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1、1第十八章 静电场中的导体和电介质18-1如图所示，三块平行放置的金属板 、 、 ，面积均为 、 板接地，ABCSBC板带电量 ，其厚度可忽略不计设 、 板间距为 ， 、 板间距为 因 很AQld小，各金属板可视为无穷大平面，即可忽略边缘效应试求：（1） 、 板上的感应电荷， （2）空间的场强及电势分布解 因 很小，各金属板可视为无穷大平面，所以除边缘部分外，可认为 沿 方d EOz向， 相同处 的大小相同，即 zE()zEk（1）设 、 表面的面电荷密度为 、 、 、 如图所示由于 、 板接BC1234BC地，故 、 板电势与无穷远相同，电势均为零若 、 板外表面带有电荷，必有电场BC线连接
2、板外表面与无穷远，则 、 板电势与无穷远不同，因此可知 、 板外表面不带电荷，即 140作高斯面为闭合圆柱面如图，两底面在 、 板内部、与 垂直，侧面与 平行，Ozz由高斯定理 23101d()QESSA可得 23S（1）根据叠加原理，区 为 3 个无穷大带电平面产生的场强的叠加，即32100zQSE同理，区电场强度 2z因为 、 间的电压 与 、 板的电压 相等， ，即ABABUCACU12()zzEldl33220000()()(SSl即 （2）23Qdl联立求解（1） （2）式得： ， 所以 、 板内表面分别带电lSSBC，2Qd3lQd（2）区 3100zE001()22l0()lS1
3、1zzlEl(lzdS区 3200zS00()220ldS2dzzll(QzdS218-2点电荷 放在电中性导体球壳的中心，壳的内外半径分别为 和 ，如图所q 1R2示求场强和电势的分布，并画出 和 曲线rE解 由于电荷 位于球心 ，导体球壳对球心 具有球对称性，故OO感应电荷和电场的分布也对球心 具有球对称性；可知感应电荷均匀分布在导体球壳的内外表面上；电场线为过 点的放射状半直线，场强沿半径方向，在到 点的距离 相同处，场强的大小 相等设球壳ErE内表面带电 ，外表面带电 1Q2用以 点为球心， 为半径的球面为高斯面，根据高斯定理O1R10d()ESqQA可知 ；由于导体球壳电中性，由 ，
4、所以 1q122q根据叠加原理，场强和电势分别为点电荷 、均匀带电 和 的球面的场强和电势1的叠加考虑到在电荷球对称分布情况下，在电荷分布区以外的场强和电势与总电量集中在球心的点电荷的场强和电势的表达式相同取参考点在无穷远； 时， 2rR，1212004qQqErr121004Qq时， ，2Rr2122时， ，104qr10010012()44qqrRrR请读者画出 和 曲线E18-3一半径为 的金属球 外罩有一个同心金属球壳 ，球壳很薄，内外半径均ARB可看成 ，如图所示已知 带电量为 ， 带电量为 试求：（1） 的表面 ，B AQA1S的内外表面 、 上的电量；（2） 、 球的电势（无穷远
5、处电势为零） S3解 由于金属球 和同心金属球壳 对球心 具有球对称性，故电荷和电场的分布也BO对球心 具有球对称性；可知电荷均匀分布在导体球壳的内外表面上；电场线为过 点的O O放射状半直线，场强 沿半径方向，在到 点的距离 相同处，场强的大小 相等ErE（1）金属球 带电 分布于 的外表面 ；设金属球壳 内表面带电 ，外表面A1SB2Q带电 ， 3Q23B用以 点为球心、 为半径、位于球壳 金属内部的球面为rR高斯面，根据高斯定理 A201d()ESQ可知 ；由于 ，所以 2A23B3B（2）根据叠加原理，电势为三个均匀带电球面产生电势的叠加，即区域， BrRA2A1004rr令 ，即为
6、球的电势 BBR3区域，BARr3A2 AB200B001()44QQQrRrR令 ，即为 球的电势 A1()18-4同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱构成，如图所示设内圆柱体的半径为 ，外圆柱体的内半径为 使内圆柱带电，单位长度上的电量为 ，1R2R试求内外圆柱间的电势差解 由于两个同轴金属直圆柱可视为无限长、对圆柱轴线 轴对称；所以电荷和电场O的分布也对圆柱轴线 轴对称；电场线在垂直于圆柱轴线的平面内，为过圆柱轴线的放射O状半直线；场强 沿半径方向，在到轴线 的距离 相同处，场强的大小 相等EOrE用以圆柱轴线为轴，两底面与圆柱轴线垂直的闭合圆柱面为高斯面高斯面的两底面与圆柱
7、轴线 垂直，半径为 ， ；两底面与 平行， 通量为零；圆柱侧面长r21RE度为 ，与 正交， 通量 由高斯定l lE理 10dESrlA可得 02r沿电场线积分，由 沿半径到 ，内外圆柱间的电势差1R22 2111 2001ddlnRRRUElrr18-5半径为 的导体球外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别.0cm为 和 （如图所示） 球与球壳间是空气，球壳外也是空气，当内球带电荷为4.0c5时，试求：（1）这个系统的静电能；（2）如果用导线把球壳与球连在一起，83C结果如何？解 （1）考虑系统对球心 具有球对称性，可知内球表面均匀带O电 根据高斯定理可以求得球壳的内表面均匀带电
8、，8.Q 83.01CQ球壳的外表面均匀带电 根据导体性质和叠加原理可得83.0CQ区和 区， ；10.2mr2340.5mrE区和 区， 3r0rEe系统静电能 21 32 2t0 01()4d()4dr rWrrr0123(8Q.8(J（2）如果用导线把球壳与球连在一起，则球壳与球成为一个导体，仅球壳的外表面均匀带电 根据导体性质和叠加原理可得3.C区， ； 区， rE3r204rEe4系统静电能 32t01()4drQWr20318r5.(J)18-6范德格拉夫起电机球形高压电极 的外半径为 ，空气的介电强度（击穿Acm场强）为 ，问此范德格拉夫起电机最多能达到多大电压？13kVm解 球
9、形高压电极 的外半径为 ，电极 外接近电极处场强最大A0.2R61max3k4qE起电机能达到最大电压 5maxa00(V)U18-7如图所示， ，其余的电容均为 （1）求 、 间总电682FC3FAB容 （2）若 ，求 、 上的电量 （3）若 ，求 90VAB19UAB9CD解 （1） 、 、 串联，345345所以 与 并联，则345FC456C3F与 、 串联，电容为 ，62734562711C可得 与 并联，电容为 ， 1FC8 83F与 、 串联，电容为 ，9AB19因此 1AB（2） 、 与 串联， ， ，C919C ABU所以 ，故 130VABU41910(C)（3）由 ， 、
10、 、 串联， ，故456273456273FC0VCD18-8收音机里用的电容器如图所示，其中共有 个面积为n的金属片，相邻两片的距离均为 奇数片连在一起作为一极，Sd它们固定不动（叫做定片） 偶数片连在一起作为另一极，可以绕轴转动（叫做动片） （1）转动到什么位置 最大？转动到什么位置C最小？（2） 忽略边缘效应，证明 的最大值dSnC0max)(解 相邻的奇数金属片和偶数金属片的相对面构成一个平行板电容器，电容 ，0iSCd为相邻两金属片相对的面积S5因奇数金属片和偶数金属片分别连成一极， 个金属片就构成了 个并联的平行n(1)n板电容器，其电容量 0(1)()iSCd当 最大，即可动金属
11、片完全旋进时（可动金属片转至和固定金属片完全相对） ，此电容S器的电容最大， ；当 最小，即可动金属片完全旋出时， 0max()Snd min0C18-9一个电偶极子，其电偶极矩为 ，把它放在8210Cmp的均匀外电场中 （1）外电场作用于电偶极子上的最大力矩多大？5101.VE（2）把偶极子从 位置转到电场力矩最大（ ）的位置时，外力所做的功多大？0解 （1） ，当 时TpE2853max02101(N).（2）电场力做功， ，0sindsindAFlqlE00iql p外力做功 32(J)pE18-10如图所示，平行板电容器两板带电量分别为 ，两板间距为 ，其间有两种Qd电介质：1 区介质电容率为 ，所占面积为 ；2 区介质电容率为 ，所占面积11S2为 求：（1）两区的 、 和 、 ，两区对应极板上的自由电荷面密度 、2SD 1；（2）电容器的电容 C解 作 轴垂直于板面忽略边缘效应 均匀，沿 方z Dz向取高斯面为小圆柱面如图，根据高斯定理可得，11dSSA1所以 同理 1Dk2k两极板是导体，极板为等势体， ， 12Ed12E由于 ， ，所以 又因 ，故1E22SQ，112QS22112EkS，112DkkS 21QDkS（第十八章题解结束）
