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1、1 第第1 章章 1-1 在球坐标系中，试求点 2 2 6, 33 M 与点 4,0 3 N 之间的距离（提示：换在至直 角坐标系下求解） 。 解：解： sincos sinsin cos xr yr zr = = = 直角坐标系下点M、N的坐标分别是： 3 3 9 , 3 22 M 、 () 2 3,0,2N 或者（-2.60, 4.50, -3.0） ，(3.46, 0, 2.0); 所以有：()()() 222 829.05 MNMNMN MNxxyyzz=+= 1-2 证明球坐标单位矢量的微分： （1） r = e e ； （2）sin r = e e 。 证明：证明： () coss
2、incoscossin sinsinsincoscos xyz xyz r =+ = = ? ? ? ? e eee eee e () () sincossinsincos sinsinsincos sinsincos sin r xyz xy xy =+ = + =+ = eee ee ee ? ? ? ? ? e e 1-3 设sincosabc= + xyz Feee，式中a，b，c为常数，求积分 2 0 1d d 2d = F SF 解：解： d cossin d ab = xy F ee 2 d sincossincos d cossin0 abcbcacab ab = =+ xyz
3、 xyz eee F Feee () 2 0 1 sincosd 2 bcacabab=+= xyzz Seeee 1-4 若 () 2 1 16 z r=+De，在半径为 2 和0/2的半球面上计算d S DS。 解解：因为ddsin d r rr =Se cos zr =ee 所以 () () () () () 2/2 22 00 2/2 22 00 /2 22 0 /2 22 0 22 d1 16sind d 1 16sincos d d 1 1 162sin2 d 2 1 1 162cos2 4 1 16 zr S rr rr rr rr rr =+ =+ =+ =+ =+ DSee
4、将2r=条件代入上式，可得：d260 S = DS。 1-5 设 xyz xyz=+reee，r = r，n为整数，试求r， n r，( )f r。 解：解： xyz r rrrr =+= xyz r eee 或采用球坐标： sin rrr r rrrr =+= r rr eer ee 12nnn rnrrnr = =r ( )( ) ( ) fr f rfrr r = =r 1-6 矢量A的分量是 x ff Ayz zy = ， y ff Azx xz = ， z ff Axy yx = ， 其中f 3 是, ,x y z的函数，还有 xyz xyz=+reee。证明：f= Ar，0=A r
5、，0f =A。 证明：证明： （1）f= Ar 因为： xyz fff f xyz =+eee ， xyz xyz=+reee， 故有 xyz xxz fxyz fff xyz ffffff yzzxxy zyxzyx = =+ eee r eee 因此f= Ar，得证。 式f= Ar也表明,fArA，所以有0=A r，0f =A。或者证明如 下： （2）证明0=A r ()()0ff= =A rrrrr，得证。 （3）证明0f =A ()()0fffff = = =Arr，得证。 1-7 求函数 2 x yz=的梯度及在点()2,3,1M沿一个指定方向的方向导数，此方向上的 单位矢量 345
6、 505050 =+ 0 xyz leee。 解：解： 22 2xyzx zx y=+ xyz eee 在点()2,3,1M，12412 M =+ xyz eee 方向导数 345112 1241215.84 50505050 M l =+ += 4 1-8 在球坐标系中，已知 2 0 cos 4 e P r =， e P、 0 为常数，试求矢量场= E。 解：解： 33 00 sin cossin 24 ee rrr PP rr = = =+ r r E e e e ee 1-9 设S是上半平面() 2222 0xyzaz+=，它的单位法线矢量 n e与oz轴的夹角是锐 角，求矢量场 xyz
7、 xyz=+reee向 n e所指的一侧穿过S的通量。 解：解：矢量场 xyz xyz=+reee在球坐标系中的表达式为 r r=re； 有向面元dS的表达式为： 2 dsin d d rr =Se；所以有 2/2 2 00 2/2 3 00 3 dsin d d sin d d 2 rr S rr r a = = = rSee 。 1-10 求 A在给定点的值 （1） 333 xyz xyz=+Aeee在点()1,0, 1M； （2） 2 42 xyz xxyz=+Aeee在点()1,1,3M （3）xyz=Ar在点()1,3,2M，式中的 xyz xyz=+reee。 解：解： （1） 2
8、22 333xyz=+A， ()1,0, 1 6 M =A； （2）422xz=+A， ()1,1,3 8 M =A； （3）() 222 xyzxyz xyzxyz xyzx yzxy zxyz=+=+Areeeeee 2226xyzxyzxyzxyz=+=A, ()1,3,2 36 M =A 5 1-11 已知 xyz xyz=+reee， r r = r e， 试求r， r e， r r e ， 2 r r e 以及()r C（C 为常矢量） 。 解：解： （1）()3 xyzxyz xyz xyz =+= reeeeee ； （2） 2 r rr rr = = rrr e 其中 3=r
9、 2 r rr rr = r rr 所以 2 32 r rr rr =e； （3） 2 rrr rr rr = eee 2 2 2 1 r rr r r r = = r r （4） 22 24 rrr rr rr = eee 2 4 4 2 2 22 0 rr rrr r rr r = = = rr （5）()rr r = = r C CC。 1-12 在球坐标系中，设矢量场( )f r=Fr，试证明当0=F时，( ) 3 C f r r =（C为任 意常数） 。 证明证明：( )f r= Fr ( )( )f rf r= +rr 6 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 3 fr
10、rf r frf r r rfrf r = + = + =+ r r r 若使0=F，即( )( ) 30rfrf r+=，这是一阶微分方程，具体求解方法如下： ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 30 3 0 ln3ln rfrf r df r dr f rr f rrC C f r r += += = + = 得证。 1-13 求 矢 量 场() xyz xyz=+Aeee在 点()1,3,2M的 旋 度 以 及 在 这 点 沿 方 向 22 xyz =+neee的环量面密度。 解：解： M M xyz xyzxyzxyz = xyz eee A ()()() 34 M xz
11、zyxyyzyzxz=+ = + xyz xyz eee eee () 1 22 3 =+ 0 xyz neee 环量面密度()() 11 1 68 33 = += 0 A ni 1-14 设 xyz xyz=+reee，r =r，C为常矢，求： （1）r； （2）( )f rr； （3）( )f rC； （4）( )f rrC。 7 解：解： （1）0 xyz xyz = xyz eee r （2）( )( )( ) f rfrrf r= + rrr ( ) 0 fr r = = r r （3）( )( )f rf r= CC ( ) ( ) frr fr r = = C rC （4）( )
12、( )( )()f rf rf r= iirCCrrC ( ) 0 fr r = = irrC 1-15 如果电场强度 00 cossin r EE =Eee，求E和E。 解：解： 0cosr EE= 0sin EE = 0E= 0 r E r = 0cos E E = ()()() 2 2 00 2 1 sinsin sin 1 2sincos2sincos 0 sin r rErErE rr E rE r r =+ = E 8 ()() () 2 2 00 2 sin 1 sin sin 1 sin sin 1 sinsinsin sin 0 r r rr r rr rr ErErE rErEEE rr rr rEE r = =+ =+ = eee E eee e 1-16 试用斯托克斯定理证明矢量场f沿任意闭合路径的线积分恒等于零，即 d0 l f ? l。 证：证： ()dd lS ff= ii ? lS 0f d0 l f i ? l 1-17 试证明：如果仅仅已知一个矢量场F的旋度，不可能唯一地确定这个场。 证：证：已知=FV 如果F是上述方程的一个解，那么+F也是上述方程的一个解，为任意可微函 数(), ,x y z。 这是由于()+= += =FFFV满足方程。 这个矢量场不能唯一确定。 1-18 试证明：如果仅仅已知一个矢量场F的散度，不可能唯一地确定这个场。
