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1、第二章 行列式1引言在中学代数中学过，对于二元线性方程组当二级行列式时，该方程组有唯一解，即，.对于三元线性方程组有类似的结论，在这一章我们把这个结论推广到元线性方程组的情形.为此，我们首先给出级行列式的定义并讨论它的性质.2 排列一 授课内容：2 排列二 教学目的：理解掌握排列、逆序、逆序数的求法.三 教学重难点：逆序数的求法.四 教学过程；定义1 由组成的一个有序数组称为一个级排列例 是一个4级排列，45321是一个5级排列显然，级排列的总数是 .我们记 读为“阶乘”.定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序.一个排列中逆序的
2、个数称为这个排列的逆序数.例 2431中，21，43，41，31是逆序，2431的逆序数是4.45321的逆序数为9.排列的逆序数记为()定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.例如 2431为偶排列，45321为奇排列.定义 把一个排列中两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样的一个变换称为对换.定理1 对换改变排列的奇偶性.推论 奇数次对换改变排列的奇偶性，偶数次不改变排列的奇偶性定理2 任意一个级排列与排列12n都可以经过一系列的对换互变，并且所做的对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.3 n级行列式一 授课内容：3 n级行列式二 教学目的：理解
3、掌握行列式的定义与简单性质.三 教学重难点：n级行列式的定义 四 教学过程；在给出n级行列式的定义之前，先看一下二级行列式与三级行列式的定义它们都是一些乘积的和，而每一个乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.定义4 n级行列式 (4)等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 (5)的代数和，这里是的一个排列，每一项(5)都下列规则带符号，当是偶排列时，(5)带正号，当是奇排列时，(5)带负号，这一定义可以写成这里，表示对所有的n级排列求和.显然，n级行列式是由n！项组成.例1计算行列式.解：由定义知.例2计算上三角行列式. 解：除去为
4、零的项后.换句话说，这个行列式就等于主对角线(从左上角右下角的这条对角线)上的元素的乘积.作为本例的特殊情况，有.主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.实际上，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，我们同样可以把每一项按列指标排列起来，于是定义又可以写成.由此，可得行列式的下列性质性质1 行列互换，行列式不变，即=.4 n级行列式的性质一 授课内容： 4 n级行列式的性质二 教学目的：理解掌握行列式的性质，熟练地加以运用.三 教学重难点：行列式性质的运用 四 教学过程；性质2 =性质3=+.性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对
5、应元素相同.性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为式为零.性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变.性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号.例1计算n级行列式.解：.例2一个n级行列式，假设它的元素满足, .证明 当n为奇数时，这个行列式为零.5 行列式的计算一 授课内容： 5 行列式的计算二 教学目的：理解掌握矩阵、矩阵的初等变换及方阵的初等变换与行列式的关系三 教学重难点：初等变换四 教学过程；定义5 由sn个数排成的s行(横的)n列(纵的)的表称为一个矩阵.数，称为矩阵的元素，称为元素的行指标，称为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域中的数时，它就称为这一数域上的矩阵.矩阵也
6、称级方阵，一个级方阵定义一个级行列式称为矩阵的行列式，记为.定义6 所谓数域上矩阵的初等行变换是指以下三种变换：(1)以中一非零的数乘矩阵的一行.(2)把矩阵的某一行的加另一行，这里是中任意一个数.(3)互换矩阵中两行的位置.我们称形式如，的矩阵为阶梯行矩阵，它们的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零，如该行全为零，则它的下面的行也全为零.可以证明，任意一个矩阵经过一系列的初等行变换总能变为阶梯行矩阵.显然，阶梯行方阵的行列式都是上三角形的.例 计算行列式.解 经过一些列初等行变换可得=.对于矩阵同样可以定义初等列变换，即(1)以中一非零的数乘矩阵的一列.(2)把矩阵的某
7、一列的加另一列，这里是中任意一个数.(3)互换矩阵中两列的位置.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.6 行列式按一行(列)展开一 授课内容： 6 行列式按一行(列)展开二 教学目的：理解掌握余子式，代数余子式概念，利用行列式按一行展开求行列式.三 教学重难点：行列式按一行展开求行列式.四 教学过程：由行列式的定义，有=,.定义7 在行列式中划去元素所在的第行和第列，剩下的个元素按原来的排法构成一个级的行列式称为元素的余子式，记为.可以证明 .定义8 上面的称为元素的代数余子式.反过来，如果令第行的元素等于第行的元素，也就是,，.则=.也就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元
8、素的代数余子式的乘积之和为零.定理3 设，表示元素的代数余子式，则下列公式成立= . .例1计算行列式.解：先按第5列，再按第1列展开可得.例2行列式.称为级范德蒙(Vandermonde)行列式，我们来证明，对任意的，级范德蒙等于这个数的所有可能的差的乘积.用连乘号，这个结果可以写为.例3证明=.7克兰姆(Cramer)法则一 授课内容： 7克兰姆(Cramer)法则二 教学目的：理解掌握(Cramer)法则及推论，利用余子式，代数余子式概念，利用克兰姆(Cramer)法则解线性方程组.三 教学重难点：利用克兰姆(Cramer)法则解线性方程组. 四 教学过程：定理4 如果线性方程组 (1)的系数矩阵的行列式,那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为,.其中是把矩阵中的第列换成方程组的常数项所成的矩阵的行列式，即， .定理中包含着三个结论：1.方程组有解.2.解是唯一的.3.解由公式(3)给出.定理4通常称为克兰姆(Cramer)法则.例 解方程组.解：方程组有唯一解，.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，显然齐次线性方程组总是有解的，因为就是一个解，它称为零解.定理5 如果齐次线性方程组 (10)的系数矩阵的行列式，那么它只有零解，换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有.
