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1、1第十五章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等2建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题分式方程模型求解解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思
2、想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义3类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则: 0bcaa2.异分母加减法则: ;,0dbcdc3.分式的乘法与除法: ,baca4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同
3、底数幂的乘法与除法;a m a n =am+n; am an =amn6.积的乘方与幂的乘方:(ab) m= am bn , (am)n= amn7.负指数幂: a -p= a0=11p8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(ab)2= a22ab+b2（一） 、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例 1】下列代数式中： ，是分式的有： .yxbayx1,21, 2题型二：考查分式有意义的条件【例 2】当 有何值时，下列分式有意义x（1） （2） （3） （4） （5）4x12x3|6xx1题型三：考查分式的值为 0 的条件【例 3】当 取何值
4、时，下列分式的值为 0. x（1） （2） （3）4|x6532x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例 4】 （1）当 为何值时，分式 为正；x8（2）当 为何值时，分式 为负；x2)1(35（3）当 为何值时，分式 为非负数.x练习：1当 取何值时，下列分式有意义：x（1） （2） （3）3|61)(32xx12当 为何值时，下列分式的值为零：x（1） （2）4|1|5562x23解下列不等式（1） （2）02|x 035x（二）分式的基本性质及有关题型1分式的基本性质： MBA2分式的变号法则： baba题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化
5、为整数.（1） （2）yx432ba04.3题型二：分数的系数变号【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1） （2） （3）yxbaba题型三：化简求值题【例 3】已知： ，求 的值.51yxyx2提示：整体代入， ，转化出 .31【例 4】已知： ，求 的值.21x21x【例 5】若 ，求 的值.0)3(|yy4练习：1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1） （2）yx5.08.3ba10453.2已知： ，求 的值.31x2x3已知： ，求 的值.31baab24若 ，求 的值.062535如果 ，试化简 .1xx2| x|1（三）分
6、式的运算1确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例 1】将下列各式分别通分.（1） ； （2） ；cbac25,32 ab2,（3） ； （4）,1,xxx 1,题型二：约分【例 2】约分：（1） ；（3） ；（3） .06xynm262x题型三：分式的混合运算【例 3】计算：（1） ； （2） ；422)()abccba 223)()()( xyxya（3） ； （4） ；mnnm 12（5） ；
7、87432111xxx（6） ；)5()()(3（7） )12()4(2xx题型四：化简求值题【例 4】先化简后求值（1）已知： ，求分子 的值；1x )12()4(82xxx（2）已知： ，求 的值；432zy223zy（3）已知： ，试求 的值.01a)1(aa题型五：求待定字母的值【例 5】若 ，试求 的值.1132xNMx,练习：1计算（1） ； （2） ；)1(23)()(25aa aba22（3） ； （4） ；bcbc （5） ； （6） ；)4)(4(aa 211xx（7） .)2(1)3(12)3(21xxx2先化简后求值（1） ，其中 满足 .1242aaa02（2）已知
8、，求 的值.3:yx 23)()( yxyxyx3已知： ，试求 、 的值.12)12(45xBAxAB4当 为何整数时，代数式 的值是整数，并求出这个整数值.a80539a（四） 、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例 1】计算：（1） （2）312)()(bca 23213)5()(zxyzyx（3） （4）24253)()(ba 623)()()( 题型二：化简求值题【例 2】已知 ，求（1） 的值；（2）求 的值.5xx4x题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：（1） ；（2） .3)10.8()0(3223)10()104(练习：1计算：（1） 208702 4)5
9、.()31(|)51(3( （2） 32)(nmn（3） 2323)(ab2已知 ，求（1） ， （2） 的值.05x1x2x第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. （一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例 1】解下列分式方程4（1） ；（2） ；（3） ；（4）x301x12xx453提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项
10、；约去相同因式至使漏根；忘记验根.题型二：求待定字母的值【例 4】若关于 的分式方程 有增根，求 的值.x312xm【例 5】若分式方程 的解是正数，求 的取值范围.aa提示： 且 ， 且 .032x2x4题型三：解含有字母系数的方程【例 6】解关于 的方程x)0(dcxba提示：（1） 是已知数；（2） .b, 0dc题型四：列分式方程解应用题练习：1解下列方程：（1） ； （2） ；021xx 342x（3） ； （4）3 17722x（5） （6）2542x 451x（7） 8179x2解关于 的方程：x（1） ；（2） .ba)(a)(1bax3如果解关于 的方程 会产生增根，求 的值.x2kk4当 为何值时，关于 的方程 的解为非负数.k 1)2(3xkx5已知关于 的分式方程 无解，试求 的值.xax12a（三）分式方程求待定字母值的方法例 1若分式方程 无解，求 的值。xmx21例 2若关于 的方程 不会产生增根，求 的值。1kk例 3若关于 分式方程 有增根，求 的值。x4321xx例 4若关于 的方程 有增根 ，求 的值。151k1xk
