数学学案：正态分布、线性回归

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1、 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网12.4 正态分布、线性回归一、 知识梳理1正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。2正态曲线及其性质正态分布函数： ，x（- ，+）2()1()fxe3标准正态曲线标准正态曲线 N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线， ，以及标准00()1()x正态总体在任一区间(a，b)内取值

2、概率 。)(abP4一般正态分布与标准正态分布的转化由 于 一 般 的 正 态 总 体 其 图 像 不 一 定 关 于 y 轴 对 称 ， 对 于 任 一 正 态 总 体),(2， 其 取 值 小 于 x 的 概 率 。 只 要 会 用 它 求 正 态 总 体 在 某),(2)(xF ),(2N个 特 定 区 间 的 概 率 即 可 。5“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于 5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多

3、了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有 5%的犯错误的可能。课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。进行假设检验一般分三步：第一步，提出统计假设。课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布 ；),(2N第二步，确定一次试验中的取值 a 是否落入范围（-3，+3）；第三步，作出推断。如果 a（-3，+3），接受统计假设；如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。)3,(a6相关关系研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的。对于相关关系我们可以从下三个方面加以认识：相关关系与函数关系不同。函数关

4、系中的两个变量间是一种确定性关系。相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。 函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。 函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化。 7回归分析本节所研究的回归分析是回归分析中最简单，也是最基本的一种类型一元线性回归分析。对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面： 回 归 分 析 是 对 具 有 相 关 关 系 的 两 个 变 量 进 行 统 计 分 析 的 方 法 。 两 个 变 量 具 有 相 关 关 系 是回 归 分 析 的 前 提 。散点图是定义在具有相关系的两个变量基础上的

5、，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析。求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网8相关系数有时散点图中的各点并不集中在一条直线的附近，仍可以按照求回归直线方程的步骤求得回归直线方程。显然这种情形下求得的回归直线方程没有实际意义。那么，在什么情况下求得的回归直线方程才能对相应的一组观测数据具有代表意义？课本中不加证明地给出了

6、相关系数的公式。相关系数公式的作用在于，我们对一组数据之间的线性相关程度可作出定量的分析，而不是仅凭画出散点图，直觉地从散点图的形状粗浅地得出数据之间的线性相关程度。9线性相关性检验相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验 y 与 x 之间线性相关与否的具体办法。限于要求，中学阶段只要求掌握这种检验方法的操作步骤，而不要求对这种方法包含的原理进行深入研究。其具体检验的步骤如下：在课本中的附表 3 中查出与显著性水平 0.05 与自由度 n-2（n 为观测值组数）相应的相关系数临界值 。05.r根据公式 计算 r 的值。ni niiiyxy1212)(检验所得结果。如果 ，那么可以认为 y

7、 与 x 之间的线性相关关系不显著，从05.|r而接受统计假设。如果 ，表明一个发生的概率不到 5%的事件在一次试验中竟发生.|了。这个小概率事件的发生使我们有理由认为 y 与 x 之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，拒绝这一统计假设也就是表明可以认为 y 与 x 之间具有线性相关关系。 教学目标1了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。2了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体 转化为标准正态总体),(2NN（0，1）的公式 及其应用；通过生产过程的质量控制图，了解假设)()xF检验的基本思想。3了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。4了解相关系数

8、的计算公式及其意义，会用相关系数公式进行计算；了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。重点：正态分布的意义及主要性质，线性回归的方法和简单应用。二、基础训练1.如果随机变量 N（ ， 2），且 E =3，D =1，则 P（1 1等于 BA.2 （1）1 B. （4） （2）C. （2） （4） D. （4） （2）2. 为考虑广告费用 x 与销售额 y 之间的关系，抽取了 5 家餐厅，得到如下数据：广告费用（千元） 1.0 4.0 6.0 10.0 14.0销售额（千元） 19.0 44.0 40.0 52.0 53.0现要使销售额达到 6 万元，则需广告费用为_1.5 万元_

9、.（保留两位有效数字）三、例题剖析【例 1】 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在 d ，液体的温度 （单位：）是一个随机变量，且 N（d，0.5 2） .（1）若 d=90，求 0，则 A 的值为 （ ）A1 Bb C Db-aa13某工厂某产品产量 x（千件）与单位成本 y（元）满足回归直线方程 ，xy82.1367则以下说法中正确的是 （ ）A产量每增加 1000 件，单位成本下降 1.82 元 B产量每减少 1000 件，单位成本上升 1.82 元C产量每增加 1000 件，单位成本上升 1.82 元 D产量每减少 1000 件，单位成本下降 1.82 元4工人月工资

10、（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为 ，下列判断正xy906确的是 （ ）A劳动生产率为 1000 元时，工资为 150 元 B劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 150 元C劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 90 元 D劳动生产率为 1000 元时，工资为 90 元5若随机变量 N（5，2），且 P(a)=0.9，则 a=_。6已知连续型随机变量 x 的分布函数为： 21 ax0 )(xf其 他则 a=_， _。)23(P7设随机变量 服从 N（0，1），求下列各式的值：（1）P(2.55)； （2）P(-1.44)； （3）P(|1.52)。8某厂生产的圆柱形零件的外径

11、 N（4，0.25）。质检人员从该厂生产的 1000 件零件中随机抽查一件，测得它的外径为 5.7cm。试问该厂生产的这批零件是否合格？9现随机抽取了我校 10 名学生在入学考试中的数学成绩（x）与入学后的第一次考试中的数学成绩（y），数据如下： 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网试问这 10 个学生的两次数学考

12、试成绩是否具有显著性线性相关关系？10某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从这个工业部门内随机抽取选了 10 个企业作样本，有如下资料： 产量（千件） 40 42 48 55 65 79 88 100 120 140生产费用（千元） 150 140 160 170 150 162 185 165 190 185完成下列要求：（1）计算 x 与 y 的相关系数；（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验；（3）设回归直线方程为 ，求系数 a，b。bx 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有2

13、1 世纪教育网同步练习（参考答案）：1B 2C 3A 4C 56.52 6 ，32a32)(xP提示： 5因为 N（5，2）， ，查表知 ，解得9.0)5()(P 8.15aa=6.52。6由 解得 ， 即为图中阴影部分的面积 。1)(1a32a)(x327分析 一个随机变量若服从标准正态分布，可以借助于标准正态分布表，查出其值。但在标准正态分布表中只给出了 ，即 的情形，对于其它情形一般0x)(00xxP用公式：(-x)=1- (x)；p(axb)= (b)- (a) 及 等来转化。)10xP解 （1） )5.2(1)5.2(P;04.96（2） ).1()()4.1(；725.（3） 1)

14、52.().1()52.(| PP84.093说明 从本例可知，在标准正态分布表中只要给出了 的概率，就可以利用上述三0x个公式求出其它情形下的概率。8分析 欲判定这批零件是否合格，由假设检验基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是在（-3 ，+3 ）内，还是在（-3 ，+3 ）之外。解 由于圆柱形零件的外径 N （4，0.25），由正态分布的特征可知，正态分布N（4，0.25）在区间(4-3 0.5，4+30.5)即(2.5 ，5.5)之外取值的概率只有 0.003，而，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中)5.,2(7.假设检验的基本思想，认为该厂这批产品是不合格的。说明 判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想。如记住课本 P33表格中三种区间内取值的概率，对我们的解题可以带来很大的帮助。 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网9易得 ， ， ， 68， 。1026584ix1027384iy8.107xy739610iiyx则相关系数为。56.)(.101( 673922r查表得自由度为 10-2=8 相应的相关关系临界值 ，由 知，两次数学01.0r05.r考试成绩有显著性的