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1、 Chapter 1 ? ?Lagrange? ?Newton? ?Hermite? ? ? ? ?Lagrange? 00 ( )( ) ( ) , ( ) n j niii ij n ij j i xx L xl x f xl x xx ? ? ? ? ? ? ? ? (1) 01 ( ) ( )()()() , a,b (1)! n nn f R xxxxxxx n ? ? ? ? ? ? ?Newton? 0001 01101 ( )()() , ()()() , nn N xf xxxf x x xxxxxxf x xx ? ? ? ? (1) 01 ( ) ( )()()() ,
2、a,b (1)! n nn f R xxxxxxx n ? ? ? ? ? (1) 01 ( ) , (1)! n n f f x x xx n ? ? ? ? ? ?Hermite? 21 00 2 2 ( )( ) ( )( )( ) 1 ( )(1 2() ( ) ( )() ( ) nn niiii ii iii j i ij iii Hxh x f xg x fx h xxxlx xx g xxx lx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. Runge? 2.? ? ? 1. M? 2. m? ? 1. P23?3? 2. P35?1.30 ?1.32 1,2,0,1
3、,2,inin? ? 1111 6 (,)6 , iiiiiiii df xx xdf xx x ? ? 1111 ( ,) , (,), iiiiiiii f x xf x xf xxf xx ? ? ? 3. P35?1.33? 4. P29?1? 22nn ? ? ? ( 1)0(1)0ff? 3.?Lagrange? 0 ( ) j i j n ij j i xx l x xx ? ? ? ? ? ? ? ? 01 23 111 ( )()(1) ( )2()(1)(1) 322 81 ( )(1)(1) ( )()(1) 32 l xx xxl xxxx l xx xxl xx xx
4、 ? ? ? ? ?Lagrange? ? f (x0) ? 3 1 2 f (x1) = -?f (x2) ? 0 f (x3) ?1 ? 3 111 ( )()(1)(1)()(1)(1)() 222 L xx xxxxxx xx? ? 4.? ? ? ? ?Lagrange? ? ( )( )0f af b? 1( ) 0L x ? 1 ( )( )( )( ) ( ) ( )()() , , 2! R xf xL xf x f f xxa xba b ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ( ) |( )| |()()| 2! () * 24 1 =() 8 f f xx
5、a xb Mba baM ? ? ? ? ? , xa b? 2 () |()()| |()()| 224 ababba xa xbab ? ? 5.? ?Lagrange? 020112 2012 010210122021 ()()()()()() ( )()( )() ()()()()()() xxxxxxxxxxxx L xf xf xf x xxxxxxxxxxxx ? ? ? ? 012 012 81 100 121 ()9 ( )10 ()11 xxx f xf xf x ? ? ? 2 9111 ( )(100)(121)(81)(121)(100)(81) 760399840
6、L xxxxxxx? ? ? 105x ? 2(105) 10.248L? 2012 5 5 2 3 2012 ( ) ( )()()(),81,121 3! 33 ( ) |( )|9 88 ( ) |( )| |()()()| 2.03 10 3! f R xxxxxxx fxxf f R xxxxxxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 | 105(105)| 1.17 10L ? ? 0 -1 3 1 2 5 2/3 2 3 7 2 1/3 3 4 5 -2 -2 -7/15 6.?Newton? ? i x( ) i f x 1 , ii f xx ?21 , ii
7、i f xxx ?321 , iiii f xxxx ? i 217 ( )3(1)(1)(2)(1)(2)(3) 3315 (1.2)2.4016 N xxxxxxx N ? ? 8.计算差商 解：差商及差商表等相关定义参见1.3节。 本题利用定义及P24式1.19， (1) 01 ( ) , (1)! n n f f x x xx n , 10 01 10 017 018 (2 )(2 ) 2 ,2 2089 22 2 ,2 ,2 1 () 2 ,2 ,2 0 ff f f f ,最高项系数 , 10.? ?1.9?1.10? ?12?14? 12.? ? ? ? 0123 ( )( )
8、(0)( ) (1)( ) (3)( )(3)P xt x ft x ft x ft x f 0123 0123 0123 0123 (0)1, (0)0, (0)0, (0)0 (1)0, (1)1, (1)0, (1)0 (3)0, (3)0, (3)1, (3)0 (3)0, (3)0, (3)0, (3)1 tttt tttt tttt tttt （基函数法） 12.? ? ? ? ? ? ? 0123 , , ,t t t t 22 11571 ( )(1)(3)(0)(3)()(1) (3)(1)(3)(3) 9436126 P xxxfx xxxxfx xxf ( )( )( )
9、R xf xH x (0)(1)(3)(3)0RRRR 2 ( )( )* (1)(3)R xk xx xx 2 ( )( )( )( )* (1)(3)tf tP tk xt tt 12.? ? ? ? ?5? ?Rolle? ? ? ? ? (0)(1)(3)(3)( )0x ( ) x (4) ( )x (4)(4) ( )( )( )*4!0fk x (4)(4) 2 ( )( ) ( )( )(1)(3) 4!4! ff k xR xx xx ? ,? ? k=1? ? ? ? ? ? ? , m fPmk 011 ,., m k k f x xxxP 0 00 0 ( )() ,
10、,( )()=0 f xf x f x xf xf x xx ? 0 ( )()f xf x 0 xx 0 , f x x m fP m-1 0 , f x xP ? ,? ?k,? ? ? ? , m fPmk 011 ,., m k k f x xxxP 1 0121 ,., m k k f x x xxxP 0101 0 ,., ,., ,., kkk k k f xxxf xxx f xx x xx 0 ,., k f xx x 0 ,., m k k f xx xP 证明： 2 1 2 1122 ( ) , ,( ,( )( ,( )( ), 1 |( )| |( )-( )|(),
11、max|( )| 8 a x b f xC a ba f ab f bL x R xf xL xbaMMfx 设由和构造的插值函数为则有 11 2 1 2 2 ( ) ( )( )( )()() 2 ( )()(), ( )()()2() g()0,| 22 ( ) |( )| |()()|()()| 2222 1 () 8 f R xf xL xxa xb g xxa xb g xxaxbxab abab xg x Mfabab R xxa xbab baM 令则： 是 （ ）的极大值点。 证毕。 证明： 01 012 3 22110 , 3 |( )|max |( )|. 27 xx x
12、x x x R xhfxhxxxx 已知等距插值点证明：二次插值多项式的误差界为 ，其中 02 02 22012 00 2012 ( ) ( )( )( )()()() 2 ,02,0,1,2. 1 |( )|max |( )|()()()| 3! ! max |( )| (1)(2)| 3! ! i xx x xx x n f R xf xL xxxxxxx xxthtxxih i R xfxxxxxxx h fxt tt h 根据 次插值多项式误差公式，有： 令则 02 02 max |( )|max| (1)(2)| (*) 3! xx xt fxt tt 证明： 01 012 3 22
13、110 , 3 |( )|max |( )|. 27 xx x x x x R xhfxhxxxx 已知等距插值点证明：二次插值多项式的误差界为 ，其中 01 2 12 12 02 3 2 ( -1)( -2)0,2 33 g( )36201,1 33 2 32 3 g(0)0,( ),( ),g(2)0 99 2 3 max|( )|* 9 3 ( )|max |( )| 27 t xx x g tt ttt ttttt g tg t g t R xhfx 计算（）在的极大值： 故：。代入（ ）式，得： 证毕。 解： 001 (),(),( ), ( ) f xfxf x H x 给定构造满足上述插
