《2018届高三数学一轮复习 第十一章 统计、统计案例 第二节 用样本估计总体 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学一轮复习 第十一章 统计、统计案例 第二节 用样本估计总体 理（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、理数 课标版,节 用样本估计总体,1.常用统计图表 (1)频率分布表的画法: 第一步:求 极差 ,决定组数和组距,组距= ; 第二步: 分组 ,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一 组取闭区间; 第三步:登记频数,计算频率,列出频率分布表.,教材研读,(2)频率分布直方图:反映样本频率分布的直方图. 横轴表示样本数据,纵轴表示 ,每个小矩形的面积表示样本 落在该组内的 频率 . (3)茎叶图的画法: 第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分; 第二步:将各个数据的茎按 大小 次序排成一列; 第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧.,2.样本的数字特征 (1)众数、中位
2、数、平均数,(2)标准差、方差 (i)标准差:表示样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示, s= . (ii)方差:标准差的平方s2叫做方差. s2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2 ,其中xi(i=1,2,3,n)是 样本数据 , n是 样本容量 , 是 样本平均数 .,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在频率分布直方图中,小矩形的高表示频率. () (2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1. () (3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写,相同的数据可以只记一次. () (4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势. ()
3、(5)一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大. (),1.一个容量为32的样本,已知某组样本的频率为0.25,则该组样本的频数 为 ( ) A.4 B.8 C.12 D.16 答案 B 样本的频数=320.25=8.,2.把样本容量为20的数据分组,分组区间与频数如下:10,20),2;20,30),3; 30,40),4;40,50),5;50,60),4;60,70,2,则在区间10,50)上的数据的频率 是 ( ) A.0.05 B.0.25 C.0.5 D.0.7 答案 D 由题意知,在区间10,50)上的数据的频数是2+3+4+5=14,故 其频率为 =0.7.,3.某雷达测速区
4、规定:凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”, 并将受到处罚.如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检 测后所作的频率分布直方图,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有 ( ),A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆 答案 B 从频率分布直方图可知,车速大于或等于70 km/h的频率为 0.0210=0.2,而样本容量为200,所以被处罚的汽车约有2000.2=40辆.,4.如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图,那么这8位学生得分的众 数和中位数分别为 . 答案 93,92 解析 依题意,结合茎叶图,将题中的数由小到大依次排列得到:86,86, 90,91,93,93
5、,93,96,因此这8位学生得分的众数是93,中位数是 =92.,5.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. (1)平均命中环数为 ; (2)命中环数的标准差为 . 答案 (1)7 (2)2 解析 (1) = (7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7.,(2)方差s2= (7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7- 7)2+(4-7)2=4. 标准差s=2.,考点一 频率分布直方图,考点突破,典例1 我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用 水,
6、计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x (吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议 价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的 月均用水量(单位:吨),将数据按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成9组,制成 了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中a的值; (2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并 说明理由.,解析 (1)由频率分布直方图知,月均用水量在0,0.5)中的频率为0.08 0. 5=0.04, 同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,
7、4),4,4.5)中的频率分别为0.08, 0. 20,0.26,0.06,0.04,0.02.,由0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30. (2)由(1)知,100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+ 0.02=0.12. 由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3 吨的人数为300 0000.12=36 000.,方法技巧 解决关于频率分布直方图的问题,关键在于找出图中数据之间的联系. 从图中可直接看出组距、 ,从而可间接计算出频率(小长方形的面 积).解决直方图的有关问题时
8、,常用到两个等量关系:小长方形的面积= 组距 =频率,小长方形的面积之和等于1(频率之和等于1). 1-1 (2016山东,3,5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位: 小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5, 30,样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根据 直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ( ),A.56 B.60 C.120 D.140 答案 D 由频率分布直方图知200名学生每周的自习时间不少于22.5 小时的频率为1-(0.02+0.10)2.5
9、=0.7,则这200名学生中每周的自习时间,不少于22.5小时的人数为2000.7=140,故选D.,1-2 为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取了部分高一学生进 行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图,若图 中从左到右各个小长方形的高之比为24171593,且样本数据 落在第2小组的频数为12. (1)样本数据落在第2小组的频率为 ; (2)抽取的学生中一分钟跳绳次数在第3小组的人数为 . 答案 (1)0.08 (2)51 解析 (1)由于在频率分布直方图中,各个小长方形的高之比=各个小长 方形的面积之比=各组的频率之比,所以样本数据落在第2小组的频率 为 =0.08
10、. (2)由于各小组的频率之比=小长方形的高之比,所以设抽取的学生中一 分钟跳绳次数在第3小组的人数为x,则有417=12x,解得x=51.,考点二 茎叶图 典例2 (2015课标,18,12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如 下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满
11、意度评分的茎叶图,并通过茎叶图 比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给 出结论即可);,(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:,记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等 级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生 的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.,解析 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:,(3分) 通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户 满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意 度评分比较分散. (6分),(2)记CA1表示事件:“A地区用户的
12、满意度等级为满意或非常满意”; CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”; CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”; CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”, 则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥, (8分) C=CB1CA1CB2CA2.,P(C)=P(CB1CA1CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2). 由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为 , , , , 故P(CA1)= ,P(CA2)= ,P(CB1)= ,P(CB2)= ,P(C)= +
13、 = 0.48. (12分),规律总结 (1)茎叶图的绘制需注意:“叶”的每个位置上只有一个数字,而 “茎”的每个位置上的数的位数一般不需要统一;重复出现的数据要 重复记录,不能遗漏,特别是“叶”的位置上的数据. (2)茎叶图通常用来记录两位数的数据,可以用来分析单组数据,也可以 用来比较两组数据.通过茎叶图可以确定数据的中位数,数据大致集中 在哪块茎,数据是否关于茎对称,数据分布是否均匀等.,2-1 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组 数据的中位数和平均数分别是 ( ),A.91.5和91.5 B.91.5和92 C.91和91.5 D.92和92 答案 A 将这组数
14、据从小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96. 故中位数为 =91.5. 平均数为91+ =91.5.,2-2 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听 力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平 均数为16.8,则x,y的值分别为 ( ),A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8,答案 C 甲组数据的中位数为15=10+x,x=5. 又乙组数据的平均数为 =16.8,y=8. x,y的值分别为5,8.,考点三 样本的数字特征 典例3 (2015广东,17,12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表.,(1)用系统抽样法从36名工人
15、中抽取容量为9的样本,且在第一分段 里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的均值 和方差s2; (3)36名工人中年龄在 -s与 +s之间的有多少人?所占的百分比是多少 (精确到0.01%)? 解析 (1)由系统抽样,将36名工人分为9组(4人一组),每组抽取一名工 人. 因为在第一分段里抽到的是年龄为44的工人,即编号为2的工人, 故所抽样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)均值 = =40;,方差s2= (44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2
16、+(44- 40)2+(43-40)2+(37-40)2= . (3)由(2)可知s= . 由题意知,年龄在 内的工人共有23人, 所占的百分比为 100%63.89%.,规律总结 平均数与方差都是重要的数字特征,是对数据的一种简明描述,它们所 反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描述数据集中 趋势,方差和标准差描述数据波动大小. 3-1 (2017河南信阳三中月考)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况, 随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:)制成如图所 示的茎叶图. 考虑以下结论:,甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温; 甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气
