《第二章第三节32点群的推导资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章第三节32点群的推导资料（75页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节晶体的32点群第三节晶体的32点群(point group)(point group) 晶体32点群的推导晶体32点群的推导 晶体的分类晶体的分类 点群的符号点群的符号 1 晶体32点群的推导原则 晶体的宏观对称性允许有L1L2L3L4L6Lm和i晶体的宏观对称性允许有L1, L2, L3, L4, L6, L , m和i. 4 因为旋转轴之间的组合不会产生反映因为旋转轴之间的组合不会产生反映 面，而反映面的组合却会产生旋转轴。 所以推导从轴的组合开始所以推导从轴的组合开始。 2 晶体晶体32点群的推导点群的推导 1. 旋转轴的组合1. 旋转轴的组合 2. 旋转轴与反映面的组合 3. 旋
2、转轴与对称中心的组合 4. 四次反轴与其它对称元素的组合 3 1. 旋转轴的组合旋转轴的组合 单一旋转轴 高次轴与二次轴的组合 单旋转轴 高次轴与二次轴的组合 高次轴的组合 4 单一旋转轴：L1L2L3L4L6。单旋转轴：L1, L2, L3, L4, L6。 ?由对称性定律：晶体中只能出现1， 2， 3， 46次旋转轴4， 6次旋转轴。 5 高次轴与二次轴的组合高次轴与二次轴的组合高次轴与二次轴的组合高次轴与二次轴的组合： ?组合原理 欧拉定理：两个旋转轴的适当组合产生第三个 旋转轴旋转轴 6 2次轴与2次轴（高次轴与2次轴） 每个2次轴均可看作两互相垂直的反映面的连 续动作把两个反映面重合
3、于两个L 决定的续动作，把两个反映面重合于两个L2决定的 平面中，另两个反映面将垂直于此平面，这 两个反映面交成新的旋转轴两个反映面交成新的旋转轴。 以两个2次轴的组合为例说明之： L2+ L2= m1m2 m3m4= m1Im4= m1m4= L2 m2, m3重合于两个L2决定的平面， m1，m4 垂直于此平面 7 图示 推论二：一个二次轴和一个n次轴垂直相交，则有n个 二次轴同时与 次轴相交且相邻两二次轴的交角为二次轴同时与n次轴相交，且相邻两二次轴的交角为n 次轴基转角的一半。 8 L2+ L2= 3 L2 9 L3+ L2= L33 L2 10 L4+ L2= L44 L2 11 L
4、6+ L2= L66 L2 12 高次轴与二次轴的组合总结 L + L3 LL + LL 3 LL2+ L2= 3 L2L3+ L2= L33 L2 L4+ L2= L44 L2L6+ L2= L66 L2 13 高次轴的组合高次轴的组合 几个高次轴组合时，如 Ln和Lm（m, n 2), 两高次轴交于O点，Ln周围能找 到n个Lm，连接在每个Lm上距O等距离到 个 m ，连接在每个 m 上距 等距离 的地方的点得到正n边形。Ln位于正n边 形中心而L 分布于正n边形的角顶形中心而Lm分布于正n边形的角顶。 这样两个高次轴相交必产生凸正多凸正多这样两个高次轴相交必产生凸正多凸正多 面体。面体。
5、 14 L3与L4的组合 L4 如L 为LL 为L L4L3 4 L3L3 L3 如Ln为L4，Lm为L3， L4过正方形中心， L 分布于正方形角 L3 43 L3 L L3 3 o L3 L3分布于正方形角 顶，每个角顶周围 3个正方形围成 L3 oo 3个正方形围成一 个3面角。两高次 轴相交产生立方体 o 轴相交产生立方体。 15 构成凸多面体的多面角 一个凸多面体的多面角至少需要三个面构 成，每个多面角面角之和要小于3600，因成，每个多面角面角之和要小于360 ，因 此这只能是正三角形，正方形，正五边形。 多面角由34或5个正三角形分别构成 正六边形每个多面角1200，不满足。 多
6、面角由3， 4或5个正三角形分别构成 四面体，正八面体，正三角二十面体 多面角由3个正方形构成的是立方体 多面角由3个五边形构成的正五角十二面体 16 图示 立方体和正八面体的组合是一样的 17 注：晶体中不能出现5次轴 正三角二十面体和正五角十二面体有五次轴，在 体中能称性此制晶体中不可能出现（但分子对称性不受此限制）。 18 3 L2 4 L3 19 4 L33 L46 L2 20 高次轴的组合 正四面体：3 L2 4 L3, 立方体和正八面体： 4 L33 L46 L2 21 晶体所允许的旋转轴的组合为 L1, L2, L3, L4, L6 L22 L2，L33 L2，L44 L2，L6
7、6 L2 3 L 4 L4 L 3 L 6 L3 L2 4 L3, 4 L33 L46 L2 旋转轴型的对称类型共种称为对映对称类型因为旋转轴型的对称类型共11种，称为对映对称类型。因为 光有旋转轴的晶体和分子必有互为镜像的对映体有互为镜像的对映体。 22 2. 旋转轴型与反映面的组合旋转轴型与反映面的组合 旋转轴与反映面垂直 ?向单一旋转轴加垂直的反映面 ?当几个轴组合时，垂直于主轴加反映面 反映面穿过旋转轴 反映面穿过旋转轴 在几个轴组合时反映面只有两种加法 ?单一轴型 ?在几个轴组合时，反映面只有两种加法 ?反映面平分相邻二次轴夹角 ? 反映面穿过主轴，与2次轴垂直或穿过2次轴 23 旋
8、转轴与反映面垂直 ?向单一旋转轴加垂直的反映面 奇次轴： 偶次轴： L1+ P= P L + PL P L2+ P= L2PC L + P = L PC L3 + P= L3P L4+ P L4PC L6 + P= L6PC ?组合原理：偶次旋转轴和反映面垂直相交，交点为 对称中心。对称中心。 ?晶体对称元素中有对称中心存在时，偶次对称轴的 总数必等于对称面的总数。 24 L1+ P= P 25 L2+ P= L2PC 26 L3 + P= L3P 27 L4+ P= L4PC 28 L6 + P= L6PC 29 ?当几个轴组合时，垂直于主轴加反映面 ?组合原理偶次旋转轴和反映面垂直相交交点
9、为对称?组合原理：偶次旋转轴和反映面垂直相交，交点为对称 中心。 ?晶体对称元素中有对称中心存在时，偶次对称轴的总数?晶体对称元素中有对称中心存在时，偶次对称轴的总数 必等于对称面的总数。 3L2+ P= 3L23PC 主轴为 L2 2 2 轴 2 L33L2 + P(垂直于L3） = L33L24P ?主轴为 L3 L44L2+ P= L44L25PC L 6L + PL 6L 7PCL66L2+ P= L66L27PC 3 L24 L3+ P(垂直于L2） = 3L24L33PC 2 3(223 4L33L46L2+ P= 4L33L46L29PC 30 3L2 + P= 3L23PC 3
10、1 L33L2加上水平的反映面后为什么会在穿过2 次轴的地方出现了3个反映面？ 2次轴可看成是两个反映面的连续动作： L2= m1 m2 使得与水平反映面P (垂直于L ）重合使得m1与水平反映面P (垂直于L3）重合 水平反映面和2次轴的连续动作效果： P m1 m2 = m2 即在3次轴和2次轴所决定的平面内有新的反映面即在3次轴和2次轴所决定的平面内有新的反映面。 L33L2+ P (垂直于L3）得L33L24PL33L2 + P (垂直于L3）得L33L24P 32 L33L24P 33 L44L2+ P= L44L25PC 4242 34 L66L2+ P= L66L27PC 35
11、3 L2 4 L33PC 3 L24 L3对称型的主轴是L23 L2 4 L3对称型的主轴是L2 3 L2 4 L3+ P (垂直于L2） 得3L24L33PC 36 3L24L33PC 37 3L44L36L2+ P= 4L33L46L29PC 38 LPL PC 垂直于主轴加反映面11种： L1+ P= P L2+ P= L2PC L4+ P= L4PC LPL PC L3 + P= L3P L6 + P= L6PC 3L2 + P= 3L23PC L33L2+ P= L33L24PL44L2+ P= L44L25PCL33L2 + P L33L24PL44L2+ P L44L25PC L
12、66L2+ P= L66L27PC 3L24L3+ P= 3L24L33PC 4L33L46L2+ P= 4L33L46L29PC 39 反映面穿过旋转轴 反映面穿过旋转轴 ?单一轴型 ?组合原理：当一个反映面穿过旋转轴Ln时组合原当个反映面穿过旋转轴 n时 必有n个反映面穿过此旋转轴。 L2+ P/ = L22PL3+ P/= L33P L4 + P/ = L4 4PL6 + P/ = L6 6P 40 L2+ P/ = L22P 41 L3+ P/= L33P 42 L4 + P/ = L4 4P 43 L6 + P/ = L6 6P 44 ?在几个轴组合时反映面只有两种加法 ?反映面平分
13、相邻二次轴夹角 ?在几个轴组合时，反映面只有两种加法 L22L2 + Pd= L 2L22P 333 C 4 L33L2 + Pd= L33L23PC 3L 4L + P = 3L 4L 6P 4 3L24L3+ Pd= 3L 4L3 6P 3L44L36L2+ Pd= 3L44L36L29PC 4 432 d432 组合原理：反映面与一条二次轴斜交，反映面的法线与 二次轴的夹角为在反映面法线所决定的平面上存在二次轴的夹角为，在反映面法线所决定的平面上存在 一垂直二次轴的反轴，基转角为2。 45 L22L2 + Pd= L 2L22P 4 46 L33L2 + Pd= L33L23PC 47
14、3L24L3+ Pd= 3L 4L3 6P 4 48 3L44L36L2 + Pd= 3L44L36L29PC （与前面有 重复） 49 为什么L2经Pd操作会成为L 4 次轴和的连续动作产生的效果2次轴和Pd的连续动作产生的效果： Pd L2 Pd m i (L2= m i) Pd和m之间的夹角是45o,两个反映面的连续动作相当 于一个4次轴。（组合原理：两个反映面相交，其交 线为旋转轴，基转角为反映面交角的2倍。） Pd m i L4 i L 4 50 这样共得三种对称类型：样共得种对称类 L 2L22P, 4 L33L23PC 3L 4L36P 4 3L 4L3 6P 4 51 ?反映面
15、穿过主轴，与2次轴垂直或穿过2次轴 ?当主轴是偶次轴时 ?当反映面P穿过2次轴L2 P L2 = P (P m水平）= m水平 L2= P m水平（组合原理：两个反映面相交，其交线为旋转轴） ?当反映面P垂直于2次轴L 2 水平 个其线旋转轴 ?当反映面P垂直于2次轴L2 L2n （P L2）= L2n i =m水平 P L2 = i (组合原理：偶次旋转轴和反映 面垂直相交，交点为对称中心） o总存在一水平(h)反映面，这类前面已讨论。 52 ?主轴是偶次轴时，组合与前重复。 L22L2+ P = 3L23PCL22L2 P 3L23PC L44L2+ P = L44L25PC L66L2
16、+ P = L66L27PC 3L24L3+ P = 3L24L33PC 3L44L36L2+ P = 3L44L36L29PC 53 ?剩下主轴为奇次轴：L33L2的情况 相邻2次轴间夹角为600垂直于2次轴的平面相邻2次轴间夹角为600，垂直于2次轴的平面 必平分另外两个2次轴的夹角。（与前重复） L33L2+ Pd=L33L2+ P L2= L33L23PC 当反映面穿过主轴和2次轴时不产生新的对称类型当反映面穿过主轴和2次轴时不产生新的对称类型 54 L33L2 + Pd= L33L23PC 55 ?穿过主轴加反映面共得7种对称类型 L22P L33P L 4PL4 4P L6 6P L 2L22P, L 3L 3PC 4 L33L23PC 3L 4L36P 4 ?旋转轴和反映面的组合的对称类型有18种。 3 56 3. 旋转轴与对称中心的组合旋转轴与对称中
