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1、温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十九)抛物线(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点,则a=()A.1B.4C.8D.162.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.123.(2014随州模拟)抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是()A.12,14B.(1,1)C.32,94D.(2,4)4.(2014成都模拟)已知抛物线y2=
2、4x的准线与双曲线x2a2-y2=1(a0)相交于A,B两点,且F是抛物线的焦点,若FAB是直角三角形,则双曲线的离心率为()A.3B.6C.2D.35.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-26.(2013天津高考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB的面积为3,则p=()A.1B.32C.2D.37.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线
3、l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.355B.2C.115D.38.(能力挑战题)已知M是y=14x2上一点,F为抛物线的焦点.A在C:(x-1)2+(y-4)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值为()A.2B.4C.8D.10二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2013北京高考)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=;准线方程为.10.抛物线y=116x2的焦点与双曲线y23-x2m=1的上焦点重合,则m=.11.已知点A(2,0),B(4,0),动点P在抛物线y2=-4x上运动,则使APBP取得最小值的点P的坐标是.1
4、2.(2014南京模拟)已知抛物线y2=8x的焦点为F,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且AK=2AF,则AFK的面积为.三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.(2014杭州模拟)已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1.(1)求曲线C的方程.(2)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A,B.直线AB是否恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.14.(2013辽宁高考)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,
5、B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-2时,切线MA的斜率为-12.(1)求p的值.(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).15.(2014武汉模拟)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求ADEB的最小值.答案解析1.【解析】选C.根据抛物线方程可得其焦点坐标为0,a4,双曲线的上焦点为(0,2),依题意则有a4=2,解得a=8.2.【解析】选B.因为点P到y轴的距离
6、是4,延长使得和准线相交于点Q,则|PQ|等于点P到焦点的距离,而|PQ|=6,所以点P到该抛物线焦点的距离为6.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.3.【解析】选B.设抛物线上任一点为(x,y),则由点到直线的距离得d=|2x-y-4|5=|2x-x2-4|5=|(x-1)2+3|5=(x-1)2+3535.当x=1时,取得最小值,此时点的坐标为(1,1).【一题多解】本题也可以用如
7、下的方法解决:方法一:设2x-y+m=0与y=x2相切,则x2-2x-m=0.=4+4m=0,所以m=-1,此时x=1,所以点的坐标为(1,1).方法二:(导数法)y=x2的导数为y=2x,设所求点为P(x0,y0),则2x0=2.所以x0=1,所以P(1,1).4.【解析】选B.如图所示,F(1,0).因为FAB为直角三角形,所以|AM|=|FM|=2,所以A(-1,2),代入x2a2-y2=1,得a2=15,所以c2=a2+1=15+1=65,所以e2=c2a2=6,所以e=6.5.【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-p2,与y2=2px联
8、立得:y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1,故选B.【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得y1+y2=4,y12=2px1,y22=2px2,两式相减得:kAB=y1-y2x1-x2=2py1+y2=p2=1,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要注意使用条件是0.(2)在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中,以P
9、(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k=-b2x0a2y0.(3)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)中,以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k=b2x0a2y0.(4)在抛物线y2=2px(p0)中,以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k=py0.6.【解析】选C.双曲线的离心率e=ca=a2+b2a=2,解得ba=3,联立y=-bax,x=-p2,得y=bp2a.又因为SOAB=p2bp2a=3,将ba=3代入解得p=2.7.【解析】选B.因为抛物线的方程为y2=4x,所以焦点坐标F(1,0),准线方程为x=-1.所以设P到准线的距离为|
10、PB|,则|PB|=|PF|.P到直线l1:4x-3y+6=0的距离为|PA|,所以|PA|+|PB|=|PA|+|PF|FD|,其中|FD|为焦点到直线4x-3y+6=0的距离,所以|FD|=4-0+632+42=105=2,所以距离之和最小值是2.【加固训练】已知点P是抛物线y2=4x上一点,设点P到此抛物线准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是.【解析】由抛物线的定义知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,如图,过焦点F作直线x+2y+10=0的垂线,此时d1+d2最小,因为F(1,0),所以d1+d2=|1+10|12+22=1155.答案:1
11、1558.【思路点拨】利用抛物线的定义,数形结合求解.【解析】选B.由题意可知,焦点坐标为F(0,1),准线方程为l:y=-1.过点M作MHl于点H,由抛物线的定义,得|MF|=|MH|.所以|MA|+|MF|=|MH|+|MA|,当C,M,H,A四点共线时,|MA|=|MC|-1,|MH|+|MC|有最小值,于是,|MA|+|MF|的最小值为4-(-1)-1=4.9.【解析】因为抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),所以p2=1,解得p=2,所以准线方程为x=-1.答案:2x=-110.【解析】因为抛物线y=116x2的标准方程为x2=16y,焦点坐标为(0,4),又因为双曲线y23-x
12、2m=1的上焦点坐标为(0,3+m),依题意有4=3+m,解得m=13.答案:13【误区警示】本题易出现y=116x2的焦点为0,164的错误,原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.11.【解析】设点P的坐标为(x,y),则APBP=(x-2,y)(x-4,y)=x2-6x+8+y2=x2-10x+8=(x-5)2-17,又x0,所以x=0时,APBP最小,即P(0,0).答案:(0,0)12.【解析】如图,过点A作ABl于点B(l为准线),则由抛物线的定义,得AB=AF.因为AK=2AF,所以AK=2AB,所以AKF=AKB=45,设A(2t2,4t),由K(-2,0)得4t2t2+2=1,得
13、t=1,所以SAKF=1244=8.答案:813.【解析】(1)因为动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1,所以动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离与直线l:y=-1的距离相等.所以曲线C是以F(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线,所以曲线C的方程是:x2=4y.(2)设E(a,-2),切点为x0,x024,由x2=4y得y=x24,所以y=x2,所以x02=x024+2x0-a,解得:x0=aa2+8,所以Aa+a2+8,(a+a2+8)24,Ba-a2+8,(a-a2+8)24,化简直线AB方程得:y-2=a2x,所以直线AB恒过定点(0,2).
14、【加固训练】如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y10),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.(1)若TATB=1,求直线l的斜率.(2)求ATF的最大值.【解析】(1)因为抛物线y2=4x焦点为F(1,0),T(-1,0).当lx轴时,A(1,2),B(1,-2),此时TATB=0,与TATB=1矛盾,所以设直线l的方程为y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,所以y12y22=16x1x2=16,所以y1y2=-4,因为TATB=1,所以(x1+1
15、)(x2+1)+y1y2=1,将代入并整理得,k2=4,所以k=2.(2)因为y10,所以tanATF=y1x1+1=y1y124+1=1y14+1y11,当且仅当y14=1y1,即y1=2时,取等号,所以ATF4,所以ATF的最大值为4.14.【解析】(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y=x2,且切线MA的斜率为-12,所以A点坐标为-1,14.故切线MA的方程为y=-12(x+1)+14.因为点M(1-2,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=-12(2-2)+14=-3-224,y0=-(1-2)22p=-3-222p.由得p=2.(2)设N(x,y),Ax1,x124,Bx2,x224,x1x2,由N为线段AB中点知x=x1+x22,y=x12+x228.切线MA,MB的方程为y=x12(x-x1)+x124,y=x22(x-x2)+x224.
