《导数压轴题中的零点问题（找点技巧和常见模型）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数压轴题中的零点问题（找点技巧和常见模型）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：18215571552（罗老师）、微信同号导数大题的常用找点技巧和常见模型【引子】（2017 年全国新课标 1·理·21）已知 f ( x ) = ae 2 x + ( a - 2)e x - x .（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）若 f ( x ) 有两个零点，求 a 的取值范围.解析：（1） f ' ( x ) = 2 ae 2 x + ( a - 2 ) e x - 1 = ( 2e x + 1)( aex -1)若 a £ 0 ，则 f ' ( x ) <
2、; 0 恒成立，所以 f ( x ) 在 R 上递减；若 a > 0 ，令 f ' ( x ) = 0 ，得 e x = 1a , x = ln 1a .1æ1ö当 x < ln时， f' ( x ) < 0 ，所以 f ( x ) 在 ç-¥, ln÷ 上递减；aaèø1æ1ö当 x > ln时， f' ( x ) > 0 ，所以 f ( x ) 在 ç ln, +¥÷ 上递增.aaèøæ1
3、öæ1ö综上，当 a £ 0 时， f ( x ) 在 R 上递减；当 a > 0 时， f ( x ) 在 ç-¥, ln÷ 上递减，在 ç ln, +¥÷ 上递增.aaèøèø（2） f ( x ) 有两个零点，必须满足 f ( x )min < 0 ，即 a > 0，且 f ( x )minæ1 ö11= f ç ln÷= 1 - ln< 0 .aaèa ø( )1&
4、lt; 0( )= 1 - x - ln x， x >g ' ( x ) = -1 - x= 1 - x - ln x 单调递减.构造函数 gx0 . 易得æ 1ö，所以 gx又因为 g (1) = 0 ，所以1 -111- ln< 0 Û g ç÷ < g (1) Û> 1 Û 0 < a < 1 .aaaè aø下面只要证明当 0 < a <1时， f ( x ) 有两个零点即可，为此我们先证明当 x > 0 时， x > ln x
5、.事实上，构造函数 h ( x ) = x - ln x ，易得 h ' ( x ) = 1 - 1x ， h ( x ) min = h (1) = 1 ，所以 h ( x ) > 0 ，即 x > ln x .当 0 < a <1时， f ( -1) = a + a - 2 + 1 = a + ea + ( e 2 - 2) > 0 ，e 2ee2æ3 - a öæ 3ö 2æ 3öæ 3ö3æ 3öf ç ln÷= a ç
6、- 1 ÷+ ( a - 2 ) ç- 1 ÷- ln ç- 1 ÷=- 1 - lnç- 1 ÷> 0 ，aèa øè aøè aøè aøè aø13 - a1æ1 öæ13 - a ö其中 -1 < ln， ln> ln，所以 f ( x ) 在 ç-1, ln÷ 和 ç ln, ln÷ 上各有一个零点.aaaèa
7、 øè aaø故 a 的取值范围是 ( 0,1) .注意：取点过程用到了常用放缩技巧。全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：18215571552（罗老师）、微信同号2 xx2 xxxxx3 - aæ 3ö一方面： ae+ ( a - 2 ) e- x > 0 Ü ae+ ( a - 2) e- e³ 0 Ü ae+ a - 3 ³ 0 Ü e³Ü x ³ ln ç-1÷
8、 ；aè aø另一方面： x < 0 时， ae 2 x + ( a - 2 ) e x - x > 0 Ü ( a - 2 ) e x - x ³ 0 Ü x = -1（目测的）常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）， ln 1 + x£ x ，xln x £ x -1ln x < xln x£ e .( )1æ1 ö( x >1)， ln x >1æ1 ö( 0< x < 1) ，（放缩成双撇函数
9、） ln x <ç x -÷ç x -÷2èx ø2èx ø1()1()xxln x <x -x >1，ln x > x -0< x <1，（放缩成二次函数） ln x £ x 2 - x ， ln (1 + x ) £ x - 12 x 2 ( -1 < x < 0) ， ln (1 + x ) ³ x - 12 x 2 ( x > 0)12()2x（放缩成类反比例函数） ln x ³ 1 -， ln x <x -
10、1( 0 < x <1) ， ln ( x + 1) <( x < 0)xx +1x + 2x2()2xln (1 + x) ³， ln x >x -1( x >1) ， ln (1 + x ) >( x > 0)1+ xx +12 + x第二组：指数放缩（放缩成一次函数） e x ³ x +1 ， e x > x ， e x ³ ex ，（放缩成类反比例函数） e x £1( x £ 0) ， e x < - 1 ( x < 0) ，1- xx1（放缩成二次函数） e x &g
11、t; x2 ， e x ³ 1 + x + 2 x 2 ( x > 0) ，第三组：指对放缩e x - ln x ³ ( x + 1) - ( x - 1) = 2第四组：三角函数放缩sin x < x < tan x ( x > 0)， sin x ³ x - 1 x2 ，1 - 1 x 2 £ cos x £ 1 - 1 sin2 x .222y = ln x ， y = ex-1 -1， y = x 2 - x ， y = 1 - 1x ， y = x ln x .全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长
12、群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：18215571552（罗老师）、微信同号常用的找点技巧方法一：放缩法。成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数.【示例】证明：当 0 < a < 1e 时， f ( x ) = ln x - ax 有两个零点.分析：极值点为 x =1æ1ö= ln1- 1> 0（大于 e ）， f ç÷，所以需要在左右两侧各找一个函数值小于零的点.aè aøa因为 ln x £ x -1 ，要使得 ln x - ax < 0 ，只需要 x - 1 - ax £ 0 ，即 x £ 1 -1 a ，考虑到 0 < a < 1e ，所以 1 -1 a所以左侧可取：f (1) = - a < 0 ，æ1 ö= ln1-a<1- 1 -a= 0f ç÷；- a- aè 1- a ø1 - a 1- a 11æe öÎç 1,÷ ，èe -1 ø另一方面：因为 ln x < x ( x >1) 或 ln x £
