《2018届高三数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第三节 导数与函数的极值、最值 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第三节 导数与函数的极值、最值 文（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课标版,节 导数与函数的极值与最值,1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数 值 都小 , f (a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f (x)0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x) 的极小值.,教材研读,(2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数 值 都大 , f (b)=0,而且在点x=b附近的左侧 f (x)0 ,右侧 f (x)0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x) 的极大值, 极大值
2、和 极小值 统称为极值. 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在a,b上有最值的条件: 一般地,如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤: (i)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 ; (ii)将函数y=f(x)的各极值与 端点处 的函数值f(a)、 f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,1.函数f(x)的定义域为R,导函数 f (x)的图象如图所示,则函数f(x) ( ) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极
3、大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点,答案 C 设f (x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、 x2、x3、x4. 当x0, f(x)为增函数, 当x1xx2时, f (x)0, f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大 值点,x=x2,x=x4为极小值点,故选C.,2.函数y=xex的最小值是 ( ) A.-1 B.-e C.- D.不存在 答案 C y=xex,y=ex+xex=(1+x)ex.当x-1时,y0;当x-1时,y0.当 x=-1时函数取得最小值,且ymin=- .故选C.,3.函数f(x)=x-aln x(a0)的极小值为
4、. 答案 a-aln a 解析 f(x)=x-aln x(a0),f(x)的定义域为(0,+), f (x)=1- (a0), 由f (x)=0,解得x=a. 当x(0,a)时, f (x)0, 函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a.,考点一 运用导数研究函数的极值 典例1 (2016广西桂林、崇左联考)设a0,函数f(x)= x2-(a+1)x+aln x. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3, f(3)处切线的斜率; (2)求函数f(x)的极值. 解析 (1)f(x)的定义域为(0,+). 当a=2时, f (x)=x-3+ , 曲线y=f(x)在
5、点(3, f(3)处切线的斜率为f (3)= . (2)f (x)=x-(a+1)+ = = . 由f (x)=0得x=1或x=a. 若00,函数f(x)单调递增;,考点突破,当x(a,1)时, f (x)0,函数f(x)单调递增. 当x=a时, f(x)取极大值f(a)=- a2-a+aln a, 当x=1时, f(x)取极小值f(1)=-a- . 若a1,当x(0,1)时, f (x)0,函数f(x)单调递增; 当x(1,a)时, f (x)0,函数f(x)单调递增. 当x=1时, f(x)取极大值f(1)=-a- ; 当x=a时, f(x)取极小值f(a)=- a2-a+aln a. 若
6、a=1,当x0时, f (x)0,函数f(x)单调递增,没有极值点.,综上,当01时, f(x)的极大值为-a- ,极小值为- a2-a+aln a;当a=1时, f(x)没有 极值. 方法技巧 运用导数求可导函数y=f(x)极值的步骤: 先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f (x); 求方程f (x)=0的根; 检查f (x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个 根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果左 右符号相同,则此根处不是极值点.,1-1 若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则实数c的取值范围为 ( ) A. B.
7、C. D. ,答案 D 若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则f (x)=3x2-4cx+1=0有两个不 相等的实根,故 =(-4c)2-120,从而c 或c- .,1-2 (2016黑龙江哈三中期末)已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点, 那么函数f(x)的极大值为 ( ) A.15 B.16 C.17 D.18,答案 D x=2是函数f (x)=x3-3ax+2的极小值点,即x=2是f (x)=3x2-3a=0 的根,将x=2代入得a=4,所以函数解析式为f(x)=x3-12x+2,则由3x2-12=0,得 x=2,故函数在(-2,2)上是减函数,在(-,-2),(
8、2,+)上是增函数,由此可 知当x=-2时函数f(x)取得极大值f(-2)=18.,考点二 运用导数研究函数的最值 典例2 (2016甘肃兰州模拟)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间0,1上的最小值. 解析 (1)f (x)=(x-k+1)ex. 令f (x)=0,得x=k-1. f(x)与f (x)的变化情况如下表:,所以, f(x)的单调递减区间是(-,k-1);单调递增区间是(k-1,+). (2)当k-10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增, 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k; 当0k-11,即1k2时,
9、由(1)知f(x)在0,k-1)上单调递减,在(k-1,1上单调递增,所以f(x)在区间0, 1上的最小值为f(k-1)=-ek-1; 当k-11,即k2时,函数f(x)在0,1上单调递减, 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e.,方法技巧 求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点的函数值f(a), f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a), f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值.,2-1 函数f(x)=ln x-x在区间(0,e上的最大值为 ( ) A.1-e B.-1 C
10、.-e D.0,答案 B 因为f (x)= -1= ,当x(0,1)时, f (x)0;当x(1,e时, f (x) 0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e,所以当x=1时, f(x)取得最大值ln 1-1=-1.,2-2 (2015课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围. 解析 (1)f(x)的定义域为(0,+), f (x)= -a.若a0,则f (x)0,所以f(x)在 (0,+)上单调递增. 若a0,则当x 时, f (x)0; 当x
11、时, f (x)0, 所以f(x)在 上单调递增, 在 上单调递减.,(2)由(1)知,当a0时, f(x)在(0,+)上无最大值; 当a0时, f(x)在x= 处取得最大值,最大值为f =ln +a =-ln a+ a-1. 因此f 2a-2等价于ln a+a-11时,g(a)0. 因此,a的取值范围是(0,1).,考点三 函数的极值与最值的综合问题 典例3 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y +1=0,当x= 时,y=f(x)有极值. (1)求a,b,c的值; (2)求y=f(x)在-3,1上的最大值和最小值. 解析 (1)由f(x)
12、=x3+ax2+bx+c, 得f (x)=3x2+2ax+b. 由曲线y=f(x)在点x=1处的切线l的斜率为3,可得31+2a+b=3, 当x= 时,y=f(x)有极值,则f =0, 即3 +2a +b=0,由,解得a=2,b=-4. 由于切点的横坐标为1, 所以f(1)=4. 所以1+a+b+c=4,得c=5.,(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5, f (x)=3x2+4x-4. 令f (x)=0,解得x1=-2,x2= . f (x), f(x)的取值及变化情况如下表:,所以y=f(x)在-3,1上的最大值为13,最小值为 .,方法技巧 1.当连续函数在开区间内的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数 的最值点;,2.极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值.,3-1 已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16. (1)求a,b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在-3,3上的最小值. 解析 (1)f(x)=ax3+bx+c, 故f (x)=3ax2+b, 由于f(x)在点x=2处取得极值c-16, 故有 即 化简得 解得a=1,b=-12.,此时f(-3)=9+c=21, f(3)=-9+c=3, f(2)=-16+c=-4, 因此f(x)在-3,3上的最小值为f(2)=-4.,
