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1、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -1 1 1页页页电子教案电子教案第一章第一章 信号与系统信号与系统1.11.1绪绪言言一一、信号的概念信号的概念二二、系统的概念系统的概念1.21.2信号的描述与分类信号的描述与分类一一、信号的描述信号的描述二二、信号的分类信号的分类1.31.3信号的基本运算信号的基本运算一一、加法和乘法加法和乘法二二、时间变换时间变换1.41.4阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数一一、阶跃函数阶跃函数二二、冲激函数冲激函数三三、冲激函数的性质冲激函数的性质四四、序列序列(k)和和(k)1.51.5系统的性质
2、及分类系统的性质及分类一一、系统的定义系统的定义二二、系统的分类及性质系统的分类及性质1.61.6系统的描述系统的描述一一、连续系统连续系统二二、离散系统离散系统1.71.7LTILTI系统分析方法概系统分析方法概述述点击目录点击目录，进入相关章节进入相关章节信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -2 2 2页页页电子教案电子教案思考问题思考问题：什么是信号什么是信号？什么是系统什么是系统？为什么把这两为什么把这两个概念联系在一起个概念联系在一起？一一、信号的概念信号的概念1. 消息消息(message):人们常常把来自外界的各种报道
3、统称为人们常常把来自外界的各种报道统称为消息消息。消息消息：反映知识状态的改变反映知识状态的改变。2. 信息信息(information):通常把消息中有意义的内容称为通常把消息中有意义的内容称为信息信息。信息量信息量=收到消息前对某事件的无知程度收到消息前对某事件的无知程度收到消息后对某事件的无知程度收到消息后对某事件的无知程度1.1 绪言绪言第一章第一章 信号与系统信号与系统它是信息论中的一个术语它是信息论中的一个术语。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -3 3 3页页页电子教案电子教案1.1 绪论绪论3. 信号信号(sign
4、al):信号信号是信息的载体是信息的载体。通过信号传递信息通过信号传递信息。信号我们并不陌生信号我们并不陌生，如刚才铃如刚才铃声声 声信号声信号，表示该上课了表示该上课了；十字路口的红绿灯十字路口的红绿灯光信号光信号，指指挥交通挥交通；电视机天线接受的电视信息电视机天线接受的电视信息电电信号信号；日常生活中的文字信号日常生活中的文字信号、图像信图像信号号、生物电信号等等生物电信号等等，都是信号都是信号。为了有效地传播和利用信息为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号换成便于传输和处理的信号。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与
5、系统教研中心第第第1 1 1- - -4 4 4页页页电子教案电子教案二二、系统的概念系统的概念一般而言一般而言，系统系统(system)(system)是指若干是指若干相互关联相互关联的的事物组合而成具有事物组合而成具有特定功能特定功能的的整体整体。如手机如手机、电视机电视机、通信网通信网、计算机网等都可以计算机网等都可以看成系统看成系统。它们所传送的语音它们所传送的语音、音乐音乐、图像图像、文字文字等都可以看成信号等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起紧密地联系在一起。信号的产生信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置传输和处理需要一定的物理
6、装置，这样的物理装置常称为这样的物理装置常称为系统系统。系统的基本作用是对输入系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理信号进行加工和处理，将其转将其转换为所需要的输出信号换为所需要的输出信号。系统系统系统系统输入信号输入信号激励激励输出信号输出信号响应响应1.1 绪论绪论演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -5 5 5页页页电子教案电子教案1.1 绪论绪论本课程重点讨论通信本课程重点讨论通信、信号处理和控制等领域中的信号处理和控制等领域中的电子信息系统电子信息系统。举例说明举例说明:*. 通信系统通信系统*.控制系统控制系统
7、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -6 6 6页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类第一章第一章 信号与系统信号与系统一一、信号的描述信号的描述信号信号是信息的一种物理体现是信息的一种物理体现。它一般是随时间它一般是随时间或位置变化的物理量或位置变化的物理量。信号信号按物理属性分按物理属性分：电信号和非电信号电信号和非电信号。它们它们可以相互转换可以相互转换。电信号容易产生电信号容易产生，便于控制便于控制，易于易于处理处理。本课程讨论电信号本课程讨论电信号-简称简称“ 信号信号” 。电信号的基本形式电信号的
8、基本形式：随时间变化的电压或电流随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法描述信号的常用方法（1 1）表示为时间的函数表示为时间的函数（2 2）信号的图形表示信号的图形表示-波形波形“ 信号信号” 与与“ 函数函数” 两词常相互通用两词常相互通用。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -7 7 7页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类二二、信号的分类信号的分类1. 确定信号和随机信号确定信号和随机信号可以用确定时间函数表示的信号可以用确定时间函数表示的信号，称为称为确定信号确定信号或或规则信号规则信号。如正弦信
9、号如正弦信号。若信号不能用确切的函数描述若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的它在任意时刻的取值都具有不确定性取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性只可能知道它的统计特性，如如在某时刻取某一数值的概率在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为这类信号称为随机信号随机信号或或不确定信号不确定信号。电子系统中的起伏热噪声电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰雷电干扰信号就是两种典型的随机信号信号就是两种典型的随机信号。研究确定信号是研究随机信号的基础研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只本课程只讨论确定信号讨论确定信号。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第
10、第第1 1 1- - -8 8 8页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类2. 连续信号和离散信号连续信号和离散信号根据信号自变量为连续根据信号自变量为连续/ /离散的特点进行区分离散的特点进行区分。在连续的时间范围内在连续的时间范围内( (- -tt）有有定义的信号定义的信号称为称为连续时间信号连续时间信号，简称简称连续信号连续信号。函数值为连续时函数值为连续时常称为常称为模拟信号模拟信号。这里的这里的“ 连续连续” 指函数的定义域指函数的定义域时间是连续的时间是连续的，但可含间断点但可含间断点，至于值域可连续也可不连续至于值域可连续也可不连续。tof1(t) = si
11、n(t)12to 121- 1- 11f2(t)值域连续值域连续值域不值域不连续连续（1 1）连续时间信号连续时间信号：演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -9 9 9页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号离散时间信号，简称简称离散信号离散信号。取值为规定数值时常称为取值为规定数值时常称为数字信号数字信号。这里的这里的“ 离散离散” 指信号的定义域指信号的定义域时间是离散的时间是离散的，它只它只在某些规定的离散瞬间给出
12、函数值在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义其余时间无定义。如右图的如右图的f(t)仅在一些离散时刻仅在一些离散时刻t tk k(k(k = 0,= 0,1,1,2,2, ) )才有定义才有定义，其余时间无定义其余时间无定义。相邻离散点的间隔相邻离散点的间隔T Tk k= =t tk+1k+1- -t tk k可可以相等也可不等以相等也可不等。通常取等间隔通常取等间隔T T，离散信号可表示为离散信号可表示为f(kT)，简写简写为为f(k)，这种等间隔的离散信号也这种等间隔的离散信号也常称为常称为序列序列。其中其中k称为称为序号序号。to2t11f(t)- 1.521t2t3t4t-1离
13、散时间信号离散时间信号：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -101010页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类上述离散信号可简画为上述离散信号可简画为ko211f(k)- 1.5212 3 4- 1用表达式可写为用表达式可写为k0413, 02, 21, 5 . 10, 21, 1)(其他，kkkkkkkf或写为或写为f(k)= ，0，1，2，- 1.5，2，0，1，0， k=0k=0通常将对应某序号通常将对应某序号m的序列值称为第的序列值称为第m个样点的个样点的“ 样值样值” 。信号与系统信号与系统信号与
14、系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -111111页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类3. 周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号周期信号周期信号(period signal)是定义在是定义在( (- -，) )区区间间，每隔一定时间每隔一定时间T T( (或整数或整数N N），），按相同规律重复按相同规律重复变化的信号变化的信号。连续周期信号连续周期信号f(t)满足满足f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,离散周期信号离散周期信号f(k)满足满足f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,满足上述关系的
15、最小满足上述关系的最小T T( (或整数或整数N N) )称为该信号的称为该信号的周期周期。不不具有周期性的信号称为具有周期性的信号称为非周期信号非周期信号。演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -121212页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类例例1 1 判断下列信号是否为周期信号判断下列信号是否为周期信号，若是若是，确定其周期确定其周期。（1 1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint解解：两个周期信号两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为的
16、周期分别为T1和和T2，若其若其周期之比周期之比T1/T2为有理数为有理数，则其和信号则其和信号x(t)+y(t)仍然是周仍然是周期信号期信号，其周期为其周期为T1和和T2的最小公倍数的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号是周期信号，其角频率和周期分别为其角频率和周期分别为1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= scos3t是周期信号是周期信号，其角频率和周期分别为其角频率和周期分别为2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s由于由于T1/T2= 3/2为有理数为有理数，故故f1(t)为周期信号为周期信号，其周期为其周期为T1和和T2的最小公倍数的最小公倍数2。（2）
17、 cos2t 和和sint的的周期分别为周期分别为T1= s， T2= 2 s，由由于于T1/T2为无理数为无理数，故故f2(t)为非周期信号为非周期信号。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -131313页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类例例2 2 判断正弦序列判断正弦序列f(k) = sin(k)是否为周期信号是否为周期信号，若若是是，确定其周期确定其周期。解解 f(k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m = 0,1,2,式中式中称为正弦序列的数字角频率称为正弦序列的数字角频率，单
18、位单位：rad。由上式可见由上式可见：仅当仅当2/ 为为整数时整数时，正弦序列才具有周期正弦序列才具有周期N = 2/ 。当当2/ 为为有理数时有理数时，正弦序列仍为具有周期性正弦序列仍为具有周期性，但其周但其周期为期为N= M(2/ )，M取使取使N为整数的最小整数为整数的最小整数。当当2/ 为无理数时为无理数时，正弦序列为非周期序列正弦序列为非周期序列。)(sin)2(sinmNkmk信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -141414页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类例例3 3 判断下列序列是否为周期
19、信号判断下列序列是否为周期信号，若是若是，确定其周期确定其周期。（1 1）f1(k) = sin(3k/4) + cos(0.5k)（2）f2(k) = sin(2k)解解 （1 1）sin(3k/4) 和和cos(0.5k)的数字角频率分别为的数字角频率分别为1= 3/4 rad， 2= 0.5 rad由于由于2/ 1= 8/3， 2/ 2= 4为为有理数有理数，故它们的周期故它们的周期分别为分别为N1= 8 ， N2= 4，故故f1(k) 为为周期序列周期序列，其周期为其周期为N1和和N2的的最小公倍数最小公倍数8。（2 2）sin(2k) 的数字角频率为的数字角频率为 1= 2 rad；
20、由于由于2/ 1=为无理数为无理数，故故f2(k) = sin(2k)为非为非周期序列周期序列 。由上面几例可看出由上面几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号连续正弦信号一定是周期信号，而而正弦序列不一定是周期序列正弦序列不一定是周期序列。两连续周期信号之和不一两连续周期信号之和不一定是周期信号定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列而两周期序列之和一定是周期序列。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -151515页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类4能量信号与功率信号能量信号与功率信号将信号将信号f
21、(t)施加于施加于1电阻上电阻上，它所消耗的瞬时功率它所消耗的瞬时功率为为| f (t) |2，在区间在区间( , )的的能量能量和和平均功率平均功率定义为定义为（1）信号的能量信号的能量E ttfEd)(2def（2）信号的功率信号的功率P222defd)(1limTTTttfTP若信号若信号f (t)的能量有界的能量有界，即即 E ,则称其为则称其为能量能量有限信号有限信号，简称简称能量信号能量信号。此时此时 P = 0若信号若信号f (t)的功率有界的功率有界，即即 P ,则称其为则称其为功率功率有限信号有限信号，简称简称功率信号功率信号。此时此时 E = 信号与系统信号与系统信号与系统
22、信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -161616页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类相应地相应地，对于对于离散信号离散信号，也有能量信号也有能量信号、功率信功率信号之分号之分。若满足若满足的的离散信号离散信号，称为能量信号称为能量信号。 kkfE2| )(|若满足若满足的的离散信号离散信号，称为功率信号称为功率信号。2/2/2| )(|1limNNkNkfNP时限信号时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号仅在有限时间区间不为零的信号)为能为能量信号量信号; 周期信号周期信号属于功率信号属于功率信号，而而非周期信号非周期信号可能可能是能
23、量信号是能量信号，也可能是功率信号也可能是功率信号。有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如如 f (t) = et。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -171717页页页电子教案电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类5一维信号与多维信号一维信号与多维信号从数学表达式来看从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个信号可以表示为一个或多个变量的函数变量的函数，称为称为一维一维或或多维函数多维函数。语音信号语音信号可表示为声压随时间变化的函数可表示为声压随时间变化的函数，这是这
24、是一维信号一维信号。而一张而一张黑白图像黑白图像每个点每个点(像素像素)具有不同的具有不同的光强度光强度，任一点又是二维平面坐标中两个变量的函任一点又是二维平面坐标中两个变量的函数数，这是这是二维信号二维信号。还有更多维变量的函数的信号还有更多维变量的函数的信号。本课程只研究本课程只研究一维信号一维信号，且自变量多为时间且自变量多为时间。6因果信号与反因果信号因果信号与反因果信号常将常将 t = 0时接入系统的信号时接入系统的信号f(t) 即在即在t 0，则将则将f ( )右移右移；否则左移否则左移。如如f(t)to11右移右移t t 1f(t-1-1)to211左移左移t t + 1f(t+
25、1+1)to1- -1演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -212121页页页电子教案电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算平移与反转相结合平移与反转相结合f(t)to11法一法一：先平移先平移f(t) f(t +2)再反转再反转 f(t +2) f(t +2)法二法二：先反转先反转 f(t) f(t)画出画出 f(2 t)。f(- -t)- -11to再平移再平移 f(t) f(t +2)f(t)to112to11 1f(- -t+2+2)- -1to1 1- -2f(t+2+2)左移左移右移右移= f (t 2)注
26、意注意：是对是对t 的变换的变换！信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -222222页页页电子教案电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算3.3. 尺度变换尺度变换（横坐标展缩横坐标展缩）将将 f (t) f(a t) ， 称为对信号称为对信号f (t)的的尺度变换尺度变换。若若a 1 ，则波形沿横坐标压缩则波形沿横坐标压缩；若若0 a 1 ，则则展开展开 。如如tof(t)1- -22t 2t 压缩压缩to1- -1f(2t)1t 0.5t 展开展开to1- -4f(0.5 t)4对于离散信号对于离散信号，由于由于 f(a k
27、) 仅在为仅在为a k 为为整数整数时才有意义时才有意义， 进行尺进行尺度变换时可能会使部分信号丢失度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换因此一般不作波形的尺度变换。演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -232323页页页电子教案电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算平移平移、反转反转、尺度变换相结合尺度变换相结合tof(t)1- -22例例1 已知已知f(t)，画出画出 f (4 2t)。f(t-4-4)426to1压缩压缩，得得f(2t 4)f(2t-4-4)213to1反转反转，得得f(2t 4
28、)- -1- -3f(- -2t-4-4)to1右移右移4，得得f(t 4)三种运算的次序可任三种运算的次序可任意意。但一定要注意始但一定要注意始终对时间终对时间 t 进行进行。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -242424页页页电子教案电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算tof(t)1- -22压缩压缩，得得f(2t)f( 2t)- -11to1右移右移2，得得f(2t 4)f(2t-4-4)213to1反转反转，得得f(2t 4)- -1- -3f(- -2t-4-4)to1也也可以先压缩可以先压缩、再平移再平移、最
29、后反转最后反转。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -252525页页页电子教案电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算若若已知已知f(4 2t) ，画出画出 f(t) 。- -1- -3f(- -2t- -4)to1反转反转，得得f(2t 4)f(2t- -4)213to1展开展开，得得f(t 4)to1 1f(t- -4)246左移左移4，得得f(t)tof(t)1- -22信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -262626页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和
30、冲激函数阶跃函数和冲激函数阶跃函数阶跃函数和和冲激函数冲激函数不同于普通函数不同于普通函数，称为称为奇异函奇异函数数。研究奇异函数的性质要用到广义函数研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函或分配函数数）的理论的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数一一、阶跃函数阶跃函数下面采用求函数序列极限下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数的方法定义阶跃函数。选定一个函数序列选定一个函数序列n(t)如图所示如图所示。ton1n11n21n to1(t)0, 10, 2/10, 0)(lim)(deftttttnn信号与
31、系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -272727页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数阶跃函数性质阶跃函数性质：（1）可以方便地表示某些信号可以方便地表示某些信号f(t)o2t12-1f(t) = 2(t)- 3(t- 1) +(t- 2)(a)(b)f (t)f(t)(t)oottot(c)f(t)(t- -t1)- -(t- -t2)t1t2（2）用阶跃函数表示信号的作用区间用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分积分)(d)(ttt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心
32、第第第1 1 1- - -282828页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数二二、冲激函数冲激函数单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数是个奇异函数，它是对强度极它是对强度极大大，作用时间极短一种物理量的理想化模型作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由它由如下特殊的方式定义如下特殊的方式定义（由由狄拉克狄拉克最早提出最早提出）1)(0, 0)(dttttto(1)(t)也可采用下列也可采用下列直观定义直观定义：对对n(t)求求导得到如图所示的矩形脉冲导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。topn(t)n1n12n)(lim)(deftptnn高度无穷大高度无穷大，宽
33、度宽度无穷小无穷小，面积为面积为1的对称窄脉冲的对称窄脉冲。演示演示信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -292929页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数冲激函数与阶跃函数关系冲激函数与阶跃函数关系：tttd)(d)(to1(t)to(1)(t)ttd)()(可见可见，引入冲激函数之引入冲激函数之后后，间断点的导数也存间断点的导数也存在在。如如tof(t)21- -1f(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)f(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)求导求导1- -1otf(t)(2
34、)(- -2)ton1n11n21topn(t)n1n12nnntttpnnd)(d)(信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -303030页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数三三、冲激函数的广义函数定义冲激函数的广义函数定义普通函数普通函数，如如 y=f(t) 是将一维实数空间的数是将一维实数空间的数t经过经过 f 所规定所规定的运算映射为一维实数空间的数的运算映射为一维实数空间的数y。1 1、广义函数的概念广义函数的概念将普通函数的概念推广将普通函数的概念推广，广义函数可以这样定义广义函数可以这样定义
35、：选择一类性能良好的函数选择一类性能良好的函数，称为检验函数称为检验函数( (相当于自相当于自变量变量) )，一个广义函数一个广义函数g(tg(t) )对检验函数空间中的每个函数对检验函数空间中的每个函数赋赋予一个数值予一个数值N N的映射的映射，该数与广义函数该数与广义函数g(t)和检验函数和检验函数有关有关，记作记作gg 。( ) t( ) t( ) t( ) t( ) t ( )( ) ( )gNtg tt dt 广义函数可写为广义函数可写为:信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -313131页页页电子教案电子教案表表1.1
36、广义函数与普通函数的对应关系广义函数与普通函数的对应关系1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数广义函数广义函数普通函数普通函数函数值函数值定义域定义域自变量自变量定义式定义式类类 型型 ( )( ) ( )gNtg tt dt )(tfy )(t)(t)(tf),(21tt)(tNgt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -323232页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数2 2、广义函数的性质广义函数的性质性质性质1 1（相等相等）：）：1212( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ggg t
37、t dtNtNtg tt dt 若若12( )( )g tg t则则性质性质2 2（相加相加）：）：12 ( ) ( ) ( )gggNtNtNt若若12( )( )( )g tg tg t则则信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -333333页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数)(1)()()(ataNtNtgatg性质性质3 3（尺度变换尺度变换）：）：性质性质4 4（微分微分）：）：)() 1()()()()()()(tNtNnntgtgn信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电
38、路与系统教研中心第第第1 1 1- - -343434页页页电子教案电子教案定义定义 按广义函数理论按广义函数理论，冲激函数由下式确定冲激函数由下式确定即冲激函数即冲激函数(t)作用于检验函数作用于检验函数(t)的效果是给的效果是给它赋值为它赋值为(0) 。( ) ( )(0)tt dt 这常称为这常称为冲激函数冲激函数的的取样性质取样性质( (或筛选性质或筛选性质) )。简简言之言之，能从检验函数能从检验函数(t)(t)中筛选出函数值中筛选出函数值(0)(0)的的广义函数就称为冲激函数广义函数就称为冲激函数(t)(t)。.1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数3 3、冲激函数的广义函数
39、定义冲激函数的广义函数定义信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -353535页页页电子教案电子教案实际上实际上，许多函数序列的广义极限都具有如上的筛选性许多函数序列的广义极限都具有如上的筛选性质质，可以用它们来定义冲激函数可以用它们来定义冲激函数(t) ，例如例如高斯高斯（钟形钟形）函数函数2()( )limbtbtbe点击看图形点击看图形取样函数取样函数sin()( )limbbttt点击看图形点击看图形双边指数函数双边指数函数01( )lim2tbbteb点击看图形点击看图形220( )lim()bbtbt以及以及点击看图形点击
40、看图形等等等等。1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -363636页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数高斯高斯（钟形钟形）函数函数2()( )limbtbtbe信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -373737页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数取样函数取样函数sin()( )limbbttt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第
41、第1 1 1- - -383838页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数双边指数函数双边指数函数01( )lim2tbbteb信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -393939页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数220( )lim()bbtbt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -404040页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数四四、冲激函数的性质冲激函数的性质1.1. 与普通函数与普
42、通函数 f(t) 的乘积的乘积 取样性质取样性质若若f(t)在在 t = 0 、 t = a处存在处存在，则则f(t)(t) = f(0)(t) ， f(t)(t a) = f(a)(t a)0(d)()(ftttf)(22)()4sin()()4sin(tttt22d)()4sin(ttt?d) 1()4sin(03ttt?d)()4sin(91ttt?d)(211 t?d)() 1(12t022其它, 011,2tt(t)(d)()(aftattf)(e2)()(e2)(e)(edd2222tttttttttt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
43、1 1 1- - -414141页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数2.2. 冲激函数的导数冲激函数的导数 (t)（也称冲激偶也称冲激偶）证明证明： f(t)(t) = f(t) (t) + f (t)(t)f(t) (t) = f(t)(t)f (t)(t)= f(0) (t) f (0)(t) (t)的的定义定义：)0( d)()( fttft(n)(t)的的定义定义：)0() 1(d)()()()(nnnfttft4)2(2)2(ddd)( )2(0022tttttttt)()0()()0()()(tftfttf信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电
44、子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -424242页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数3.3.(t)的的尺度变换尺度变换)(1|1)()()(taaatnnn)0(1)()()()(, 0aadxaxxdttatatxaaa则上式可写为令则若) 0(1)()()()()()(, 0aadxaxxadxaxxdttataaa有则若)(|1)(taat综合以上结果综合以上结果，得得：特例特例：)(at证明见课本证明见课本P.21信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -434343页页页电子教案
45、电子教案推论推论:(1)(|1)(taat)(|1)(00attatat(2t) = 0.5(t)() 1()()()(ttnnn(2)当当a = 1时时所以所以，(t) =(t) 为为偶函数偶函数， (t) = (t)为奇函数为奇函数1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -444444页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数已知已知f(t)，画出画出g(t) = f (t)和和 g(2t)求导求导，得得g(t)o2tf(t)-24(4)o2tg(t) =f(t)-
46、2-1压缩压缩，得得g(2t)(2)o1tg(2t)-1-1信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -454545页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数4.4. 复合函数形式的冲激函数复合函数形式的冲激函数实际中有时会遇到形如实际中有时会遇到形如f(t)的冲激函数的冲激函数，其中其中f(t)是普通函数是普通函数。并且并且f(t) = 0有有n个互不相等的实根个互不相等的实根 ti( i=1，2， ，n)ttftftftd)(d)()(dd)(dd)( 1)(tfttftff(t)图示说明图示说明： 例例f(t
47、)= t24(t24)=1 (t+2)+(t 2)f(t)t- -4- -22o1f(t) 2- -2to信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -464646页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数)2(41)2(41)2(221)2(221)2()2(21)4(dd21422ttttttttttt( t24) =1 (t+2)+(t 2)一般地一般地，niiitttftf1)()( 1)(这表明这表明，f(t)是位于各是位于各ti处处，强度为强度为的的n个冲个冲激函数构成的冲激函数序列激函数构成的冲激函数序
48、列。)( 1itf)21(41)21(41) 14(2ttt注意注意：如果如果f(t)=0有重根有重根，f(t)无意义无意义。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -474747页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数这两个序列是普通序列这两个序列是普通序列。（1）单位单位(样值样值)序列序列(k)的的定义定义0, 00, 1)(defkkko11-1k(k)取样性质取样性质： f(k)(k) = f(0)(k)0()()(fkkfk f(k)(k k0) = f(k0)(k k0)例例?)( kk?)()5
49、( kkk?)( iik五五、序列序列(k)和和(k)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -484848页页页电子教案电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数（2）单位阶跃序列单位阶跃序列(k)的的定义定义0, 00, 1)(defkkko11-1k(k)23（3）(k)与与(k)的的关系关系(k) =(k) (k 1) kiik)()(或或0)()(jjkk(k) =(k)+(k 1)+信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -494949页页页电子教案电子教案
50、1.5 系统的描述系统的描述1.5 系统的描述系统的描述描述连续动态系统的数学模型是描述连续动态系统的数学模型是微分方程微分方程，描描述离散动态系统的数学模型是述离散动态系统的数学模型是差分方程差分方程。一一、连续系统连续系统1.1. 解析描述解析描述 建立数学模型建立数学模型图示图示RLC电路电路，以以uS(t)作激励作激励，以以uC(t)作为响作为响应应，由由KVL和和VAR列方程列方程，并整理得并整理得uS(t)uC(t)LRC)(0)0(dddd22CCSCCCuuuutuRCtuLC，二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大
51、学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -505050页页页电子教案电子教案1.6 系统的描述系统的描述)()(d)(dd)(d01222tftyattyattya抽去具有的物理含义抽去具有的物理含义，微分方程写成微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。MxCkf(t)其中其中，k为弹簧常数为弹簧常数，M为物体质为物体质量量，C为减振液体的阻尼系数为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力为初始外力。其运动方程为其运动方程为)()(d)(dd)(d22tftkxttxCttx
52、M能用相同方程描述的系统称能用相同方程描述的系统称相似系统相似系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -515151页页页电子教案电子教案1.5 系统的描述系统的描述2.2. 系统的框图描述系统的框图描述上述方程从上述方程从数学角度数学角度来说代表了某些运算关系来说代表了某些运算关系：相相乘乘、微分微分、相加运算相加运算。将这些基本运算用一些理想将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系关系，这样画出的图称为这样画出的图称为模拟框图模拟框图，简称简称框图框图
53、。基基本部件单元本部件单元有有：积分器积分器：f (t)txxfd)(加法器加法器：f1(t)f2(t)f1(t)-f2(t)数乘器数乘器：af (t)或aaf (t)积分器的抗干扰性积分器的抗干扰性比微分器好比微分器好。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -525252页页页电子教案电子教案1.5 系统的描述系统的描述系统模拟系统模拟：实际系统实际系统方程方程模拟框图模拟框图实验室实现实验室实现（模拟系统模拟系统）指导实际系统设计指导实际系统设计例例1：已知已知y” (t) + ay (t)+ by(t) = f(t)，画出框图画
54、出框图。解解：将方程写为将方程写为y” (t) = f(t) ay (t) by(t)y(t)y(t)y(t)abf(t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -535353页页页电子教案电子教案1.5 系统的描述系统的描述例例2：已知已知y” (t) + 3y (t)+ 2y(t) = 4f (t) + f(t)，画框图画框图。解解：该方程含该方程含f(t)的导数的导数，可引入辅助函数画出框图可引入辅助函数画出框图。设辅助函数设辅助函数x(t)满足满足 x” (t) + 3x (t)+ 2x(t) = f(t)可推导出可推导出 y(
55、t) = 4x (t) + x(t)，它满足原方程它满足原方程。x(t)x(t)x(t)32f(t)y(t)4信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -545454页页页电子教案电子教案例例3：已知框图已知框图，写出系统的微分方程写出系统的微分方程。1.5 系统的描述系统的描述y(t)3423f(t)解解：设辅助变量设辅助变量x(t)如图如图x(t)x (t)x” (t)x” (t) = f(t) 2x (t) 3x(t) ,即即x” (t) + 2x (t) + 3x(t) = f(t)y(t) = 4x (t)+ 3x(t)根据前面
56、根据前面，逆过程逆过程，得得y” (t) + 2y (t) + 3y(t) = 4f (t)+ 3f(t)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -555555页页页电子教案电子教案1.5 系统的描述系统的描述二二、离散系统离散系统1.1. 解析描述解析描述 建立差分方程建立差分方程某人每月初在银行存入一定数量的款某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为月息为元元/元元，求第求第k个月初存折上的款数个月初存折上的款数。设第设第k个月初的款数为个月初的款数为y(k),这个月初的存款为这个月初的存款为f(k),上个上个月初的款数为月初的款数
57、为y(k- -1)，利息为利息为y(k- -1),则则y(k)=y(k- -1)+ y(k- -1)+f(k)即即y(k)- -(1+)y(k- -1) = f(k)若设开始存款月为若设开始存款月为k=0，则有则有y(0)= f(0)。上述方程就称为上述方程就称为y(k)与与f(k)之间所满足的差分方程之间所满足的差分方程。所谓所谓差分方程差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为称为差分方程的阶数差分方程的阶数。上述为上述为一阶差分方程一阶差分方程。信号与系统
58、信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -565656页页页电子教案电子教案1.5 系统的描述系统的描述由由n阶差分方程描述的系统称为阶差分方程描述的系统称为n阶系统阶系统。描述描述LTI离散系统的是离散系统的是线性常系数差分方程线性常系数差分方程。2.2. 差分方程的模拟框图差分方程的模拟框图基本部件单元基本部件单元有有：数乘器数乘器加法器加法器迟延单元迟延单元（移位器移位器）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -575757页页页电子教案电子教案1.5 系统的描述系统的描述例例：已
59、知框图已知框图，写出系统的差分方程写出系统的差分方程。y(k)D DD D5423f(k)解解：设辅助变量设辅助变量x(k)如图如图x(k)x(k- 1)x(k- 2)即即 x(k) +2x(k- 1) +3x(k- 2) = f(k)y(k) = 4x(k- 1) + 5x(k- 2)消去消去x(k) ，得得y(k) +2y(k- 1) +3y(k- 2) = 4f(k- 1) + 5f(k- 2)x(k)= f(k) 2x(k- 1) 3x(k- 2)方程方程框图框图 用变换域方法和梅森公式简单用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论后面讨论。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科
60、技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -585858页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法一一、系统的定义系统的定义若干相互作用若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统成具有特定功能的整体称为系统。电子系统是电子元器件的集合体电子系统是电子元器件的集合体。电路侧重于电路侧重于局部局部，系统侧重于全部系统侧重于全部。电路电路、系统两词通用系统两词通用。二二、系统的分类及性质系统的分类及性质可以从多种角度来观察可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征分析研
61、究系统的特征，提出对系统进行分类的方法提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的下面讨论几种常用的分类法分类法。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -595959页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法1.1. 连续系统与离散系统连续系统与离散系统若系统的输入信号是连续信号若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号系统的输出信号也是连续信号也是连续信号，则称该系统为则称该系统为连续时间系统连续时间系统，简称为简称为连续系统连续系统。若系统的输入信号和输出信号均是离散信号若系统的输入信号和输出信号均是离
62、散信号，则称该系统为则称该系统为离散时间系统离散时间系统，简称为简称为离散系统离散系统。2.2. 动态系统与即时系统动态系统与即时系统若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关关，而且与它过去的历史状况有关而且与它过去的历史状况有关，则称为则称为动态系统动态系统或或记忆系统记忆系统。含有记忆元件含有记忆元件(电容电容、电感等电感等)的系统是的系统是动态系统动态系统。否则称否则称即时系统即时系统或或无记忆系统无记忆系统。3.3. 单输入单输出系统与多输入多输出系统单输入单输出系统与多输入多输出系统信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学
63、电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -606060页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法4.4. 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统满足线性性质的系统称为满足线性性质的系统称为线性系统线性系统。（1 1）线性性质线性性质系统的激励系统的激励f ( )所引起的响应所引起的响应y( ) 可简记为可简记为 y( ) = T f ( )系统系统f()y()线性性质包括两方面线性性质包括两方面：齐次性齐次性和和可加性可加性。若系统的激励若系统的激励f ( )增大增大a倍时倍时，其响应其响应y( )也增大也增大a倍倍，即即T af ( ) = a T f ( )
64、则称该系统是则称该系统是齐次的齐次的。若系统对于激励若系统对于激励f1( )与与f2( )之和的响应等于各个激励所之和的响应等于各个激励所引起的响应之和引起的响应之和，即即T f1( )+ f2( ) = T f1( )+T f2( ) 则称该系统是则称该系统是可加的可加的。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -616161页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法若系统既是齐次的又是可加的若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是则称该系统是线性的线性的，即即 Ta f1( ) + bf2( ) = a
65、T f1( ) + bT f2( )（2 2）动态系统是线性系统的条件动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励动态系统不仅与激励 f( ) 有关有关，而且与系统的而且与系统的初始状态初始状态x(0)有关有关。 初始状态也称初始状态也称“ 内部激励内部激励” 。完全响应完全响应为为y( ) = T f( ) , x(0)零状态响应零状态响应为为yf( ) = T f ( ) , 0零输入响应零输入响应为为yx( ) = T 0，x(0)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -626262页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方
66、法系统的性质及分析方法当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：零零状态线性状态线性：Ta f ( ) , 0 = a T f( ) , 0Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1( ) , 0 + T f2( ) , 0或或Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1( ) , 0 +bT f2( ) , 0零零输入线性输入线性：T0,ax(0)= aT 0,x(0)T0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0)或或T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)
67、可分解性可分解性：y( ) = yf( ) + yx( ) = T f ( ) , 0+ T 0，x(0)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -636363页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法例例1：判断下列系统是否为线性系统判断下列系统是否为线性系统？（1） y(t) = 3 x(0) + 2 f(t) + x(0) f(t) + 1（2） y(t) = 2 x(0) + | f(t)|（3） y(t) = x2(0) + 2 f(t)解解：（1） yf(t) = 2 f(t) +1， yx(t)
68、 = 3 x(0)显然显然， y(t) yf(t) yx(t) 不满足可分解性不满足可分解性，故为非线性故为非线性（2） yf(t) = | f(t)|， yx(t) = 2 x(0)y(t) = yf(t) + yx(t) 满足可分解性满足可分解性；由于由于 Ta f (t) , 0 = | af(t)| a yf(t) 不满足零状态线不满足零状态线性性。故为非线性系统故为非线性系统。（3） yf(t) = 2 f(t) , yx(t) = x2(0) ，显然满足可分解性显然满足可分解性；由于由于T 0,a x(0) =a x(0)2a yx(t)不满足零输入线不满足零输入线性性。故为非线性
69、系统故为非线性系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -646464页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法例例2：判断下列系统是否为线性系统判断下列系统是否为线性系统？xxfxxtyttd)()sin()0(e)(0解解：xxfxtyxtytftxd)()sin()(),0(e)(0y(t) = yf(t) + yx(t) ， 满足可分解性满足可分解性；Ta f1(t)+ b f2(t) , 0xxfxxxfxxxfxfxtttd)()sin(bd)()sin(ad)(b)()asin(020102
70、1= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，满足零状态线性满足零状态线性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e- -tax1(0) +bx2(0) = ae- -tx1(0)+ be- -tx2(0)= aT0,x1(0) +bT0,x2(0),满足零输入线性满足零输入线性；所以所以，该系统为线性系统该系统为线性系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -656565页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法5.5. 时不变系统与时变系统时不变系统与时变系统满足时不变性质的系统称为满足
71、时不变性质的系统称为时不变系统时不变系统。（1 1）时不变性质时不变性质若系统满足输入延迟多少时若系统满足输入延迟多少时间间，其零状态响应也延迟多少时其零状态响应也延迟多少时间间，即若即若T0，f(t) = yf(t)则有则有T0，f(t - - td) = yf(t - - td)系统的这种性质称为系统的这种性质称为时不变性时不变性（或或移位不变性移位不变性）。）。1 1o1 1f(t)1 12 2ttyf(t)oT2 22 2o1 1f(t-1-1)2 23 3ttyf(-1-1)oT1 11 1信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1-
72、- -666666页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法例例：判断下列系统是否为时不变系统判断下列系统是否为时不变系统？（1） yf(k) = f(k) f(k 1)（2） yf(t) = t f(t)（3） yf(t) = f (t)解解(1)令令g(k) = f(k kd)T0， g(k) = g(k) g(k 1) = f(k kd) f(k kd 1 )而而yf(k kd) = f(k kd) f(k kd 1)显然显然 T0，f(k kd) = yf(k kd)故该系统是时不变的故该系统是时不变的。(2) 令令g(t) = f(t td)T0， g(t
73、) = t g(t) = t f(t td)而而yf(t td)= (t td) f(t td)显然显然T0，f(t td) yf(t td)故该系统为时变系统故该系统为时变系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -676767页页页电子教案电子教案(3) 令令g(t) = f(t td) ,T0，g(t) = g(t) = f(t td)而而 yf(t td) = f ( t td)，显然显然T0，f(t td) yf(t td)故该系统为时变系统故该系统为时变系统。直观判断方法直观判断方法：若若f( )前出现变系数前出现变系数
74、，或有反转或有反转、展缩变换展缩变换，则则系统为时变系统系统为时变系统。1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -686868页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法（2 2）LTI连续系统的微分特性和积分特性连续系统的微分特性和积分特性本课程重点讨论本课程重点讨论: :线性时不变线性时不变(Linear Time- Invariant)系统系统，简称简称LTI系统系统。微分特性微分特性：若若f (t) yf(t) ， 则则f (t) y f(t)积分特性积分
75、特性：若若f (t) yf(t) ， 则则ttxxyxxfd)(d)(f信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -696969页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法6.6. 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统零零状态响应不会出现在激励之前的系统状态响应不会出现在激励之前的系统，称为称为因果系统因果系统。即对因果系统即对因果系统，当当t t0，f(t) = 0时时，有有t t0，yf(t) = 0。如如下列系统均为下列系统均为因果系统因果系统：txxftyd)()(fyf(t) = 3f(t 1)而下
76、列系统为而下列系统为非因果系统非因果系统：(1) yf(t) = 2f(t + 1)(2) yf(t) = f(2t)因为因为，令令t=1时时，有有yf(1) = 2f(2)因为因为，若若f(t) = 0， t t0，有有yf(t) = f(2t)=0, t 0；当当x(0-) =2，输入信号输入信号f2(t)=3f1(t)时时，全响应全响应y2(t) = 2e t+3 cos(t)，t0；求输入求输入f3(t) =+2f1(t- 1)时时，系统的零状态响应系统的零状态响应y3f(t) 。ttfd)(d1解解 设当设当x(0) =1，输入因果信号输入因果信号f1(t)时时，系统的零输系统的零输
77、入响应和零状态响应分别为入响应和零状态响应分别为y1x(t)、y1f(t)。当当x(0-)=2，输入信号输入信号f2(t)=3f1(t)时时，系统的零输入响应和零系统的零输入响应和零状态响应分别为状态响应分别为y2x(t)、y2f(t)。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -717171页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法由题中条件由题中条件，有有y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = e t+ cos(t)，t0（1）y2(t) = y2x(t) + y2f(t) = 2e t+3 co
78、s(t)，t0 （2）根据线性系统的齐次性根据线性系统的齐次性，y2x(t) = 2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代入式代入式（2）得得y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = 2e t+3 cos(t)，t0 （3）式式(3)2式式(1)，得得y1f(t) = 4e- t+ cos(t)，t0由于由于y1f(t) 是因果系统对因果输入信号是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响的零状态响应应，故当故当t0，y1f(t)=0；因此因此y1f(t)可改写成可改写成y1f(t) = 4e- t+ cos(t)(t)(4)信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电
79、子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -727272页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法f1(t) y1f(t) = 4e- t+ cos(t)(t)根据根据LTI系统的微分特性系统的微分特性ttyttfd)(dd)(d1f1= 3(t) + 4 sin(t)(t)根据根据LTI系统的时不变特性系统的时不变特性f1(t 1) y1f(t 1) = 4 + cos(t 1)(t 1)由线性性质由线性性质，得得：当输入当输入f3(t) =+2f1(t 1)时时，ttfd)(d1y3f(t) =+ 2y1(t 1) = 3(t) + 4 sin(t)(
80、t)+ 2 4 + cos(t 1)(t 1)ttyd)(d1信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -737373页页页电子教案电子教案1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法7.7. 稳定系统与不稳定系统稳定系统与不稳定系统一个系统一个系统，若对有界的激励若对有界的激励f(.)所产生的零状态所产生的零状态响应响应yf(.)也是有界时也是有界时，则称该系统为则称该系统为有界输入有界输有界输入有界输出稳定出稳定，简称简称稳定稳定。即即 若若f(.)，其其yf(.)则称系统是稳定的则称系统是稳定的。如如yf(k) = f(k) +
81、 f(k- 1)是是稳定系统稳定系统；而而txxftyd)()(f是不稳定系统是不稳定系统。因为因为，当当f(t) =(t)有界有界，tttxx)(d)(当当t 时时，它也它也，无无界界。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -747474页页页电子教案电子教案系统分析研究的系统分析研究的主要问题主要问题：对给定的具体系统对给定的具体系统，求求出它对给定激励的响应出它对给定激励的响应。具体地说具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答并求出解答。系统的系统的分析方法分析方法：输入输出法输入
82、输出法（外部法外部法）状态变量法状态变量法（内部法内部法）（）（chp.8)外部法外部法时域分析时域分析（chp.2,chp.3)变换域法变换域法连续系统连续系统频域法频域法(4)和和复频域法复频域法(5)离散系统离散系统 z域法域法（chp6)系统特性系统特性：系统函数系统函数（chp.7)三三、LTI系统的分析方法系统的分析方法1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -757575页页页电子教案电子教案（1）把把零输入响应零输入响应和和零状态响应零状态响应分开求分开求。（2）把复杂信号
83、分解为众多基本信号之和把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据根据线性系统的可加性线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和之和。求解的求解的基本思路基本思路：采用的数学工具采用的数学工具：（1）卷积积分与卷积和卷积积分与卷积和（2）傅里叶变换傅里叶变换（3）拉普拉斯变换拉普拉斯变换（4）Z变换变换1.6 系统的性质及分析方法系统的性质及分析方法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -767676页页页电子教案电子教案例例1
84、计算下列各题计算下列各题。dtttt)()2sin() 1 (dttttt) 1() 153()2(23dttt)2() 5() 3(3tdxxx)()2()4(第一章补充例题第一章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -777777页页页电子教案电子教案解解：dtttt)()2sin() 1 (2)2sin(lim0ttt第一章补充例题第一章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -787878页页页电子教案电子教案解解：dttttt) 1() 153()2(
85、232)563() 153(12123ttttttt第一章补充例题第一章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -797979页页页电子教案电子教案解解：dttt)2() 5() 3(310)5(2)(2)5(033ttdttt第一章补充例题第一章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -808080页页页电子教案电子教案解解：tdxxx)()2()4()()(2)() 1()(2ttdxxxt第一章补充例题第一章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西
86、安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -818181页页页电子教案电子教案第一章补充例题第一章补充例题例例2：下列差分方程描述的系统下列差分方程描述的系统，是否线性是否线性？是否时不变是否时不变？并写出方程的阶数并写出方程的阶数。（1）y(k) + (k 1)y(k 1) = f(k)（2） y(k) + y(k+1) y(k 1) = f2(k)（3） y(k) + 2 y(k 1) = f(1 k)+1解解：判断方法判断方法：方程中均为输出方程中均为输出、输入序列的一次关系输入序列的一次关系项项，则是线性的则是线性的。输入输出序列前的系数为常数输入输出序列前的系数为常数，
87、且无反且无反转转、展缩变换展缩变换，则为时不变的则为时不变的。线性线性、时变时变，一阶一阶非线性非线性、时不变时不变，二阶二阶线性线性、时变时变，一阶一阶信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -828282页页页电子教案电子教案例例3的波形。和示，分别画出已知信号的波形如图所dttdftf)()(t) 15 . 0( tf012224t) 15 . 0 (tf012224反转反转，得得f (0.5t - 1)压缩压缩，得得 f (t- 1)左移左移1，得得f (t )t) 1( tf012211t)(tf012112第一章补充例题第一章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -838383页页页电子教案电子教案t)(tf012112t)(tf 011121) 1(第一章补充例题第一章补充例题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1 1 1- - -848484页页页电子教案电子教案第一章第一章
