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1、第 13 章 动能定理13-1 圆盘的半径 r = 0.5 m，可绕水平轴 O 转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块 A、 B，质量分别为 mA = 3 kg，m B = 2 kg。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按的规律变化（M 以 计， 以 rad 计） 。试求由 时，力偶 M 与4N20到物块 A、 B 重力所作的功之总和。解：作功力 M，m Ag，m Bg J 105.28.91 )(8)(d02 2 rgmrWBA13-3 图示坦克的履带质量为 m，两个车轮的质量均为 m1。车轮被看成均质圆盘，半径为R，两车轮间的距离为 。设坦克前进速度为 v，试计算此质点系的动能。R解
2、：系统的动能为履带动能和车轮动能之和。将履带分为四部分，如图所示。履带动能： IVI21TvTi 履由于 ，且由于每部分履带长度均为 ，因此v,0IV1R22IVIII IIII )(410vmvmTII、III 段可合并看作一滚环，其质量为 ，转动惯量为 ，质心速度为 v，RJ角速度为 Rv则 22222I0141mvvT vmRJ履 轮动能 212111 3v轮轮则系统动能 2123vT轮履13-5 自动弹射器如图放置，弹簧在未受力时的长度为 200 mm，恰好等于筒长。欲使弹簧改变 10 mm，需力 2 N。如弹簧被压缩到 100 mm，然后让质量为 30 g 的小球自弹射器中射出。求小
3、球离开弹射器筒口时的速度。解：由题意得弹簧的刚度系数为N/m 201.lFk弹射过程中弹性力功 J 1)0.(2)(22101 kW重力功 47.3sinmg动能 2221 3 , vmvT由动能定理知 1W将有关量代入 0.047.2v = 8.1m/s13-7 平面机构由两匀质杆 AB、 BO 组成，两杆的质量均为 m，长度均为 l 在铅垂平面内运动。在杆 AB 上作用一不变的力偶矩 M，从图示位置由静止开始运动。不计摩擦，试求当滚 A 即将碰到铰支座 O 时 A 端的速度。解：OB 杆定轴转动；AB 杆平面运动。（转向如图 a）B如图 b、c 所示。lv以 B 为基点 lvAB ,vA当
4、 A 碰 O 时， /0l2由动能定理： )cos1(21 lmgMW2222221 314311)3(0 AOC mvllllmJvT OBA由 12得 )cos( 3glMvA 1 13-9 在图示滑轮组中悬挂两个重物，其中 M1 的质量为 m1，M 2 的质量为 m2。定滑轮 O1的半径为 r1，质量为 m3；动滑轮 O2 的半径为 r2，质量为 m4。两轮都视为均质圆盘。如绳重和摩擦略去不计，并设 。求重物 m2 由静止下降距离 h 时的速度。41解：以整个系统为对象，由题意 知，M 2 由静止向下运动，可应用动能定理确定 M2 的速度。设 M2 下降 h 距离时的速度为 v，则动滑轮
5、 O2 的角速度 2rv 定滑轮 O1 的角速度 12rv根据动能定理 W12=T2-T1即 2121324242 )(vmrrmvghgh故 43128)(13-11 均质连杆 AB 质量为 4 kg，长 l = 600 mm。均质圆盘质量为 6 kg，半径 r = 100 mm。弹簧刚度为 k = 2 N/mm，不计套筒 A 及弹簧的质量。如连杆在图示位置被无初速释放后，A 端沿光滑杆滑下，圆盘做纯滚动。求：（1）当 AB 达水平位置而接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度；（2）弹簧的最大压缩量 。解：（1）杆 AB 处于水平位置时：，B 为 AB 杆瞬心0 ,Bv3sin212lgmWArad
6、/s 95.42330in21,2121lgllTTlABABAB（2）弹簧压缩最大时为 此时 0 ,AB弹性力作功 21kW重力作功 gmlAB42 984206.8.92048.92041 0222221 gmklgkmlkABABABAB舍去负根，得 7 8.13-13 周转齿轮传动机构放在水平面内，如图所示。已知动齿轮半径为 r，质量为 m1，可看成为均质圆盘；曲柄 OA，质量为 m2，可看成为均质杆；定齿轮半径为 R。在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为 M，使此机构由静止开始运动。求曲柄转过 角后的角速度和角加速度。解：整个系统在运动过程中只有力偶矩 M 作功。设曲柄 OA 的转动角速
7、度为 ，动齿轮的转动角速度为 。12动齿轮中心 A 点的速度 （1）)(rROAv因两齿轮啮合点为动齿轮的速度瞬心，故 （2）v由式（1） 、 （2）得 12r曲柄 OA 的质心 C 点的速度 1)(2rvC由动能定理得 212121211 )(3)()( RmrRmrRmM故得 （与 M 同向）21193两边对 t 求导，消去 ，整理得 )( )()612121 同 向与 mrR13-15 水平均质细杆质量为 ，长为 ，C 为杆的质心。杆 A 处为光滑铰支座 ， B 端为一ml挂钩，如图所示。如 B 端突然脱落，杆转到铅垂位置时。问 值多大能使杆有最大角速度？b解： 21AJmgb（1）2)
8、(bl221上式两边对 b 求导，得 ，g2bg代入（1） ，得 mblg)12(2，12lbl6313-17 在图示车床上车削直径 D = 48 mm 的工件，主切削力 F = 7.84 kN。若主轴转速 n = 240 r/min，电动机转速为 1 420 r/min。主传动系统的总效率 ，求机床主轴、电动75.0机主轴分别受的力矩和电动机的功率。解：依题意机床主轴所受力矩 mN 1824108.7233 FM主机床切削功率 kW 725.4 6主切P电动机功率 kW 30.切电电动机主轴所受力矩 mN 4.214.63电电电 M综合问题习题综-1 滑块 M 的质量为 m，在半径为 R 的
9、光滑圆周上无摩擦地滑动。此圆周在铅直面内，如图所示。滑块 M 上系有一刚性系数为 k 的弹性绳 MOA，此绳穿过光滑的固定环 O，并固结在点 A。已知当滑块在点 O 时线的张力为零。开始时滑块在点 B，处于不稳定的平衡状态；当它受到微小振动时，即沿圆周滑下。试求下滑速度 v 与 角的关系和圆环的支反力。解：滑块 M 在下降至任意位置时的运动分析及受力分析如图（a）所示。滑块 M 在下降过程中 v 与 的关系可由动能定理确定：2222 1)sin()1)sin( mvRkRmg 解得 （1）cos2滑块 M 的法向运动微分方程为 )280cos()90(ingkRRvF2N把式（1）代入上式，化
10、简得 2N cos)(4cossinkRmggk综-3 一小球质量为 m，用不可伸长的线拉住，在光滑的水平面上运动，如图所示。线的另一端穿过一孔以等速 v 向下拉动。设开始时球与孔间的距离为 R，孔与球间的线段是直的，而球在初瞬时速度 v0 垂直于此线段。试求小球的运动方程和线的张力 F（提示：解题时宜采有极坐标）解：设小球在任意瞬时的速度为 v1，由于作用于小球的力对小孔 O 之矩为零，故小球在运动过程中对点 O 的动量矩守恒。即 rmvR1001vrR由题意 r = R - vt得小球在任意瞬时绕小孔 O 转动的角速度为 201)(vtRr即 20)(dvtt两边求积分得 vttR020d
11、)(故小球的运动方程为 r = R - vt t0而线的张力为 3221)(vmrF综-5 图示三棱柱 A 沿三棱柱 B 光滑斜面滑动，A 和 B 的质量各为 m1 与 m2，三棱柱 B 的斜面与水平面成 角。如开始时物系静止，忽略摩擦，求运动时三棱柱 B 的加速度。解：1）以 A 及 B 为系统，由于作用于该系统上的外力无水平分量，因此该系统在水平方向动量守恒。即 const21BAx两边求导得： （1）m2)以 B 为动系分析 A 的运动。如图（a） 。根据 aA = ae + ar = aB + ar（2）cosx（3）inry3）对 A 进行受力分析及运动分析，如图（b） ，建立质点运
12、动微分方程gmFA1N1cos由式（2） 、 （3）消去 ar 得 tan)(ABAxy把式（1）代入上式得， ，12再把该式与式（1）代入式（4） 、 （5）中消去 FN，解得（方向向左）gmxaB)sin(221综-7 图示圆环以角速度 绕铅直轴 AC 自由转动。此圆环半径为 R，对轴的转动惯量为J。在圆环中的点 A 放一质量为 m 的小球。设由于微小的干扰小球离开点 A。圆环中的摩擦忽略不计，试求小球到达点 B 和点 C 时，圆环的角速度和小球的速度。解：整个系统在运动过程中对转动轴动量矩守恒，机械能也守恒。设小球至 B 位置时圆环绕 AC 轴转动角速度为 ，小球至 C 位置时圆环角速度
13、为 ，BC又设小球在最低位置为零势能点。1）A 至 B 过程动量矩守恒： BRJ)(2（1）m机械能守恒（2）221BmvJgJg把式（1）代入式（2）解得 1)(22RJmvB2）A 至 C 过程动量矩守恒 J机械能守恒 22211CmvJRgvC2如果确定小球在位置 B 时相对于圆环的速度 vBr，则从速度分析知 vBr 垂直向下，v Be 垂直于图面向里，且 vBe 故22er mRJgvB综-9 图示为曲柄滑槽机构，均质曲柄 OA 绕水平轴 O 作匀角速度转动。已知曲柄 OA 的质量为 m1，OA = r，滑槽 BC 的质量为 m2（重心在点 D） 。滑块 A 的重量和各处摩擦不计。求
14、当曲柄转至图示位置时，滑槽 BC 的加速度、轴承 O 的约束反力以及作用在曲柄上的力偶矩 M。解：曲柄 OA 和滑槽 BC、滑块 A 的受力分析与运动分析分别如图（a） 、 （b）和（c ）所示，其中 p ( x )表示在 BC 在槽上受到的分布力但我们不求这些力。建立如图所示坐标系Oxy。1）求 BCD 的加速度及水平力 。选取 BC 为动系，NFOA 曲柄上滑块 A 为动点，A 点加速度分析如图（c）所示。根据加速度合成定理 aa = ae + ar由于 ra2故 )(oss2ae tBC根据质心运动定理，由图（b）得滑槽 BC 的运动微分方程 N2FamBC2）求轴承 O 的动反力及作用
15、在曲柄 OA 上的力矩 M 曲柄 OA 的质心在 E 点， E 点加速度的方向沿曲柄 OA 方向，且指向 O 点（见图 a） ，其大小为 2ra根据质心运动定理及刚体绕定轴转动微分方程（1）ExOxmF1N（2）yyag1(3)01cossinJtrgtrM将 aEyEx in,co,N及 = 02103rmJ代入方程（1） 、 （2） 、 （3）中，解得轴承动反力 )sin2(co112trgFOyx作用在曲柄 OA 上的力矩 trtrmMcosi21综-11 图示均质杆长为 2l，质量为 m，初始时位于水平位置。如 A 端脱落，杆可绕通过B 端的轴转动、当杆转到铅垂位置时，B 端也脱落了。不计各种阻力，求该杆在 B 端脱落后的角速度及其质心的轨迹。解：（一）B 脱落前瞬时 lgll23)(12B 脱落后杆以此角速度在铅直面内匀
