《2017-2018学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算2.5.3直线与平面的夹角北师大选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算2.5.3直线与平面的夹角北师大选修2-1（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5.3 直线与平面的夹角,直线与平面的夹角,名师点拨1.直线与平面所成的角用向量来求时,得到的不是线面角,而是它的余角(或补角的余角).应注意到线面角为锐角(或直角). 2.直线与平面所成角的范围是 .可通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得,关系式:sin =|cos |或cos =sin .,【做一做1】 已知线段AB=8,AB在平面内的射影长为4,则直线AB与平面所成的角为( ) A.30 B.60 C.90 D.120,答案:B,【做一做2】 已知直线l的方向向量为s=(1,0,0),平面的法向量为n=(2,1,1),则直线与平面夹角的正弦值为 .,思考辨析 判断下列说法是否正
2、确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)直线与平面的夹角都是锐角. ( ) (2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角. ( ) (3)当直线与平面的夹角为0时,说明直线与平面平行. ( ),探究一,探究二,一题多解,直线与平面的夹角 【例1】在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,ABBD,CDBD.将ABD沿BD折起,使得平面ABD平面BCD,如图. (1)求证:ABCD; (2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.,探究一,探究二,一题多解,思维点拨:在第(1)问中,考查线线垂直问题,要寻求线线垂直的条件,可以是线面垂直或面面垂直.结合
3、具体条件,利用面面垂直去证明线线垂直,只需在其中一个平面内的一条直线垂直于交线就可以了.在第(2)问中,欲求直线与平面所成角的正弦值,自然联想到借助于向量解决,建立合适的坐标系之后,求得平面的法向量n,再在直线上确定一个方向向量,求得这两个向量夹角的余弦值,其绝对值即为线面角的正弦值. (1)证明:平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,AB平面ABD,ABBD, AB平面BCD. 又CD平面BCD,ABCD.,探究一,探究二,一题多解,(2)解:过点B在平面BCD内作BEBD,如图. 由(1)知AB平面BCD,BE平面BCD,BD平面BCD, ABBE,ABBD.,设平面MBC的法
4、向量n=(x0,y0,z0),探究一,探究二,一题多解,取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1). 设直线AD与平面MBC所成角为,反思感悟本题属于点、线、面的位置关系的判定与空间角的求解的综合性问题.针对第(1)问,涉及线线垂直的证明一般直接用判定或性质定理即可.针对第(2)问,涉及线面角的解决要侧重于建系,用向量的方法解决.,探究一,探究二,一题多解,变式训练1已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形,长方体的高AA1=3,则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于( ),解析:建立如图所示的空间直角坐标系, 底面是边长为4的正方形,AA1=3
5、, A1(4,0,0),B(4,4,3),C1(0,4,0).,答案:C,探究一,探究二,一题多解,夹角的综合计算 【例2】如图,在三棱锥P-ABC中,APB=90,PAB=60,AB=BC=CA,平面PAB平面ABC. (1)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值; (2)平面APC与平面PAB夹角的余弦值. 思维点拨:先利用面面垂直关系,建立空间直角坐标系,再利用线面角、面面角的向量方法求解.,探究一,探究二,一题多解,解:设AB的中点为D,连接CD,作POAB于点O. 因为平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,所以PO平面ABC.所以POCD. 由AB=BC=CA,知CDAB.
6、 设E为AC中点,连接OE,则EOCD, 从而OEPO,OEAB. 如图,以O为坐标原点,OB,OE,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.,探究一,探究二,一题多解,探究一,探究二,一题多解,反思感悟求空间角的两种思路: (1)几何法:利用定义找出空间角,一般都放在某个三角形中,然后解三角形即可. (2)向量法:一般用向量的坐标法解决,先根据条件建立空间直角坐标系,再利用线线角、线面角、面面角的向量法夹角公式求解.,探究一,探究二,一题多解,变式训练2如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABAC,D,E分别为AA1,B1C的中点,DE平面BCC1B1. (1)证明:AB=
7、AC; (2)设平面ABD与平面BCD的夹角为60,求B1C与平面BCD所成的角的大小.,探究一,探究二,一题多解,(1)证明:以A为坐标原点, 射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),探究一,探究二,一题多解,探究一,探究二,一题多解,线面角的求法 【典例】 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 a,求AC1与侧面ABB1A1的夹角.,思路点拨:,探究一,探究二,一题多解,解:方法一:如图所示,取A1B1的中点M, 则C1MA1B1,又因为平面A1B1C1平面ABB1A1,且交线为A1B1,所以C
8、1M平面ABB1A1,故AM为AC1在平面ABB1A1上的投影,即C1AM为直线AC1与侧面ABB1A1的夹角.在RtAC1M中,即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30.,探究一,探究二,一题多解,方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,取A1B1的中点M,由方法一知C1AM是直线AC1与侧面ABB1A1的夹角.,探究一,探究二,一题多解,=30,即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30.,探究一,探究二,一题多解,通题通法求线面角的三个思路: (1)几何法:利用定义在图中作出线面角,然后证明,放在直角三角形中求角. (2)几何与向量结合法:利用定义在图中找(作)出线面角,然后证明,转化为向量的夹
9、角计算. (3)向量法:利用线面角和直线的方向向量s与平面的法向量n的夹角之间的公式sin =|cos|计算.,探究一,探究二,一题多解,变式训练在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A1B与平面A1B1CD所成的角.,解:(方法一)如图,连接BC1,与B1C交于点O,连接A1O.由题意可知A1B1平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,所以A1B1BC1,因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1B1C,且B1CA1B1=B1,所以BC1平面A1B1CD,故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影,即BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱
10、长为1,探究一,探究二,一题多解,所以BA1O=30,即A1B与平面A1B1CD所成的角是30.,探究一,探究二,一题多解,(方法二)如图,建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1,则由题意可知A1(1,0,1),B(1,1,0).连接BC1,与B1C交于点O,探究一,探究二,一题多解,(方法三)如图,建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1,1 2 3 4,1.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120,则直线l与平面所成的角等于( ) A.120 B.60 C.30 D.以上均错 解析:直线l与平面所成的角=120-90=30. 答案:C,1 2 3 4,2.已知正三
11、棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1夹角的正弦值等于( ),解析:如图, 作B1DA1C1,垂足为D,连接AD. ABC-A1B1C1为正三棱柱, B1D平面ACC1A1, B1AD为所求的AB1与侧面ACC1A1的夹角.,答案:A,1 2 3 4,3.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且BAC= ,则PA与底面ABC的夹角为 .,解析:取BC的中点O,因为POBC,且AOBC=O, 所以PO平面ABC,即PAO为PA与底面ABC的夹角.,1 2 3 4,4.如图,在三棱锥P-ABC中,ABBC,AB=BC= PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP底面ABC. (1)求证:OD平面PAB. (2)求直线OD与平面PBC夹角的正弦值.,1 2 3 4,解:OP平面ABC,OA=OC,AB=BC, OAOB,OAOP,OBOP. 以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.,则P(0,0,h).,1 2 3 4,OD平面PAB,PA平面PAB, OD平面PAB.,1 2 3 4,
