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1、玩转压轴题，争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品专题一 直角三角形的存在性问题【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。【解题攻略】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起如果
2、直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）【解题类型及其思路】当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是 ，三角形相似，勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法 ，三角形相似，勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角【典例指引】类型
3、一 【确定三角形的形状】 典例指引1（2017年江苏省东台市第四教育联盟12月月考）如图，已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，4），直线l：y=x4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点，过点P作PEx轴，垂足为E，交直线l于点F（1）试求该抛物线表达式；（2）如图（1），若点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；（3）如图（2），过点P作PHy轴，垂足为H，连接AC求证：ACD是直角三角形；学-科网试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与ACD相似？【解析】试题分析：（1）利用待定系
4、数法列方程求解析式.(2)把P，F点坐标用m表示写出来，利用四边形PCOF是平行四边形得到m值，求得P点坐标.(3) 由两点间的距离公式可知分别计算AC，CD，AD勾股定理逆定理知三角形是直角三角形；分类讨论，ACDCHP，ACDPHC分别计算P点坐标.试题解析：解：（1）由题意得： ，解得： ，抛物线的表达式为y=x2+x4 （2）设P（m， m2+m4），则F（m，m4）PF=（m4）（m2+m4）=m2mPEx轴，PFOCPF=OC时，四边形PCOF是平行四边形m2m=4，解得：m=或m=8当m=时， m2+m4=，当m=8时， m2+m4=4点P的坐标为（，）或（8，4）由得ACD=9
5、0当ACDCHP时， ，即，解得：n=0（舍去）或n=5.5或n=10.5当ACDPHC时， ，即，解得：n=0（舍去）或n=2或n=18综上所述，点P的横坐标为5.5或10.5或2或18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与ACD相似学-科网【名师点睛】1.求二次函数的解析式（1）已知二次函数过三个点，利用一般式，yax2bxc（）.列方程组求二次函数解析式.(2)已知二次函数与x轴的两个交点 (，利用双根式，y= （）求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点, .(3)已知二次函数的顶点坐标，利用顶点式,（）求二次函数解析式.（4）已知条件中a，b，c，给定了一个值，则需要列两个方
6、程求解.(5)已知条件有对称轴，对称轴也可以作为一个方程；如果给定的两个点纵坐标相同 (，则可以得到对称轴方程.学=科网2.处理直角坐标系下，二次函数与一次函数图象问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用字母表示），写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，找出不同点间的关系.如果需要得到一次函数的解析式，依然利用待定系数法求解析式.【举一反三】（2017-2018学年江苏省苏州市工业园区星海中学初三上期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于， ， 三点，其中点的坐标为，点的坐标为，连接， 动点从点出发，在线段上以每秒个单
7、位长度的速度向点作匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒连接（）填空： _， _（）在点， 运动过程中， 可能是直角三角形吗？请说明理由（）在轴下方，该二次函数的图象上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间；若不存在，请说明理由（）如图，点的坐标为，线段的中点为，连接，当点关于直线的对称点恰好落在线段上时，请直接写出点的坐标【答案】（1）， ；（2）不可能是直角三角形理由见解析；（3）；（4）【解析】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x4）将a=代入可
8、得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）连结QC先求得点C的坐标，则PC=5t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2CP2=AQ2AP2列方程求解即可；（3）过点P作DEx轴，分别过点M、Q作MDDE、QEDE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PGx轴，垂足为点G，首先证明PAGACO，依据相似三角形的性质可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明MDPPEQ，从而得到PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结OP，取OP的中点
9、R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q首先依据三角形的中位线定理得到EH=QO=t，RHOQ，NR=AP=t，则RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是QNQ的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可试题解析：（）设抛物线解析式为将代入得， （）在、运动过程中， 不可能是直角三角形理由如下，连结在、运动过程中， ， 为锐角，当是直角三角形时， ， ， ， 由勾股定理得： ， 解得又由题可得，不成立不可能是直角三角形（）作平行于， 交于于点，延长到，使作交抛物线于点， 是等腰直角三角形解得（）如图所示：连结，取的中点连结， 延长交
10、线段与点点为的中点，点为的中点， ， 点为的中点又为的中点即是的平分线设直线的函数表达式为，将点的坐标代入得：解得： 直线的表达式为将直线和直线的表达式联立得：，解得： ， 类型二 【确定点的坐标】 典例指引2（2017年四川攀枝花中考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，B点坐标为（3，0）与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；学科=网（3）点D为抛物线对称轴上一点当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；若BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围【解析】试
11、题分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）易得BC的解析式为y=x+3，先证明ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图1，则EPG为等腰直角三角形，PE=PG，设P（t，t24t+3）（1t3），则G（t，t+3），接着利用t表示PF、PE，所以PE+EF=2PE+PF= ，然后利用二次函数的性质解决问题；试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得： ，抛物线的解析式为；（2）易得BC的解析式为y=x+3，直线y=xm与直线y=x平行，直线y=x+3与直线y=xm垂直，CEF=90，ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于
12、G，如图1，EPG为等腰直角三角形，PE=PG，设P（t，t24t+3）（1t3），则G（t，t+3），PF=PH=t，PG=t+3（t24t+3）=t2+3t，PE=PG= ，PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF= = =，当t=2时，PE+EF的最大值为；（3）如图2，抛物线的对称轴为直线x=2，设D（2，y），则BC2=32+32=18，DC2=4+（y3）2，BD2=（32）2+y2=1+y2，当BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y3）2=1+y2，解得y=5，此时D点坐标为（2，5）；当BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直
13、角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y3）2=1+y2+18，解得y=1，此时D点坐标为（2，1）；综上所述：D点坐标为（2，5）或（2，1）当BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即4+（y3）2+1+y2=18，解得y1=，y2=，此时D点坐标为（2， ）或（2， ），所以BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为y5或1y【名师点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想
14、解决数学问题【举一反三】（2017-2018学年上学期苏州市张家港梁丰初中初三数学期末）如图，直线y=x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2（1）求该抛物线的函数表达式；学=科网（2）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B，C，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过S（0，4）的动直线l交抛物线于M，N两点，试问抛物线上是否存在定点T，使得不过定点T的任意直线l都有MTN=90？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由【解析】试题分析：(1)根据坐标轴上点的坐标特征可求,再根据待定系数法可求抛物线的函数表达式; (2)存在,分三种情况:过B点垂直BC的直线的解析式为y=x+b,过C点垂直BC的直线解析式为y=x+3,以BC为斜边,进行讨论可求点Q的坐标; （2）存在，设过B点垂直BC的直线的解析式为y=x+b，把B（3，0）代入得b=3，则直线的解析式为y=x3，依题意有，解得，
