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1、1第十五章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1转化思想转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想,如,分式除法、分式乘法;分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法、同分母的分式加减法;解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等2建模思想本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等,在运用数学知识解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历“实际问题分式方程模型求解解释解的合理性”的数学化过程,体会分式方程的模型思
2、想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义3类比法 本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则,从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧,无一不体现了类比思想的重要性,分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则: 0bcaa2.异分母加减法则: ;,0dbcdc3.分式的乘法与除法: ,baca4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同
3、底数幂的乘法与除法;a m a n =am+n; am an =amn6.积的乘方与幂的乘方:(ab) m= am bn , (am)n= amn7.负指数幂: a -p= a0=11p8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(ab)2= a22ab+b2(一) 、分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义【例 1】下列代数式中: ,是分式的有: .yxbayx1,21, 2题型二:考查分式有意义的条件【例 2】当 有何值时,下列分式有意义x(1) (2) (3) (4) (5)4x12x3|6xx1题型三:考查分式的值为 0 的条件【例 3】当 取何值
4、时,下列分式的值为 0. x(1) (2) (3)4|x6532x题型四:考查分式的值为正、负的条件【例 4】 (1)当 为何值时,分式 为正;x8(2)当 为何值时,分式 为负;x2)1(35(3)当 为何值时,分式 为非负数.x练习:1当 取何值时,下列分式有意义:x(1) (2) (3)3|61)(32xx12当 为何值时,下列分式的值为零:x(1) (2)4|1|5562x23解下列不等式(1) (2)02|x 035x(二)分式的基本性质及有关题型1分式的基本性质: MBA2分式的变号法则: baba题型一:化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化
5、为整数.(1) (2)yx432ba04.3题型二:分数的系数变号【例 2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.(1) (2) (3)yxbaba题型三:化简求值题【例 3】已知: ,求 的值.51yxyx2提示:整体代入, ,转化出 .31【例 4】已知: ,求 的值.21x21x【例 5】若 ,求 的值.0)3(|yy4练习:1不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.(1) (2)yx5.08.3ba10453.2已知: ,求 的值.31x2x3已知: ,求 的值.31baab24若 ,求 的值.062535如果 ,试化简 .1xx2| x|1(三)分
6、式的运算1确定最简公分母的方法:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2确定最大公因式的方法:最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一:通分【例 1】将下列各式分别通分.(1) ; (2) ;cbac25,32 ab2,(3) ; (4),1,xxx 1,题型二:约分【例 2】约分:(1) ;(3) ;(3) .06xynm262x题型三:分式的混合运算【例 3】计算:(1) ; (2) ;422)()abccba 223)()()( xyxya(3) ; (4) ;mnnm 12(5) ;
7、87432111xxx(6) ;)5()()(3(7) )12()4(2xx题型四:化简求值题【例 4】先化简后求值(1)已知: ,求分子 的值;1x )12()4(82xxx(2)已知: ,求 的值;432zy223zy(3)已知: ,试求 的值.01a)1(aa题型五:求待定字母的值【例 5】若 ,试求 的值.1132xNMx,练习:1计算(1) ; (2) ;)1(23)()(25aa aba22(3) ; (4) ;bcbc (5) ; (6) ;)4)(4(aa 211xx(7) .)2(1)3(12)3(21xxx2先化简后求值(1) ,其中 满足 .1242aaa02(2)已知
8、,求 的值.3:yx 23)()( yxyxyx3已知: ,试求 、 的值.12)12(45xBAxAB4当 为何整数时,代数式 的值是整数,并求出这个整数值.a80539a(四) 、整数指数幂与科学记数法题型一:运用整数指数幂计算【例 1】计算:(1) (2)312)()(bca 23213)5()(zxyzyx(3) (4)24253)()(ba 623)()()( 题型二:化简求值题【例 2】已知 ,求(1) 的值;(2)求 的值.5xx4x题型三:科学记数法的计算【例 3】计算:(1) ;(2) .3)10.8()0(3223)10()104(练习:1计算:(1) 208702 4)5
9、.()31(|)51(3( (2) 32)(nmn(3) 2323)(ab2已知 ,求(1) , (2) 的值.05x1x2x第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. (一)分式方程题型分析题型一:用常规方法解分式方程【例 1】解下列分式方程4(1) ;(2) ;(3) ;(4)x301x12xx453提示易出错的几个问题:分子不添括号;漏乘整数项
10、;约去相同因式至使漏根;忘记验根.题型二:求待定字母的值【例 4】若关于 的分式方程 有增根,求 的值.x312xm【例 5】若分式方程 的解是正数,求 的取值范围.aa提示: 且 , 且 .032x2x4题型三:解含有字母系数的方程【例 6】解关于 的方程x)0(dcxba提示:(1) 是已知数;(2) .b, 0dc题型四:列分式方程解应用题练习:1解下列方程:(1) ; (2) ;021xx 342x(3) ; (4)3 17722x(5) (6)2542x 451x(7) 8179x2解关于 的方程:x(1) ;(2) .ba)(a)(1bax3如果解关于 的方程 会产生增根,求 的值.x2kk4当 为何值时,关于 的方程 的解为非负数.k 1)2(3xkx5已知关于 的分式方程 无解,试求 的值.xax12a(三)分式方程求待定字母值的方法例 1若分式方程 无解,求 的值。xmx21例 2若关于 的方程 不会产生增根,求 的值。1kk例 3若关于 分式方程 有增根,求 的值。x4321xx例 4若关于 的方程 有增根 ,求 的值。151k1xk