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1、第卷第期 电工教学 卷积积分的几种计算方法归纳 余玲玲 水南大学自拉 系 卷积积分在信号与系统课的时域分析 中是一个很重要的概念和数学工具 。 除了卷 积的图解法和数值解以外 , 直接根据卷积定义的函数式求积分也可以采用几种不同的方 法来进行 , 本文作了归纳 , 意在为对此 内容有兴趣的读者提供一点参考 。 现以图所示两个波形为例 , 用下述不同方法求解人 , 九 。 分段卷积法求解 求上列两函数的卷积时 , 可分为图所求 个区间来进行 。 一一一 刊刊 一一 石刃 一 田 、 二 , , 来稿日期年月日 电工教学年月 , 几 一 、 、 卜 卜 厂 ,只 、 , 、 君 一 、 , 、 。
2、 , , 丁立 。 一 人 , 几 一 一 一 用此法进行卷积积分 , 数学概食清楚 , 函数计算式简单 , 借助于一定的图形 , 卷积的物 理含义亦十分清晰 。 在每段时间域中 人 二 几与 , 的函数关系一 目了然 。它 适用于任 何两个信号的卷积积分计算 。 间题就是对初学者积分的匕下限不易正确确定 。通 常 , 在每 个分段时间域中 , 若函数了 约和了一 两波形的后沿值即函数不为零的最小值 分别为和 , 两波形前沿值 即函数右边界的最大值分别为和 气 , 则积分的下限 应取它们后沿值中的最大者 , 即 , , 积分上限取它们前沿值中的最小者 , 即 。 , 。 阐门函数法求解 可将上
3、列函数分别表示为 人 一一一 九 一一一 由此得 , 九 一 一一一 一一一 一 了 卜一 一 一 了 卜一 , 二 一 一下 卜一 二 一 一 一 卜一 , 二 一 , 一 厂卜 卜 一 卜 ,一 一 击二 一 , 厂卜 。, 一一一一一一一一 一一 这种种卷积方法用一个函数表达式可将结果全部表示 出来 , 且根据各个积分的被积 函数 一一 一 。 所确定的门限 , 很容易将门的上 、 下限分别确定为积分的上 限 一 , 、 下限 。 , 积分后各函数的定义域的下限只要由积分的上限减去下限 一 忍 一 。 后即可确定 。 因此该方法容易理解和掌握 , 尤其对初学者很容易接受 。 它除了适用厂
4、于 上列分段函数的卷积分外 , 还可适用于连续函数波形 。 第卷第期电工赞学 用卷积的徽 、 积分性质求解 、 。 , , 一 杀卫 尹 , , 丁 对上例 , 先求出尹 占一一占一 , 令 一 工 一 且 一 且 一一一一一 由于冲激函数与任何函数的卷积积分 皆为该函数本身 , 因此很快可求出 , , 丁 飞 一 ,一,一,“一, “, 一一一 一一 一一一 一一 一一 一 一一 一一 【 一一 一一 一一一一一一一一 一一 用该性质求卷积 , 可避免复杂的积分运算 , 同时也避免了确定积分限的问题 , 它非常 适合于两 函数中一个为阶跃信号或斜坡信号或可用阶跃信号的组合来表示的折线信号 ,
5、 由于 , 二 古 或 加 ” 占 而 一 古 , 由此计算 自然会简化一些 但是该方法的应用有一定的限制 , 它必须要求人 一 几 一 。 。 另外 , 如果不合 理地乱加应用 , 比如对一信号求导 , 而对另一信号的积分并不容易 , 则使得整个计算并不 简单 , 或许还会计算出错误的结果 利用时移性质求解 , ” 一 一 铃 两 一 一一 圈 设则 用此性质 , 可将上列两波形先移至如图所示的位里 , 分别用九和人来表示 一一 人 “ 一一 一“ 撼 “ , , 一一一一一一一 , 一一一一一 , 一 。 一 二一一一一 电工教学年月 再由卷积的线性性 , 则 。, 一一一一一 。 一 一
6、一 而 一 , 几八 一 令 , 人 则人 , 九 一 , 、 一 少 一一一 少 一 一一一一一一一一一 一一一一一一 一一一一一一一一 十一一 这种卷积方法也比较简便 , 只要信号的表示方法得当 , 计算的速度也就很快 。 而且它 对连续函数亦适用 。 上面对同一例题 , 用种不同方法对卷积积分进行了计算 。 这些常用方法对我们在信 号与系统课程中所遇到的绝大部分信号的卷积计算都是适用的除参予卷积的两信号中 有一为冲激信号 , 可直接进行计算 , 不必再用 、 方法 。 通过比较还可知 , 分段卷积法 最直接 , 明了 , 但其它三种方法都比较容易接受和掌握 。 因此 , 只要通过适当的方式 , 如在 上习题课或专题讨论卷积积分时 , 将这些方法介绍给同学 , 并讲清各种方法的特点及使用 条件 , 则很容易拓宽学生对卷积间题理解的思路 , 也能激发起同学学习这部分的内容的兴 趣 , 这样 , 即使不作要求 , 学生自己在求解卷积积分时 , 也会积极主动地动脑筋来选择一种 简单的或适合于自己的方法来进行计算 , 由此卷积积分也就不显得那么难了 。 参考文献 吴大正信号与线性网络分析下册北京人 民教育出版社 , 李竹英运用闸门函数直接解算卷积积分高等学校电工课程教学工作通讯 ,
