概率知识点及习题第四章

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1、第四章概率一、 重点知识事件分类1、 事件2、 随机事件A发生的频率与概率频率：在相同条件下大量重复的n次试验中，随机事件A发生了m次，则频率为。概率：随着试验次数的增加，若稳定在某一个常数p附近，则p即为事件A的概率，记为P，P（A）=可理解为：（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件的概率；（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；（5），必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件时。二、知识要点1确定事件发生的可能性在某一条件下，事件发生的可能性是有大小的.不可能事

2、件是永远不会发生的事件，其发生的可能性为0；必然事件是在一定的条件下必然发生的事件，其发生的可能性是100%.2不确定事件发生可能性不确定事件发生的可能性是不确定的，一个不确定事件发生的可能性可以用0到1之间的数表示.对于一个不确定事件，我们可以通过大量的试验来探究其发生可能性.根据不确定事件发生可能性，不确定事件又可分为很可能发生事件（发生的可能性很大）；可能发生事件（有一定的发生可能性）；不太可能发生事件（发生的可能性较小）.很可能发生事件只是发生的可能性非常大，但其发生的可能性不是1；不太可能发生事件虽然发生的可能性相当小，但其发生的可能性不是0.3频率与可能性 试验是估计可能性的一种方

3、法.通过试验的方法用频率估计可能性应注意以下几点：（1）通过试验的方法用频率估计可能性，试验要在相同的条件下进行，否则结果可能会受到影响.（2）通过试验，用频率估计可能性，需要经过多次的试验，当频率逐渐稳定时，用稳定时的频率值估计可能性.4游戏的公平与不公平一个公平的游戏应该是游戏的双方获胜的可能性相同，不公平的游戏是指游戏双方或获胜的可能性不同.较简单的游戏可以从通过分析的方法判断其是否公平；对于比较复杂且比较难判断公平性的游戏，我们可以通过做试验的方法来确定其公平性.5两种模型的概率 （1）等可能性事件的概率： 在一次试验中，如果不确定现象的可能结果只有有限个，且每一个结果都是等可能的，求

4、这种类型事件的概率称为等可能事件的概率型.如摸球、掷硬币、掷骰子等都属于等可能性. 在等可能事件中， 如果所有等可能的结果为n，而其中所包含的事件A可能出现的结果数是m，那么事件A的概率P（A）=.（2）区域事件发生的概率：在与图形有关的概率问题中，概率的大小往往与面积有关，这种类型的概率称为区域型概率.在区域事件中，某一事件发生的概率等于这一事件所有可能结果组成的图形的面积除以所有可能结果组成的图形的面积.如P（小猫停留在黑砖上）=.6利用概率解决实际问题 用概率来解释生活中的实际问题的关键是能够准确计算出事件发生的概率，再结合事件发生的等可能性加以判断说明.三、易混易错1.混淆确定事件、不

5、确定事件、必然事件和不可能事件之间的区别与联系.如，下列事件是必然事件的是（）A.明天要下雨 B.打开电视机，正在直播足球比赛C.抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1D.买一张3D彩票，一定会中一等奖不少同学会错误地选择A，或B，或D.而事实上，在特定的条件下，有些事件我们事先能够肯定它一定会发生，就是必然事件.因为明天到底是否下雨，今天我们还不能够知道，因此，问题中的“明天要下雨” 是一个随机事件；打开电视机所看到的节目与所在的时间、所收看的频道有关系，因此，问题中的“打开电视机，正在直播足球比赛”，也是一个随机事件；一枚正方体骰子有6个面，上面的点数分别为1、2、3、4、5、6，无论怎

6、样进行抛掷，都是这6个数中的一个，因而“抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1”是一个必然事件；同样买一张3D彩票，能否中一等奖也是不确定的.因此，本题正确应该选C.2.混淆单一事件发生的可能结果和所有可能发生的结果之间的关系.如，一布袋中放有红、黄、自三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，贝贝从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球，试求贝贝两次都能摸到白球的概率.不少同学会错误认为：因为一布袋中放有红、黄、自三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，所以小亮从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球的概率均为.而事实上，题目是要求贝贝两次都能摸到白球的概率，而不是每一次贝贝两次

7、都能摸到白球的概率.由于布袋中放有红、黄、自三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，所以贝贝从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球，这样两次摸出球的结果是：（红，红）、（红，黄）、（红，白）、（黄，红）、（黄，黄）、（黄，白）、（白，红）、（白，黄）、（白，白），由此贝贝两次都能摸到白球的概率是P（白，白）.3.玩游戏受表面现象所迷惑.如，从一副扑克中分离出所有的红桃，并将红桃J记为11，红桃Q记为12，红桃K记为13，现将分离出来的红桃洗匀，背面朝上，从中任意抽取一张，数字是偶数的贝贝赢，奇数的京京赢.你认为游戏是否公平吗？咋一看，数字只有偶数和奇数，所以这个游戏是公平的，而仔细分析

8、一下这13个数字中有6个偶数，7个奇数，显然贝贝和京京获胜的概率是不等的，因此这个游戏不公平.参考答案：一、填空题；公平；不确定； 二、选择题； 三、解答题（）；（）；（）甲、乙一样大；设黑球的个数为，则球的总数为，由题意，得，解得甲每次猜对的概率为，赢钱（元）；乙每次获胜的概率为，赢钱（元），故乙获胜的机会大些原来口袋里的球共有个，其中红球个，蓝球个，白球个，为了使摸出的各色球的概率相同，三色球的数量应相等，为了使口袋里的球尽量多，各色球也应尽量多，但红球最多只能达个，白球只能达个，因此，唯一的方案是再放入白球个，红球个，然后取出蓝球个 （）抛掷一正一反两块竹板，面朝上的可能性有（正，正），

9、（正，反），（反，正），（反，反）四种情况，每次“允”的概率为，故（连允三次）；（）可以动员长辈向关二爷这样说：如果不可以放个北门，请关二爷连允三次这样，关二不允许放北门的概率是，而允许放北门的概率是典型例析例1：有如下事件，其中“前100个正整数”是指把正整数按从小到大的顺序排列后的前面100个.事件1：在前100个正整数中随意选取一个数，不大于50；事件2：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好为偶数解：事件1：在前100个正整数中，不大于50的数共有50个(1，2.，50)， 因此，事件1发生的概率为而50/100=1/2；事件2：在按顺序排列好的一列正整数中，奇偶相间，所以前100个

10、正整数中恰好有50个偶数， 因此，事件2发生的概率也是1/2.例2：将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率【解析】解法一：或根据题意，画表格：第二次第一次1234111121314221222324331323334441424344由表格可知，共有16种等可能的结果，而且它们出现的可能性相等；其中是4的倍数的有4种：12，24，32，44。所以，（4的倍数）解法二：根据题意，画

11、树状图：由图可知，共有16种等可能的结果，而且它们出现的可能性相等；其中是4的倍数的有4种：12，24，32，44。所以，（4的倍数）例3：“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全。小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率是1游戏是否公平和判断游戏是否公平题目主要有以下几种类型：一是与投掷硬币有关的游戏；二是数字有关的游戏；三是有转盘有关的游戏；四是抽牌有关的游戏等.解决问题的关键都是看游戏双方获胜的概率是否相同. 例1 有两套分别标有

12、1，2，3，4，5，6这6个数字的卡片，小明和小亮各自从一套卡片中，任意摸出两张，按照下列的游戏规则做游戏，请你判断是否公平.如果不公平，你认为偏向了哪一方？（1）小明摸到的卡片上的数字都是偶数为胜，小亮摸到的卡片上的数字都是奇数为胜.（2）若把两套卡片中的6都拿去，（1）的结论有什么变化？分析：要判断游戏是否公平，主要比较小明、小亮获胜的概率的大小，如果概率相同，则游戏公平；否则不公平. 解：(1)因为P(小明获胜)=,P(小亮获胜)=,P(小明获胜)=P(小亮获胜),所以游戏公平.(2)P(小明获胜)=,P(小亮获胜)=,P(小明获胜)P(小亮获胜),所以游戏不公平.偏向小亮.例2如图1,

13、小明、小华用牌面数字分别为1、2、3、4的4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面，若一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数，则小明获胜；反之，小华获胜；这个游戏公平吗？请说明理由.分析:要看游戏是否公平,则需要计算小明、小华获胜的概率，即计算一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数的概率和偶数概率.解：这个游戏不公平.理由：因为一次抽出两张牌的组合共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）六种情况.其中有4组中两个数的和是奇数，所以P(小明获胜)=,P(小华获胜)=,所以这个游戏不公平.【评注】从以上两例看出,正确计算出游戏双方获胜的概率是判断游

14、戏是否公平的关键.要判断某个游戏是否公平,应正确计算出游戏双方的概率.2. 概率的计算计算概率主要有两种类型,一类是摸球型概率的计算;二是与图形有关的概率计算,解决概率的计算问题,关键是掌握概率的意义以及计算的方法.例3 (2006年无锡市中考试题) 在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个白球，它们除颜色不相同外，其余均相同若把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是.分析:本题是一道与摸球有关的概率计算试题,因为袋子中共有4个球,每个球被摸到的可能性相同,所以共有四种情况,而摸到红球可能有3种,所以 摸到红球的概率是. 解: 填.【评注】本题是摸球型概率计算问题,解决问题的关键是理解

15、此类问题中概率的计算方法.例4(2006年浙江丽水市中考试题) 某商场利用转盘进行有奖促销活动,转盘扇形区域的圆心角及奖品设置如下:特等奖一等奖二等奖三等奖鼓励奖圆心角1106090199奖品冰箱彩电学习机自行车笔记本小英有一次转盘的机会,能奖学习机的概率是_.分析:本题是一道转盘游戏有关的概率计算试题,观察表格信息可知,当转盘停止后,指针停止在60的扇形区域内,可以获得学习机.本题即计算指针停留在60扇形区域上的概率.4cm5cm解:P(奖学习机的概率)=【评注】解决本题需要正确理解题意,能从表格中获取正确的解题信息.例5（2006年吉林）如图2，口袋中有张完全相同的卡片，分别写有，和，袋外有张卡片，分别写有和现随机从袋内取出一张卡片，与