《【2017年整理】可降为一阶的二阶微分方程的解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2017年整理】可降为一阶的二阶微分方程的解法（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 7-2 节 可降为一阶的二阶微分方程的解法含有最高阶导数为二阶导数的微分方程，称为二阶微分方程.有一些特殊的二阶微分方程，通过适当的变换，可以化为一阶微分方程.求出解后，再积分一次，就可得到原方程的解.第一种情形 (右端不显含 ),)yfxy在这种情形下，只要令 ，则它就变成一阶微分方程 . 例如方程zy(,)zfx(pxq令 ，就变成一阶线性微分方程 . 求出 后，再积分得z)z1,c12,dyc例如在方程 中，令 ，则它就变成一阶微分方程2xyz() 或 ()2x2zzx右边的方程()是伯努利方程(见第 13-1 节)，可按伯努利方程求解.不过，不如直接求解左边的方程().先将 移项，
2、变成 ；然后两端同除以 注意丢掉2z22z平凡解 ，则得)0zx，即2zxxz于是，或 2211dcxxz21xc因此， 21221dlnyxc或 (常数，因为上面的解法中丢掉了解 )x()0zxy第二种情形 (右端不显含自变量 ),yf x在这种情形下，可令 并把 看作 的函数.注意，由于dux(uyd()ux所以方程 就变成 (暂时把 看作自变量).求出 后，(,)yfd,ufyy),(cyu再用分离变量方法，求解 (,)ycx例如求解 ，令 ，则 ，且原0)(2yd()yux ddyuyuxx第二篇 一元函数微积分的进一步应用286方程变成 d0uy于是，或者 ；或者 ，分离变量后为 .
3、 因此得()0uyd0uyduy或 ()x()ycx左边方程的解为 常数；右边方程的解为 . 显然，后者包括了前者 .)(xy ce1 (0)c因此，原方程的一般解为 (其中 和 为任意常数).ce1【注】 在方程 两端同除以 ，则得0)22y， 即 = 02()0yy因此， 或 . 解得ycdyxxce1第三种情形 像上注那样，若原方程可以写成 d(,)0xy则 (变成一阶微分方程).例如微分方程 . 它可以写成 ，(,)xyc 2()y()0y所以 或 . 因此，原方程的一般解为 （解被表示成隐函数）.dyx 1cx根据提示做习题1.求下列二阶微分方程的一般解或特解(先看属于哪种情形)：
4、； ； sin2yx exy ； ； 2()0 ； ；1()0 ； ；22yyx 2)0(,1)(,)(2yy .3,(),()答案： ； ；21sin4cxy 21ecxxy ； ； ；21cxy231)(cxy)o(1c； ； ； .2212 )ln( cxx 4xy6)2(4xy2.一个物体只受地球引力作用，自无穷远处落向地球.求它落到地面时的速度.(地球半径约为 ,重力加速度 ). 答案: (第二宇宙速度)km640m/s8.9gkm/s2.1第 7 章 微分方程( 组)及其解法 287【分析】 设物体的质量为 ，地球的质量为 .根据引力定律，地球对物体的引力为mM（其中 为物体到地球
5、中心的距离）2fkrr当物体落到地面时， （地球半径） ， （ 为重力加速度）.于是，Rfg，即22kR因此，地球对物体的引力为 mfkr2根据牛顿第二定律， （负号表示引力 与 的方向相反） ，即2datf2drt，化简后为22grRrt 222640rkgRgt因为 ，而 ，因此，方程就变为dvt2ddvvttrt2k3.在上半平面求一条向上凹的曲线 ，其上任一点 处的曲率等于此曲线)(xy(,)Pxy在该点的法线段 长度的倒数( 是法线与 轴的交点)，且曲线 在点 处的PQO()1,切线平行于 轴.1991 年考研试题(一)第九题xO提示：曲线 在点 处的曲率为y,)xy321K另一方面，如下图示，, secPQy22221tan1yy根据题设，则有或(化简)3221y因此，可列出初始值问题： .请你求出它的解.21(),0y答案： .1()e2xyx第 3 题图 Qy(,)PxyO y x
