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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）第卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2014年天津，理1，5分】是虚数单位，复数（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故选A【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题（2）【2014年天津，理2，5分】设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点时，取得最小值3，故选B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合
2、是解决线性规划题目的常用方法（3）【2014年天津，理3，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（ ）（A）15 （B）105 （C）245 （D）945【答案】B【解析】时，；时，；时，输出，故选B【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键（4）【2014年天津，理4，5分】函数的单调递增区间是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，解得或由复合函数的单调性知的单调递增区间为，故选D【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题（5）【2014年天津，理5，5分】已知双曲线的
3、一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】依题意得，所以，双曲线的方程为，故选A【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题（6）【2014年天津，理6，5分】如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交 于点，过点的圆的切线与的延长线交于点在上述条件下，给出下列四个结论：平分；则所有正确 结论的序号是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】圆周角对应劣弧，圆周角对应劣弧，弦切角对应劣弧，圆周角对应劣弧，是的平分线，即平分即结论正确又由，得由，即结论成立由，得即结论成立正确结论有，
4、故选D【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题（7）【2014年天津，理7，5分】设，则|“”是“”的（ ）（A）充要不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充要也不必要条件【答案】C【解析】解法一：设，则，所以是上的增函数，“”是“”的充要条件，故选C解法二：若，则不等式等价为此时成立若，则不等式等价为，即，此时成立若，不等式等价为，即，此时成立，综上则“”是“”的充要条件，故选C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键（8）【2014年天津，理8，5分】已知菱形
5、的边长为2，点分别在边上，若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】因为，所以因为，所以，因为，所以，即 同理可得 ，+得，故选C【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题第II卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分（9）【2014年天津，理9，5分】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生【答案】60【解
6、析】应从一年级抽取名【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各 层的样本数之比，属于基础题（10）【2014年天津，理10，5分】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 【答案】【解析】由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高 为2，底面直径为4，几何体的体积【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键（11）【2014年天津，理11，5分】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和若 成等比数列，则的值为 【答案】【解析】依题意得，所
7、以，解得【点评】本题主要考查等差数列的前项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题（12）【2014年天津，理12，5分】在中，内角所对的边分别是已知，则的值为 【答案】【解析】因为，所以，解得，所以【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题（13）【2014年天津，理13，5分】在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点若是等边三角形，则的值为 【答案】【解析】圆的方程为，直线为因为是等边三角形，所以其中一 个交点坐标为，代入圆的方程可得【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出的坐标是解题的关键，属于基础题（14）【2014年天津，理14，5
8、分】已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为 【答案】【解析】解法一：（）当与相切时，此时恰有3个互异的实数根（）当直线与函数相切时，此时恰有2个互异的实数根结合图象可知或解法二：显然，所以令，则因为，所以结合图象可得或【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大 三、解答题：本大题共6题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）【2014年天津，理15，13分】已知函数，（1）求的最小正周期；（2）求在闭区间上的最大值和最小值解：（1）由已知，有 所以，的最小正周期 （2）因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以
9、，函数在闭区间上的最大值为，最小值为【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题（16）【2014年天津，理16，13分】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望解：（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为
10、事件，则所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为所以，的最小正周期（2）随机变量的所有可能值为0，1，2，3所以，随机变量的分布列是0123随机变量的数学期望【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力（17）【2014年天津，理17，13分】如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点（1）证明 ；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值解：解法一：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，由为棱的中点，得（1）向量，故所以，（2）向量，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的
11、一个 法向量，所以，直线与平面所成角的正弦值为（3）向量，由点在棱上，设，故由，得，因此，解得即设为平面的法向量，则，即不妨令，可得为平面的一个法向量取平面的法向量，则易知，二面角是锐角，所以其余弦值为解法二：（1）如图，取中点，连接，由于分别为的中点，故 ，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又 ，所以（2）连接，由（1）有平面，得，而，故又因为， 为的中点，故，可得，所以平面，故平面平面直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角依题意，有，而为中点，可得，进而故在直角三角形中，因此 所以，直线与平面所成角的正弦值
12、为（3）如图，在中，过点作交于点因为底面，故 底面，从而又，得平面，因此在底面内，可得，从而在平面内，作交于点，于是由于，故，所以四点共面由， ，得平面，故所以为二面角的平面角在中，由余弦定理可得，所以，二面角的斜率值为【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键（18）【2014年天津，理18，13分】设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为已知（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切 求直线的斜率解：（1）设椭圆的右焦点的坐标为由，可得，又，则所以，椭圆的离心率
13、，所以，解得，（2）由（1）知，故椭圆方程为设由，有，由已知，有，即又，故有 又因为点在椭圆上，故 由和可得而点不是椭圆的顶点，故，代入得，即点的坐标为设圆的圆心为，则，进而圆的半径设直线的斜率为，直线的方程为由与圆相切，可得，即，整理得，解得所以，直线的斜率为或【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题（19）【2014年天津，理19，14分】已知和均为给定的大于1的自然数设集合，集合（1）当，时，用列举法表示集合；（2）设，其中，证明：若，则解：（1）当，时，可得，（2）由，及，可得 所以，【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题（20）【2014年天津，理20，14分】已知函数，已知函数 有两个零点，且（1）求的取值范围；（2）证明随着的减小而增大；（3）证明随着
