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1、1已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0） ，B （0，2）两点，顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）将OAB 绕点 A 顺时针旋转 90后，将 B 落到点 C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点 C，求平移后所得图象的函数关系式（3）设（2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 B1，顶点为 D1，若点 N 在平移后的抛物线上，且满足NBB1 的面积是NDD1 面积的 2 倍，求点 N 的坐标解析 （1）利用待定系数法，将点 A，B 的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A （1，0） ，B（0，2） ，OA=1，OB=2，可得旋转后 C 点的坐标为（3 ，
2、1） ，当 x=3 时，由 y=x2-3x+2 得 y=2，可知抛物线 y=x2-3x+2 过点（3，2）将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（3）首先求得 B1，D1 的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想2如图，在直角坐标系内，已知等腰梯形 ABCD，ADBCx 轴，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B 点的坐标是（-1 ，5） （1）直接写出下列各点坐标A （， ）C（， ）D（， ） ；（2）等腰梯形 ABCD 绕直线 BC 旋转一周形成的几何体的表面积（保留 ） ；（3）直接写出抛物线 y=x2 左右平移后，
3、经过点A 的函数关系式；（4）若抛物线 y=x2 可以上下左右平移后，能否使得 A，B，C，D 四点都在抛物线上？若能，请说理由；若不能，将“抛物线 y=x2”改为“抛物线 y=mx2”，试确定 m 的值，使得抛物线 y=mx2 经过上下左右平移后能同时经过A，B，C ，D 四点【解析】 （1）易得点 C 的纵坐标和点 B 的纵坐标相等，横坐标比点 B 的横坐标小 8，过 A作 AEBC 于点 E，那么 BE=3，利用勾股定理可得 AE=4，那么点 A 的横坐标比点 B 的横坐标小 3，纵坐标比点 B 纵坐标小 4，点 D 的纵坐标和点 A 的纵坐标相等，横坐标比点A 的横坐标小 2；（2）绕
4、直线 BC 旋转一周形成的几何体的表面积为两个底面半径为 4，母线长为 5 的圆锥的侧面积和一个半径长为 4，母线长为 2 的圆柱的侧面的和，把相关数值代入即可求解；（3）设新函数解析式为 y=（x-h ）2，把（-4，1）代入即可求解；（4）可把等腰梯形以 y 轴为对称轴放在平面直角坐标系中，确定一点，看其余点是否在y=x2 上；进而设函数的解析式为 y=mx2，A，B 中的 2 点代入即可求解3如图，已知点 A（-2，4）和点 B（1，0）都在抛物线 y=mx2+2mx+n 上（1）求 m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，若四边形 AA
5、BB 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形 AABB 的对称中心点 M 的坐标【解析】 （1）本题需先根据题意把 A （-2 ，4）和点 B （1，0）代入抛物线 y=mx2+2mx+n 中，解出m、n 的值即可（2）本题需先根据四边形 AABB 为菱形得出 y 的解析式，再把解析式向右平移 5 个单位即可得到平移后抛物线的表达式（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到 A、B的坐标，再过点 A作 AH x 轴，得出 BH 和 AH 的值，再设菱形 AABB 的中心点 M，作 MGx 轴，根据中位线性质得到 MG、BG 的值，最后求出点 M 的坐标4矩形 OABC 的顶点 A（-8，
6、0） 、C（0，6） ，点 D 是 BC 边上的中点，抛物线 y=ax2+bx 经过 A、D 两点，如图所示（1）求点 D 关于 y 轴的对称点 D的坐标及 a、b 的值；（2）在 y 轴上取一点 P，使 PA+PD 长度最短，求点 P 的坐标；（3）将抛物线 y=ax2+bx 向下平移，记平移后点 A 的对应点为 A1，点 D 的对应点为 D1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点 O 是 y 轴上到 A1、D1 两点距离之和 OA1+OD1最短的一点，求此抛物线的解析式【解析】 （1）由矩形的性质可知 B 点的坐标，因为点 D 是 BC 边上的中点，所以可求出点D 关于 y 轴对称点 D的
7、坐标，把 A 点和 D 点的坐标代入抛物线 y=ax2+bx 可求出 a，c 的值；（2）先设直线 AD的解析式为 y=kx+n，有已知条件可求出 k 和 n 的值，再求出直线和y 轴的交点坐标即可；（3）设抛物线向下平移了 m 个单位，表示出点 A1，点 D1 的点坐标，又 O 是 y 轴上到A1、D1 两点距离之和 OA1+OD1 最短的一点，所以可求出此抛物线的解析式5如图 1，四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形，以 BC 的中点 O 为原点，BC 所在直线为 x轴建立平面直角坐标系抛物线 y=ax2 经过 A，O ，D 三点，图 2 和图 3 是把一些这样的小正方形及其内部的抛物
8、线部分经过平移和对称变换得到的（1）求 a 的值；（2）求图 2 中矩形 EFGH 的面积；（3）求图 3 中正方形 PQRS 的面积【解析】 （1）根据题意可得点 D 的坐标，将点 D 的坐标代入二次函数解析式即可求得 a 的值；（2）根据图形分析得：正方形 IJKL 沿射线 JU 方向平行移动 15 个单位长度与正方形MNUT 重合，由平行移动的性质可知 EH=15，同理可得 EF=10，可得矩形的面积；（3）建立直角坐标系，设的点的坐标，根据抛物线与正方形的对称性列方程求得即可6把边长分别为 4 和 6 的矩形 ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点 C 顺时针旋转 a角，旋转后的
9、矩形记为矩形 EDCF在旋转过程中，（1）如图，当点 E 在射线 CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD 是等边三角形时，旋转角 a 的度数是 （a 为锐角时） ；（3）如图，设 EF 与 BC 交于点 C，当 EC=CG 时，求点 G 的坐标；（4）如图，当旋转角 a=90时，请判断矩形 EDCF 的对称中心 H 是否在以 C 为顶点，且经过点 A 的抛物线上【解析】 （1）依题意得点 E 在射线 CB 上，横坐标为 4，纵坐标根据勾股定理可得点 E（2）已知BCD=60，BCF=30，然后可得=60 （3）设 CG=x，则 EG=x，FG=6-x，根据勾股定理求出 CG 的值（4）设以
10、 C 为顶点的抛物线的解析式为 y=a（x-4）2，把点 A 的坐标代入求出 a 值当x=7 时代入函数解析式可得解7如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A（3，0） ，C（0，1） 将矩形 OABC 绕原点逆时针旋转 90，得到矩形 OABC 设直线 BB与 x 轴交于点 M、与 y 轴交于点 N，抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 C、M、N解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将MON 沿直线 BB翻折，点 O 落在点 P 处，请你判断点 P 是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向） ，使它恰好经过原点 O
11、，求出所有符合要求的新抛物线的解析式【解析】 （1）根据四边形 OABC 是矩形，A（3，0） ，C （0，1）求出 B的坐标，设直线BB的解析式为 y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出 M、N两点的坐标，设二次函数解析式为 y=ax2+bx+c，把 CMN 三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；（2）设 P 点坐标为（x，y） ，连接 OP，PM ，由对称的性质可得出OPMN ，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出 MN 的长，由三角形的面积公式得出OE 的长，利用两点间的距离公式求出 x、y 的值，把 x 的值代入二次函数关系式看是否适合即可；（
12、3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论【解答】 （3）在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，所以，二次项系数和一次项系数不变，根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为 0，新解析式就为：y=-12x2+2x；在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-12，这时根据已经求出的 C（-1，0） ，M（5，0） ，可知它与 X 轴的两个交点的距离还是为 6，所以有两种情况，向左移 5 个单位，此时 M 与原点重合，另一点经过（-6，0） ，代入解出解析式为 y=-12x2-3x；当它向右移时要移一个单位 C与原点重合，此时另一点过（6，0） ，所以解出解
13、析式为 y=-12x2+3x8在平面直角坐标系中点 A（0 ，2）C（4，0） ，ABx 轴，ABC 是直角三角形，ACB=90（1）求出点 B 的坐标，并求出过 A，B，C 三点的抛物线的函数解析式；（2）将ABC 直线 AB 翻折，得到ABC1 ，再将ABC1 绕点 A 逆时针旋转 90 度，得到AB1C2请求出点 C2 的坐标，并判断点 C2 是否在题（1）所求的抛物线的图象上；（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为 y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在ABC 的内部或者边上，请求出此时 m 的取值范围【解析】 （1）过 C 作 CDAB 于 D，根据 A、C
14、 的坐标，易求得 AD、CD 的长，在 RtACB 中，CD AB，利用射影定理可求得 BD 的长（也可利用相似三角形得到） ，由此求得点 B 的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）根据ABC 的两次旋转变化可知 AB1 落在 y 轴上，可过 C2 作 C2D1AB1，根据ACDAC2D1 得 AD1、CD1 的长，从而求出点 C2 的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；（3）在（1）题中求得了抛物线的二次项系数，即可用 m 表示出平移后的抛物线顶点坐标，得(m，4m-m22) ，由于此顶点在ACB 的边上或内部，因此顶点横坐标必在 0m5 的范围内，然后分三种情况
15、考虑：顶点纵坐标应小于或等于 A、B 的纵坐标求出直线 AC 和直线 x=m 的交点纵坐标，那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标求出直线 BC 和直线 x=m 的交点纵坐标，方法同 结合上面四个不等关系式，即可得到 m 的取值范围9如图抛物线 y=ax2+ax+c（a 0）与 x 轴的交点为 A、B（A 在 B 的左边）且 AB=3，与 y轴交于 C，若抛物线过点 E（ -1，2） （1）求抛物线的解析式；（2）在 x 轴的下方是否存在一点 P 使得PBC 的面积为 3？若存在求出 P 点的坐标，不存在说明理由；（3）若 D 为原点关于 A 点的对称点，F 点坐标为（0，1.5 ） ，将CE
16、F 绕点 C 旋转，在旋转过程中，线段 DE 与 BF 是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论【解析】 （1）抛物线 y=ax2+ax+c（a0）的对称轴是 x=-a2a=-12，又因与 x 轴的交点为A、B（A 在 B 的左边）且 AB=3，求出 A、B 点的坐标，解决第一问；（2）因为 SABC=3，PBC 的面积是 3，说明 P 点一定在过 A 点平行于 BC 的直线上，且一定是与抛物线的交点，因此求出过 A 点的直线，与抛物线联立进一步求得答案；（3）连接 DC、BC，证明三角形相似，利用旋转的性质解决问题10如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A、B 的坐标分
