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1、基本要求： 掌握 位移法基本结构的确定，位移法典型方程的建立，方程中的系数和自由项的计算，最后弯矩图的绘制。 熟练掌握 用位移法计算超静定梁、刚架和排架问题。 重点掌握 荷载作用下的超静定结构计算 掌握 剪力图和轴力图的绘制、利用对称性简化计算。 了解 温度改变、支座移动下的超静定结构计算。,Displacement Method,第7章 位移法,7-2 等截面直杆的杆端力,7-3 位移法的基本未知量和基本体系,7-4 位移法典型方程,7-5 位移法计算连续梁及无侧移刚架,7-6 位移法计算有侧移刚架,7-7 用直接平衡法建立位移法方程,7-8 位移法计算的简化,7-1 位移法的基本概念,7-
2、9 支座移动和温度改变时的计算,7-10 混合法,1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。,力法的特点： 基本未知量多余未知力； 基本体系静定结构； 基本方程位移条件 （变形协调条件）。,位移法的特点： 基本未知量 基本体系 基本方程,独立结点位移,平衡条件,？,一组单跨超静定梁,7-1 位移法的基本概念,因此，位移法分析中应解决的问题是：确定单跨梁在各 种因素作用下的杆端力。确定结构独立的结点位移。建立 求解结点位移的位移法方程。 为减少基本未知量，这里仍然隐含梁或刚架不考虑轴向变形这一假设。,简例:求各杆轴力。 图（
3、a）所示，选取竖向位移为基本未知量 图（b）所示，已知轴向位移ui，则，,位移法基本思路,(1),图（d）,各杆位移ui与基本未知量的关系为,(2),由结点B的平衡,(3),(4),位移法的基本方程,将式(5)代入式(2)，再代回(1)式得各杆内力：,(6),设各杆EA相同，将图（a）的尺寸代入得：,位移法的基本要点,确定基本未知量 (如B点的竖向位移 ） 建立位移法基本方程 (力的平衡方程) 把结构拆成杆件进行分析，得杆件的刚度方程。 把杆件组合成结构，进行整体分析，得平衡方程。 解方程，求位移。再代回刚度方程得杆端力。 杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础。因此位
4、移法也叫做刚度法。位移法计算时，计算方法并不因结构的静定或超静定而有所不同。,位移法基本思路通过一拆、一搭，把复杂问题转化为简单杆件的分析和综合的问题,1、杆端力和杆端位移的正负规定 杆端转角A、B ，弦转角 /l都以顺时针为正。 杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。,用力法求解,i=EI/l,2、形常数：由单位杆端位移引起 的单跨超静定梁的杆端力,7-2 等截面直杆的杆端力（形常数、载常数）,杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩，都假定对杆端顺时针转动为正号。作用于结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时逆时针转动为正号。,用力法求解单跨超静定
5、梁,用力法求解单跨超静定梁,写成矩阵形式,几种不同远端支座的刚度方程,（1）远端为固定支座,因B = 0，代入(1)式可得,（2）远端为固定铰支座,因MBA = 0，代入(1)式可得,将上式代入(1)式,（3）远端为定向支座,因,代入（2）式可得,又B = 0，代入(1)式可得,由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数,4i,2i,0,3i,0,i,i,0,3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力,X1=1P / 11,=3ql/8,1=11X1 + 1P=0,各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成了载常数表,M图,由跨间荷载引起的杆端力称为载常数,单跨超静定梁简图,
6、4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：,=,+,+MFAB,+MFBA,5、已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为隔离体建立矩平衡方程：,另两类杆的转角位移方程为,A端固定B端铰支,A端固定B端定向,荷载效应包括： 内力效应：M、Q、N； 位移效应：A,附加 刚臂,附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩,施加力偶使结点产生角位移，以实现结点位移状态的一致性。,位移法基本思路,实现位移状态可分两步完成,分析： 1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等； 2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方
7、程。,1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力； 2）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一致的结点位移。,Z1=0,ql2/48,位移法基本思路,位移法思路,先化整为零，再集零为整,通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每根杆件由于杆件的形常数和载常数的基础上确立杆端位移和杆端力的关系； 通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系位移协调和部件平衡条件建立关于结点位移的位移法方程； 解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。,图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q, 集中力FP ,力偶M .如何求解?,力法未知数个数为3,但独立位移 未知数只有一
8、(A 点转角,设为 ).,1.平衡方程法,在此基础上,由图示结点平衡得,利用转角位移 方程可得:,通过施加附加约束使体系变成两个基本单跨超静定梁,称其为位移法基本结构,而附加约束的位移称为位移法的基本未知量Z。受基本未知量和外因共同作用的基本结构称为基本体系。,当附加约束产生实际位移时，建立附加约束的平衡方程，求解附加约束的位移，进而根据形常数和载常数绘出各杆的内力图。,以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移)关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立和位移个数相等的方程 求出基本
9、未知量后,由单跨梁力-位移关系可得原结构受力,平衡方程法,图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q, 集中力FP ,力偶M .如何求解?,以A 点转角做基本未知量,设为 .在A 施加限制转动的约束,以如图所示体系为基本体系(基本结构的定义和力法相仿).,2.典型方程法,利用“载常数”可作 图示荷载弯矩图,利用“形常数”可作 图示单位弯矩图,以位移为基本未知量,先“固定”（不产生任何位移） 考虑外因作用，由“载常数”得各杆受力,作弯矩图。 令结点产生单位位移（无其他外因），由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。 两者联合原结构无约束，应无附加约束反力（平衡）. 列方程可求位移。,典型方程法
10、,1、基本未知量的确定：,C,位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是将基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。,结点角位移的数目=刚结点的数目,即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。 结论：原结构独立结点线位移的数目=相应铰结体系的自由度。 =刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。,2、基本体系的确定：,7-3 位移法的基本未知量和基本体系,为了减小结点线 位移数目，假定： 忽略轴向变形， 结点转角和弦转 角都很微小。,位移未知量(一些特殊情况以后结合例题讨论) 结点位移包括角位移和线位移 独立角位移 na =刚结点数； 独立线位移 nl =? 不考虑轴向变形时： nl =刚
11、结点变成铰，为使铰结体系几何不变所需加的支杆数。 考虑轴向变形时： nl =结点数2约束数 总未知量 n = na+ nl 。,结点转角的数目：7个,1,2,3,相应的铰接体系的自由度=3 独立结点线位移的数目：3个 也等于层数 3,结点转角的 数目：3个,独立结点线位移的数目：2个 不等于层数 1,位移法基本未知量,结点转角,独立结点线位移,数目=刚结点的数目,数目=铰结体系的自由度 =矩形框架的层数,在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。,位移未知数确定举例,位移未知数确定举例,位移未知数确定举例,位移未知数确定举例,不计轴向变形时，虽有刚结点，但横梁不能转动，因此转角未知量为,注意:
12、铰处的转角不作基本未知量。杆端为铰支座或铰结点杆件，其杆端力按一端固定一端铰支的单跨超静定梁确定。 剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。其杆端 力按一端固定一端定向支座的单超静定梁（即剪力静定梁）确 定。如图示结构中B端的侧移，C端的侧移，D点的线位移均不作基本未知量，不需加附加约束。（DE杆是剪力静定杆）。,结构带无限刚性梁时，梁端结点转动不是独立的结点 位移。若柱子平行，则梁端结点转角=0，若柱子不平行，则 梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。,对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。,基本结构与原结构有两点区别： 原结构在外因作用下有结点位移，而基
13、本结构在外因作用下是无结点位移的； 原结构无附加约束，而基本结构有附加约束。,消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零。,Z1=0 Z2=0, 1, 2,位移法 基本体系,Z1=0 Z2=0,F11、F21(k11、k21) 基本体系在1(=1)单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；,F12、F22(k12、k22) 基本体系在2(=1)单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；,F1P、F2P 基本体系在荷载单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；,位移法方程的含义：基本体系在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的总约束力(矩)等于零。实质上是平衡
14、条件。,7-4 位移法典型方程,n个结点位移的位移法典型方程,主系数 kii 基本体系在i=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；,付系数 kij= kji 基本体系在j=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；,自由项 FiP 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；,；再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截 面投影平衡求附加支杆中的约束力。,根据线弹性体系的叠加原理可知：约束位移和外因共同作用下基本结构附加约束上产生的总反力等于零。,以上各量可由形常数和载常数利
15、用隔离体平衡求得。,kij 是与外因无关的反力影响系数，是基本结构的特性。,RiP是与基本结构的广义荷载反力。,基本思路,典型方程法：仿力法，按确定基本未知量、基本结构，研究基本体系在位移和外因下的“反应”，通过消除基本体系和原结构差别来建立位移法基本方程（平衡）的上述方法。,平衡方程法：利用等直杆在外因和杆端位移下由叠加所建立杆端位移与杆端力关系（转角位移）方程,由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移未知量的方法。,基本思路,两种解法对比： 典型方程法和力法一样，直接对结构按统一格式处理。最终结果由叠加得到。 平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可得。 位移法方程： 两法最终方程都是平衡方程。整理后形式均为：,典型方程法解题步骤,（1）确定位移法基本未知量和基本结构。,（2）分别做基本结构在单位基本未知量作用下的内力图和外因作用下的内力图。,（3）利用内力图计算反力影响系数和外因引起的广义荷载反力。,（4）建立位移法典型方程并求解。,（5）利用叠加法绘制结构内力图。,（6）校核，即结构的任意部分是否平衡。,例,1,基本体系,当Z1=0,20,MP,=16,2i,4i,3i,i,4i,3i,i,k11,=8i,解之:1=F1P/k11=2/i,利用,叠加弯矩图,16,2,M图 (kN.m),k11
