关“操作”和盘托出，不注重激起学生“反思”的教法，与两种不恰当的观念有关。其一是把数学运 算等同于具体动作；其二7是认为内在运算是对外在动作的简单模仿。其实，数学运算应该包括三个

12、呈递进关系 的成分：（1 ）具体操作；（2）对具体操作的反省与反思； （3）在反思过程中进行某种转换或重组。 转换是对具体动作的转换，重组是对原有的、已习得的操作的重组。儿童在接触到分数之前，已学会了“ 比较” （一个数是另一个数据的几倍）与“等分” （除法） 。现在面临新的问题：比较量不足一个标准量。在 上述方案中，问题解决的过程，是学生积极思考的过程，也是重组原有“比较”与“等分”等内部操作而构成 分类操作的过程（分数的内部操作包括：比较二数；等分标准量等） 。 2.体会“必然” 在上一小节中，我们强调在让学生动作操作的同时，应引导他们对具体动作进行反思， 并在反思过程中进行转换与重组。但

13、数学运算还具备可逆性与结合性的特征也就是说在转换过程中，并非所有 的因素都发生改变，而总隐含着某种不变的因素。由于某些不变因素的存在，数学运算显示出一种必然性。1 2 一定等于 3；35 一定等于 15；3.1415是圆周与直径的比率，不是人为规定的；在两个班共同植树的实 例中，解法不同而得数是不变的。 对数学运算的必然性的认识，往往是一种不自觉的“必然之感” 。这种必然之感的获得，是儿童形成数学 运算的标志。 指导学生认识数学运算的必然性，可利用日常的实例。数学运算往往都有其现实原型，而且有些原型能明 晰地表征相应运算的涵义。如：教乘法口诀时，可让学生数一数一面窗子的格数。如果竖着有84 行

14、， 每行 5 格， 那么就是 5420 格。 四五二十的口诀就存在于我们对这扇窗子的计数活动之中。它不是人为的任意编出的口 诀，而是“必然”的。 3.融会贯通 数学运算是以结构的方式而存在的。结构化不是将不同的运算（或操作）简单地拼凑成一个 整体，而是要消除各种运算（或操作）之间的“矛盾” 、以达到相互协调。 “关于分数概念的课堂设计”将分数概念放在数概念的扩展（从倍数到分数的扩展）之中，具体设计 了一个问题情境：比较量不足一个标准量（此前，在“倍数”中，比较量总是大于或等于一个标准量） ，如何 表示二数关系。学生面对这一“矛盾” 、积极思考。消解矛盾的过程，同时也是各种操作（倍数与分数）协调

15、 、统一而融会贯通的过程。 四、结语 综上，可以明确：（一）对小学生而言，数学运算既包括具体的动手操作，也包括对动手操作的思索。后 者比前者更为重要。 （二）数学运算总是隐含着“不变的因素” ，具体体现在逆向运算、 逆向转换（6 比 2 多 4 ，那么 2 比 6 少 4） 、运算规则以及问题解决的一题多解等方面。 （三）数学运算总是以结构化的方式而存在。 在于数学运算的内在规定性，本文提出（一）课堂教学中，在指导学生动手操作（或演示有关操作）时， 应引起“反省” 。小学儿童离不开具体动作的支持，但对具体动作的思索更为重要。 （二）在指导学生动手操 作的过程中，让学生体会到“必然”之感，必然之9感的获得，是数学运算形成的标志。 （三）在动作操作过程 中，指导学生通过思考，将各种运算联成整体，融会贯通。 皮亚杰：智慧心理学 ，中国社会科学出版社 1992年版，第 33 页；第 1819 页。第 36 页；第 42 页。 皮亚杰：教育科学与儿童心理学 ，教育文化出版社 1981年版，第 30 页。 皮亚杰：发生认识论 ， 教育研究 ，1979 年第 3 期， 第91 页。