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1、最优价格和广告投资资金计算摘要商品经济中产品的定价直接关系到收益，并且生产商对推广的投资如广告等对收益也起到巨大作用。本文针对产品生产中定价问题，以及产品推广过程中所耗成本问题，利用题目所给数据，运用拉格朗日乘子法解决了收益最大的实际问题，提出了在所给条件下，使收益最大化的定价和广告投资方案。对于问题一，此计算机制造厂商在有降低价格可使销量提高和增加广告预算可使销量提高两个条件下，我们利用题中所给信息，列出利润关于定价和广告费用的方程，建立一个有约束最优化模型，并根据题中所给限制，使用拉格朗日乘子法，利用Excel以及Mathematica软件求得约束条件下使总利润达到最高的价格和广告预算。对
2、于问题二，要讨论决策变量（价格和广告费）关于价格弹性系数（数据50%）的灵敏性。先分析对于决策变量（价格和广告费其中之一）有单独变化时，价格弹性系数对单一决策变量的影响，分别做出图表。由此求得决策变量（价格和广告费）对价格弹性系数的灵敏性。对于问题三，根据题中所给信息，要讨论决策变量（价格和广告费）关于销售弹性系数（广告商估计的每增加10000美元/月的广告费，可多售200台这一数据）的灵敏性。先分析对于决策变量（价格和广告费其中之一）有单独变化时，销售弹性系数对单一决策变量的影响，分别做出图表。由此求得决策变量（价格和广告费）对销售弹性系数的灵敏性。对于问题四，在问题一中求得的乘子值具有一个
3、现实意义，即单位定价和单位广告费用对销售量增量的数值关系。这个数值描述的是变量对因变量影响的效率。根据此意义，可以做出适当的建议，来对决策提供帮助。在获取更多试验数据的情况下，能得到关于价格和广告费用对销售量影响的更精确的结果，同时可以此为基础，建立另一种模型，得到价格和广告费用对销售量增量影响的效率。尤其对于广告费用对销售量的影响，其基于商品的推广效应，不是具象化的量或关系，所以此研究也极有意义。限于问题限制，本文不一一赘述。关键词：拉格朗日乘子法，利润，广告预算，决策变量，销售弹性系数一、问题提出一家个人计算机制造厂商现在每个月售出10000台基本机型的计算机。生产成本为700美元/台。批
4、发价为950美元/台。在上一个季度中，制造厂商在几个座位试验的市场将价格降低了100美元，其结果是销售量提高了50%。（1）利用有约束最优化模型和拉格朗日乘子法求使利润达到最高的价格和广告预算。（2）讨论决策变量（价格和广告费）关于价格弹性系数（数据50%）的灵敏性。（3）讨论据决策变量关于广告商估计的每增加10000美元/月的广告费，可多售200台这一数据的灵敏性。（4）在（1）中求出的乘子值是多少？它的实际意义是什么？你如何利用这一信息来说服最高管理层提高广告费用的最高限额？二、基本假设1、在批发价950美元/台基础上，价格每降低100美元，销售量提高50%，即设在10000台的基础上增加
5、m台（m=50%10000）。2、广告投资在每月投入50000美元基础上，每增加10000美元，销售量在10000台基础上增加n台（n=200）。三、符号说明符号意义单位备注p每台计算机定价美元q每月广告预算美元x总销量台/月P销售额美元/月C总成本美元/月W利润美元/月m在批发价的基础上，售价每降低100美元，销售量在每月10000台基础上增加m台台/月n广告预算在每月投入50000美元基础上，每增加10000美元，销量在10000台基础上增加n台台/月四、问题分析4.1 问题分析在实际商品经济中，商品定价和广告预算共同影响商品成本以及销售量，进而影响利润。本题中，每台计算机定价的多少直接关
6、系单个商品利润的多少，但是定价降低，单个商品利润减少，而月销售量会随之增加，从而总体利润受到影响。所以存在一个最优价格使总体利润最大。对于广告费用，其投入增大，使成本增加，但是会使销售量增加，从而影响总体利润。因此广告费用同样存在一个最优值，使总体利润最大。我们列出每台计算机定价p、每月广告预算q两变量在假设条件和约束条件下同月利润的函数关系方程，再利用多变量优化模型中的拉格朗日乘数法求解方法，从而求解出条件下的最优解。五、模型的建立与求解5.1 问题一模型建立与求解5.1.1 问题一模型的建立在批发价的基础上，每降低100美元，销售量在每月10000台的基础上增加50%（在这里我们选用倍数模
7、型，即销售量的增加量是固定值，为10000台的50%，即5000台），将增加的台数记为m。在每月投入广告费用50000美元的基础上，每增加10000美元，则销售量在每月10000台的基础上增加n台。约束条件：按照假设，其中，所以约束条件为 又因为新方案必须在比原有方案获利更多的情况下才能执行，所以有另一约束条件（舍）或 。综上，最终的约束条件为5.1.2 问题一模型的求解这是多变量有约束最优化模型，使用拉格朗日乘子法求解。1、 首先确定目标函数的可行域（如图1-1）。2、 的梯度为在可行域内，所以最大值在边界达到。 在时，； 在时，； 在时，； 在时，。时，此时；时，此时；时，时，得，下面计算
8、W在曲线上的最大值。记。令，所以由得 。所得值不在可行域范围内，所以舍去。所以W的最大值为美元，此时，。5.2 问题二模型建立与求解5.2.1 问题二模型的建立由于模型假设中的条件（价格降低了100美元，其结果是销售量提高了50%）是估计和预测的，所以下面研究决策变量中价格关于价格弹性系数（数据50%）的灵敏性。首先分析定价对价格弹性系数的灵敏性，因为即价格弹性系数，可化简为对的灵敏性分析。假设广告预算在每月投入50000美元基础上，每增加10000美元，销量在10000台基础上增加台，不变。，将代入得所以。因为q对于p对m的灵敏度不产生影响，所以取，所以上式可以写为。5.2.2 问题二模型的
9、求解对于对的灵敏度不产生影响，取，所以上式可以写为。做出的图像和取值列表如下图2-1和表2-11图2-1m10002000300040005000p1325.0 1075.0 991.7 950.0 925.0 m600070008000900010000p908.3 896.4 887.5 880.6 875.0 表2-1用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。对的敏感程度记为，定义为。利用前面的结果，可得。当时，可算出，即每增加1%，减少0.108%。5.3 问题三模型建立与求解5.3.1 问题三模型的建立下面分析决策变量关于广告商估计的每增加10000美元/月的广告费，可多售200台这一数
10、据的灵敏性。假设在批发价的基础上，售价每降低100美元，销售量在每月10000台基础上增加台的不变。，所以，取，则，所以。5.3.3 问题三模型的求解做出的图像及列表，如图3-1和表3-1图3-1n160170180190200q-n210220230240250q-表3-1同问题一，用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。对的敏感程度记为，定义为，所以，当时，。即每增大1%，减少0.7576%。综上所述，和的微小变化对模型结果影响不大。5.4 问题四模型建立与求解5.4.1 问题四模型的求解由问题一的求解得，。实际意义为每提高一个单位商品定价，月销售量的增加量降低15个单位；同时每提高一个单位
11、广告预算，月销售量的增量降低15个单位。它代表了对这个公司来讲价格变动和广告预算变动的价值。如果公司提高计算机的单价，月销售量会增加，但增加的幅度逐渐减小；另一方面，广告费用投入越多，月销售量同样会增高，但同样增加的幅度在逐渐减小。所以降价和投入广告费用对提高销售量有一个效率关系，在一定的范围内，降价或投入广告费用才值得。对此我们可以建立另外一种模型，关于降价和投入广告费用对销售量增量的影响，同时求得两者变化对增加销售量的成本效率，即“用最少的钱，获取最大的效益”。如果在此模型中，广告费用投入在元左右仍能保持对增加销售量的高效率，则可以据此说明提高广告费用的重要性。关于此问题的模型则不一一赘述
12、。六、模型的评价与推广7.1 模型的评价在商品销售过程中，销售商需要根据消费者对价格因素以及产品影响力因素的反应做出相应的销售计划。价格因素即产品定价，是直接关系到商品的利润和销售量的；产品影响力，则是商品在广告投入上的体现。此模型的优点在于，它充分考虑了价格因素和产品影响力因素的共同作用，同时对这个作用的敏感性进行了分析，以利润为目标函数，简单明了的得出了在现有公司政策下获得最大利润的方案。同时缺陷在于一些结果的精确性得不到验证。这个不精确性来自于假设的理想化，理想化的假设是模型简单，但也使结果的精确性降低。7.2 模型的推广本问题中，有两个理想假设：1、在批发价950美元/台基础上，价格每
13、降低100美元，月销售量提高50%。2、广告投资在每月投入50000美元基础上，每增加10000美元，销售量在10000台基础上增加200台。针对上面第一种情况，对月销售量的影响的理解有两种，一种是我们解答过程中对此的理解，即价格每降低100美元，月销量是在10000台基础上提高50%；另一种理解是价格每降低100美元，月销量在上月月销量基础上提高50%，也就是说是一个累积的过程。由于数学知识水平有限，为了简便解答过程，我们选择了第一种理解，使用第二种理解的话，理论上更加准确。然而，题中假设和实际中仍旧有应差距，是理想化的。七、参考文献1 姜启源等, 数学模型（第三版），高等教育出版社，200
14、3年8月2 利用Mathematica画平面区域，http:/ 附录清单附录1：问题一所用的Mathematica程序编码附录2：问题二所用的Mathematica程序编码附录3：问题三所用的Mathematica程序编码8.2 附录正文附录1：问题一所用的Mathematica程序编码可行域图像程序附录2：问题二所用的Mathematica程序编码附录3：问题三所用的Mathematica程序编码深入贯彻落实科学发展观和党的十七届五中全会，及全国、省、市纪委工作会议精神，坚持以人为本、执政为民理念，坚持标本兼治、综合治理、惩防并举、注重预防的方针，弘扬理论联系实际的马克思主义学风actively carry out the law on civil air defense education, drawn out of the air defense in
