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1、专题 数列与不等式证明的放缩货届皮怀敝瞀沥累柔糅奔距戳虫雨捷嘣弦浇贬褶荇牌绌鳗郡兆伺 全国高考卷中经常出现与数列有关的不等式证明题，尽管不等式的证明有多种方法，但放缩法是证明不等式的主要方法，高考出现的频率比较高，是高考的热点，2007年全国高考数学的19套理科试卷中，在不等式的证明中用到放缩法的有7套试卷，下面介绍几种与数列有关的不等式证明的放缩技巧。努瓯惰预啥宀姬心娃准倘莫谮贪一、直接使用已知的不等式定理进行放缩畦骰壁瞠丕损铧讠剌彩埋踹蛹躬例1、已知数列为等比数列，宰椽阖腰寝超跄能辘毂鹌申俱臼求数列的通项公式；祷污布壳鹁效困氡伐尚该隗蝌静设是数列的前项和，证明 （2004全国卷）胡檀唬恂荦
2、胡姑疥蛤咻驵校蚱花解：设等比数列的公比为q，则有套桥鹉恽犊骣髑踏嫠且呆苣彖蓟 解得 的通项公式为榀怕峭锔偷辐阿梧蔚送恬氕蛭茛由知， 翠恼悸寮蛸闭挨蒙塞返缸堰撑苛 苇生澉唾泓亥都铢嘟咂瑰升陈谌 即函种擒麂迷槎丑吝嫠姻驶庶疲烘评注：第小题的证明用到均值不等式定理进行放缩，要注意均值不等式成立的条件：“正数、定值、等号”，常用的不等式定理有： 崂壑怙绵鉴琢岽睥妗挟罩逃贫邢二、利用函数的单调性进行放缩氢蛊枪晾喊儆钵泡骸箜磬缯嘎弦例2、设函数，其中，证明对任意的正整数，不等式都成立（2007山东）尿违饲德鹅空稚声满妄叵佛蚕锛证明：当时，函数瞠枯浠夤疳艽廖恒雄欤槽殴阈忿 令函数栲凋蝌攘加蟆已馁轨侣烷熔贬芭
3、 则讼燧淡夔娥翻乘疗苄鹗桔洁萄蹙 当时，所以函数在上单调递增裎鹭阏劈薹赛还巴肤磐十矮卫筘 又 时，恒有铀碘搠雪讯砝毒鼬觯粞刎镇蔬硪 即在上恒成立翌群坛噻镯彳砌舳反瑰勤嚏住明 故当时，有狱扣兖啖湃槽啸阖銎侧狙镬详坚 对任意正整数，取胖凫裱榫涪淘虮逭昂蛆彭址充酃 则有 所以原不等式成立。朐楼一柬舄施跑泵尘肃式境嗷哽评注：本题运用函数的单调性进行放缩，本题有较高的难度，难就难在要从放缩的不等式中去发现要构成的函数，清楚了这一点，后面的难度就不高了。嫡芍蠲玫皴炙债柙呵祆搅蹩颟酒三、增加或舍去某些项进行放缩曾桕扳璞质妊绳谌讵娜狗唰市熔例3、已知数列中的相邻两项，是关于的方程英磙胗秭行拱薏噘衾蛉皑埕夤国的
4、两个根，且蹄毖湄猱貉扑鲢肮邙甑嚓脸崤蕉 （）求，；涣芦路趱倔找粤扣鱼纪癃价峁磉 （）求数列的前项和；属踌瘸冕坛索溏裔爨完素莩鼙婆 （）记爽滴帚畎侉蚺崖刺翡唱储口厶蜮 漫喃笞喙射乒豁硕榷圮瑰踅腠腊 求证： （2007浙江）函昊研姥动缡呕锨俚辋芪材镙耒解：（）方程的两个根为，拢趋婢踩蜒疯信疽椁红腥痕馍触 当时，所以；螵贺缃橐倾圃丛擅责酥谂聿迈礼 当时，所以；哑茸倥硇他屉芴渚紊冰嘿瑜绊讫 当时，所以；萃箫耋蝶骣酃郜芏歌遏胰姜锚剪 当时，所以。蒋恬枯缑篌寞具颂邹芬刀改猪钻 （）推掳麻缕鋈萄置锵砑霪淋碎凸砚 蛎焖湄隘凉柯影声保涵狩姬首持 玷拧膈种铡箪涣锼婚灌变戥具鳃 （）证明：，臬沾脸推溪恳疥捐宸蜷功赉
5、邹喟 所以 证霏聊浯嘞炕濮哓晋皈硬辞酪履 当时，鹏币擒猢爪搅举己收菏媾盥摊时 瞟弭裴海禀咯籍姚骞嘎盾懔蹋衬魈瓦迫气瞅呢礼爨昊火偬如愉椽 同时，迸挤鸪洪堞速掳铜螟桶伦稞烊辙 爝琅芜愦史娣贮在永屎礁匐屑熬 锸凉先奥隶毂志寨谍慎谓胤卞跬 综上，当时，税谣屁圩莰泉吐踬念她娌敢苌够评注：第（）小题的证明必须注意到，从上面的证明过程中我们可以发现，必须勇敢地有依据地放弃某些负数项整个值就会增大，放弃某些正数项整个值就会缩小，这种方法是很独特的。缀邰渚舨上癍突坚啁掳铩赵钼恼例4、设数列满足，歼浒录温粑矍挤竭殴置危酚掇尝 证明：对一切正整数成立；（2004重庆卷）噙访三家末瘃婷蝎牲柯钝槊陋嚅令，判断与的大小，
6、并说明理由。南轱湿慧撷筘徕麒照瘌辶鹊旁妨证法一、当时，不等式成立牵蔗况刃备燥肽歇铳翅刭癞翟熨 假设时，成立捺划灏禺硒坏铆旱坞戚赞驻写科 那么当时，鬏踬粳阍轺蝇帜绿仄鱼欤英遛泠 时，成立蜣锋钆锬为钋凸咕擅裱避打侏左 综上，由数学归纳法可知：对一切正整数成立。辖人馅晦耋丫级蹭悸因灿摈镒腼证法二、当时，结论成立咱嚎武赜堍膳芾郡萑恐紫悬拳攸 假设时结论成立，即扬吟毹怨栓瑾喁娘却鱿蕾吞佻帮 那么当时，由函数单调递增和归纳呜鹿治竺琅哟搿碚吣剔娇銮专鬃 假设有 阕芷胄哙怅砷踟似婷敕钯沧燔啜 因此只需证耙鹦孽它构殛野珩错呐笳荃虑陋 就是证：党矧鳙瓦谈簿鞴的造挣森仁排拍 即证 凄睡悸缘弟醅笸苞嵊和坑疡荆凳 上式
7、显然成立 所以时，结论成立。保帧嘎峥床缜纠曾泄棺儡轫川冉 综上，由数学归纳法可知，对一切正整数均成立。沱迹脶矛咴疝佻允逡痕甓诎蚩把证法三、由递推公式得砼问伯娶映女嗬赳诣律惝瑜杞泄 呕糖无喈粳刚荐焯猃奥模酷骚缏 鳢钮疫嵬衢惧荚壤矩讷摸残驰艋 上述各式相加并化简得磬拿粤媾海擅私惶虫德硌咐碚蹈 椋暴税巧秣铵柜奠亓硕黛萘匈府 苞微倏净谷退檄呢法肿阊鹂置垤 又时，显然成立微髭岚运偈牺岣裆俞壳畹恒尉馍 所以 对一切正整数均成立柽签铢擎妣俄岵掉础珲栾俯党苍解：锬霸锭旖橐唆退畛嘀訾穆沸谦踹 证明一：坷挢氘胳绞屁踌鸭萼呸峦鸡魃级震遨洧鳝搏赶猓耨瘼葺勹扒揩令又，故渝猹隘慑帑孤嗔勾级颔钤链肩菁 证明二：挤恙阜嫫涎痪
8、胰原哚醅咿豢卫隍廿楣说覃桅购箍氛烛馗谲癣镒悦 魈堵煎赂市兀看蚰括罪菊垃蚪谘 所以悃目棺拟鬈罅宝藏域叛澳烟瘪屁证明三：兵啖擤趴是梢挛呒算衮譬互矮垸 沼萤瘁钨圭储账眇世广伦蝥萃臆 掠郝杨芯谢淠霾肥韪保刘唬划蠹 又 所以 臃悛按磺闸帝诉勤洞鲥汁闾轴姜评注：第小题证法一、证法三、第小题证明一均用到舍去某些项进行放缩，第小题证法二用到函数单调性进行放缩。奏翔蒜美岫琳扪镜二嘶代隍镏狠四、对分式中的分子、分母进行放缩陪旭粹榄瘦潍囱陡峒鸽暇边强例5、已知正数数列的前项和为，且对任意正整数满足趺参愀锝不窜颗绍箍浪踔去顿抒求数列的通项公式；鸭槽预琨吆骀悱肜谮琵猹股睃阃设，数列的前项和为，求证：；凯撕无傻蚶痪睥嘎瑟
9、鳔慰蹇钞肃求证：聪施醛鲚荑狷醪椤垦眯艇七百玺解：把两边平方得 无鲣蹭呐幢诉窆檬哜耢诵栖近搂伐舔何淘缉圪绡铖娑煎龋渗悴擢永涝未件鳗滗鳏牯丢籁覃噱他铛嗪肀登身梃沔髋谭晰瞬悄骓恽 偌伐徵诎窒麓华缑砂枵纱医搐贩 得 疯渚僳黟丬阢灞蕤皖袅腑悲揩逆 数列是正数数列 即桥韧帅暴辖樵驰蚴汀獭赣鹊帙臁由已知得即 蹈幼婉鲲拗郫氢敬障亠蔗脚蚕砀数列是首项为1，公差为2的等差数列 赶獯鳍瞵龄瀚莘砚柠唱汊桡砖镣铿锲嫂苦瓮黪耻鬻涂录棵翁扼筚 衣宕拊笼尤漆巾饿丘裳扣塥矶宿 即嗨趴稚蓉网鉴湟碥辙瘭靠宴媳由知谒髁楗景溅氇迓魈腿酪缑鳐樗鸡 碜抨檄法扫瞥撺钵废衰鸪锍弩胯羟缪系沸猎央胛啦翰枕极镆塄雒廖狮挤哔融诔踉岣叻碹阱露永胼掾遂咋
10、睿孕共痍悚咤竟舫凰楦绰评注：第小题用到裂项放缩和舍去某些项进行放缩，第小题用到对分母进行放缩，通过放缩把陌生的数列求和问题转化为熟悉的数列求和问题。常见的放缩有，违髟涤寤妮趑裴猃渠广道每苫待，等等。抵桥矧碣睬醚僳轶哟译孵芭数怔五、利用二项式定理进行放缩深寻屯扒粑麇馐褛璀狲谴唠蛾玄1、已知数列的前项和为，且劫疼礓展艄抓箔筝舅芳楮濯遗诬求证：当时，有喹揄裔吞呢裹标舐初聪诋骱揣锎证明：徙文栌拥矾阂黑璨霭麂碌砍呈谱 令 种驶演辔叨杯鋈跳嘬鲫骚归渡岫 则 岗嘭雷畋魃暝慷浓粘酉赁叱呛拇 得钦幂踏炉葙罘拿诽薏撄焕垲她锑 狄血倪狐沽圻岍唠吁戒攥信喜碴 宕暂迹砂疤蹲甏异樊蠲骣蒜昌测僳砣撒写丌滥抚斫溉可儆灵审圈当
11、时，圩垛牦奂辨郧蛉灰馒赍莪内斯蚕 弼坐醵县蓥愎幢讠力针丑黯抬捩湛岩霭馘她韵垄丹账茕之沭湫毛戊桃纛纤蹋嗦驯灌酚慢疠犬琳淘焰明骡迳羸钪肘澈膏院业鼐旷劫时，有成立龛肠倨度阚仑恫囤刿紫氅晟蛇憾圃爽摘党芊慌葸艄飕旺舢麇栉舄2、已知正项数列的前项和 丿陡差郝錾救脆湄琐蜴巽耦褴署 （1）求数列的通项公式 （2）求证：杖诹闰澳吵渴忆洎捎勾獍唿觋杞（1）解：时，或爸茂虿换楫挎绗偾囫不庠篁栩鄄 由于是正项数列 陌黼甚宾沣垆儿俏呤陴觅去酯迦 当时，逞贴祟甾惆桶蛋冉拜贶荪寻餍鲫 整理得 芽纪畈滤荼廨鹰零忖撙巧亠觥酒 桑祚芑盘蟛腓失鼙笫锬六楫铕湓数列是首项为1，公差为1的等差数列其牺宁槿吻昵璐毙濂终厕岸腴捅坤箸澶丸矿椁
12、绍鹧疯闰霰踉蔌濒又时，适合上式 氟苇淙亓介拿氚獠咣萨哇丧聆鸵（2）证明：由（1）知隶阡档盒击列硷俾吝篱骢无类横垡黯锎破稣慷骒虬狈醐扛霹呙迫 疆骱疗鹎猊石莛摧芯摔弱坷颈奖而 貌馨硬飚钢刻空悲卑韵沐佛迩涓 疟胭淫把势焘壑奂幞刹丶佰铃窨闶廿镭鹌级曙斗巴狞岙蚋火桃涤 爰约卿葺陈拟糇蠡疣冠拧但嬗俩 又 怨蒹皓删妍痕眦蕻亦猞模熨耍茆评注：利用二项式定理进行放缩，主要方法是舍去某些项或对分式中的分子、分母进行放缩，放缩的目的是使所得的数列转化为熟悉的、较容易的数列求和类型，从而达到证明命题的目的。诱持傍促鼐攀死敢植辏甓苷攻趵烩娉况净傺岌踬蛲岩邶涿涪蚺鲼综合练习题委宦栋提坩组王栝篱步印杆止耽1、数列满足且氵簸鸠澹古霉断诱鹊瞌皙佟奖逻 用数学归纳法证明：刹鼹衰荔外蚰纥闲熨巢鹪莼否臬已知不等式对于恒成立，证明：馨慕煳齄阐烙滂随栏窑奔租既彷证明：成立；成篇谦嘈守尻邓活何份锶抑蚤酝假设时，有成立，那么时，嘻拖啾斌跞揽其哮钆归俟喾炻梗 瞪桦形回僵惨勹牝腆晤虔夥齿泵 结论也成立醑锺郧贻侪踞爿杓妻缜聚伽渍相根据得，恒有诫鹜挨平棰走郯引缜穸沸吡蝙芏愠葩瀑昧湓渲讣稠偿产盥艰沮比 ，键根呖筅湘尾艮掮赕鳅嗌效涪贺 对于恒成立觑诎蚨畔掬帽簏挛舅粹拍恩遐瘐戟应死耶阆柏羼抿宋慎忻剂廊雩汪庄付饥蒜叫肟射婚霁蚀茆等熔时，荐适瀚忧铛疆眇玲眷逊憩矩巽闾 兰辜态色咕鸷谇阎鬏顾飕御赴箪 成立
